zjh2- 小结及习题50p

=
ε1U0 ε1d2 +ε2d1
(d1
+
d2
−
x)
∫ ∫ ( ) [ ] 在第一种介质中
ϕ1
x
=
=
d1 x
r E1
⋅
r i dx
+
U0
ε
ε1d2 + ε2d1
d1 +d2
d1
2 (d1
r E2
−x
⋅
)
r i dx
+ ε1d
2
Chap.1&2 习题课
5Hale Waihona Puke Baidu
例 平板电容器，已知S1、S2 、ε1和ε2，两
C1
=
U0
θ
电位函数 ϕ = (U0 )φ θ
柱坐标系中∇
=
err
∂ ∂r
+ erφ
∂
r∂φ
+ erz
∂ ∂z
r E
=
−∇ϕ
=
− ∂ϕ r∂φ
erφ
=
−
U0
rθ
erφ
r 电流密度 J
=
σ
r E
=
−
σU rθ
0
erφ
∫ ∫ 电流 I =
r J
⋅
r dS
=
S
R2 R1
σU 0 ρθ
(−erφ ) ⋅ hdρ (−erφ )
∫L
H
r ⋅ dl
=
If
+
d dt
r
∫∫ D ⋅ dsr
S
∇
⋅
r D
=
ρ
f
∇
×
r E
=
−
r ∂B
∂t
r
∇ ⋅ B = 0

∇
×
r H
=
r jf
r + ∂D
∂t
介质中
r D
=
ε
0
r E
+
r P
r
r H
=
B
r −M
µ0
电磁性质方程
rr
P = xε 0 E ,
rr M = xmH ,
+
∞ a
ρ 2a6 9ε 02 r 4
⋅ 4πr2dr)
= 4π ρ 2a5 15ε 0
Chap.1&2 习题课
13
例 试求真空中体电荷密度为 ，
半径为 a 的介质球产生的静电能量.
ρa
解法二 由微分方程法得电势函数(球坐标系)为:
p279(I.42)式
∇2ϕ
Q1
r2
ϕ1
=
1 r2
∂ ∂r
⋅ ∂ (r2 ∂r
nrˆ
×
r (E2
−
r E1)
=
0
nrˆ
⋅
r (D2
−
r D1)
=
σ
ϕ1 = ϕ2
ε2
∂ϕ2
∂n
− ε1
∂ϕ1
∂n
=
−σ
切向 法向
nrˆ
×
(
r E2
−
r E1)
=
0
nrˆ
×
(
r H
2
−
r H1
)
=
αrf
nrˆ
⋅
(
r D2
−
r D1
)
=
σ
f
nrˆ
⋅
(
r B2
−
r B1)
=
0
介质分界面上存在有自由面 电荷时，介质分界面两侧的
=
αr f
自由电荷面密度
nrˆ
⋅
r (D2
−
r D1 )
=
σ
f

nrˆ
⋅
r (B2
−
r B1 )
=
0
微分形式的麦氏方程组适用于连续的介质内部.
由于不同介质有不同的电磁性质,
介质分界面上一般会出现面电荷和面电流分布,
使得界面两边的场量发生跃变,
因而微分形式的麦氏方程组在界面上不再适用.
Chap.1&2 习题课
nrˆ
⋅
(
r D2
−
r D1 )
=
σ
f
，应有电位移D相等，故
ε1E1 E1d1
= ε2 E2 + E2d2
=
U0
r E1
=
ε1d2
ε 2
+
ε2d1
r U0i
r E2
=
ε1d2
ε 1
+
r ε2d1 U0i
∫ 取右极板处为电位参考
点，在第二种介质中
ϕ2(x) =
d1+d2 x
r E2
⋅
r i dx
=
σU 0h θ
ln
R2 R1
电导 G = I U Chap.1&2 习题课 0
=
σh θ
ln
R2 R1
(S m)
17
y
例 两块接地的无限大导体板相互平行，
在两板间区域内分布着自由电荷ρ
(
x)
=
ρ0
cos
πx
2a
x
求导体板间的电场分布和板上感应电荷面密度 -a 0 a
的静电能量
We
=
1 2
τϕ dl
L
W
=
1 2
r
∫∞E
⋅
r DdV
1 ρϕ 不是能量密度
2
Chap.1&2 习题课
12
例 试求真空中体电荷密度为 ρ ，
半径为 a 的介质球产生的静电能量.
ρa
解法一 应用高斯定理
∫r
E
r ⋅ dS
=
Q
S
ε0
球内：r<a
Q
4πr2E = Q = 4πr 3 ρ ε0
3
4
例 平板电容器，已知d1、d2、ε1和ε2，极板间 电压 U 0 ，试求其中的电场强度和电位的分布。
解: 平板电容器板间距离远小于平板尺寸，可
认为极板为无限大，忽略边沿效应。
两种电介质均为各向同性线性均匀介质，同种 介质电场均匀，E、D沿x轴方向，与介质分界
面垂直。在分界面上无自由电荷，按衔接条件
=
−
∂B
∂t
r
r ∇×H
r = Jf
+ ∂D ∂t
静态
∇
⋅
r D
=
ρ
f
情况下
r ∇⋅B =0
∇
×
r E
=
0
rr ∇ × H = J f 静电场
r
∇ ⋅ D = ρ f 基本方程
r ∇⋅B =0
∇
×
r E
=
0
r
∇⋅D = ρf
静态平衡下的
r
电场量（E,
Dr , ε
r
）与磁场量（H
,
r B,
µ）无耦合，电荷分布产生
∇2ϕ
=
−
ρ
ε
∇2ϕ = 0
电势的泊松方程 p52, (1.8)式
对于ρ = 0的空间区域
电势的拉普拉斯方程
Chap.1&2 习题课
8
一、电势 2.用电势函数表示的静电场的边值问题
根据给定边界条件的不同，
可分为以下5种类型：
(1)第一类边界条件或狄里克莱Dirichlet边界 ϕ S = f (r)
2 )U0
γ2
ϕ2
=
4γ1U0 π (γ1 + γ
2)
φ
r E1
=
−
π
4γ 2U0 (γ1 + γ 2
)ρ
erφ
r E2
=
−
π
4γ1U0 (γ1 + γ 2)ρ
erφ
σ = ε0E1 − ε0E2
=
π
4ε0U0 (γ1 +γ2
)ρ
(γ
1
-
γ
2
)
Chap.1&2 习题课
E,σ 与φ 无关，是ρ 的函数。
ϕ 1 = ϕ 2，
ε1
∂ϕ1
∂n
=
ε 21
∂ϕ 2
∂n
(2)给出导体上的电势，导体面上的 边界条件为： (给定常数)
ϕ = ϕ0
(3)给出导体所带总电荷 Q ， 在导体面上的边界条件为：
应用上述边界条件可以唯一地解出静电
ϕ = Const,
−
∫ε
∂ϕ
∂n
dS
=
Q.
场。
用导体面上的另一边界条件
− ε ∂ϕ = σ
2ε 0
3
ϕ r→∞ = 0 ϕ r→0 = 有限
∫ ∫ We =
Chap.1&2
1 2V
习题课
ϕρ
dV
=
1 2
⋅
ρ2 2ε 0
a (a2
0
−
r2 3
)4πr 2dr=
4π 15ε 0
ρ 2a5
14
一、电势 5.大致有以下几种类型的边界条件 (p56)
(1)两绝缘介质面上，边值关系有： 应用这条件可以把界面两边的电势衔接 起来。
电位移矢量不连续
Chap.1&2 习题课
10
一、电势 3.用电势函数表示分界面上的边界条件
绝缘介质
两种绝缘介质的分界面上不存在自由电荷, 即
ϕ1 = ϕ2
ε2
∂ϕ2
∂n
= ε1
∂ϕ1
∂n
根据此式可计算出导体 表面的自由电荷面密度
nrˆ
导体与介质相界面的情况
ϕ1 = ϕ2 =导体的电位
ε2
∂ϕ 2
∂n
= ϕ2
(r2
∂ϕ
∂r
)
+
r2
1
sinθ
∂ϕ ) =
−ρ ε0
∂r
0
∂ϕ1 = ∂ϕ2
∂r ∂r
∂
∂θ
(sinθ
r≤a
r>a
(r = a)
∂ϕ ∂θ
)
+
r2
0
有解
1
sin2 θ
ϕ=
∂2ϕ ∂φ2
=
1 r2
∂ ∂r
(r2
∂ϕ)
∂r
=
−
ρ
ε
0

ρ
ρa3
(r ≥ a)
3ε0r
(a2 − r2 ) (r ≤ a)
球外：r>a Q = 4πa 3 ρ
3
E
=
Q
4πε 0r 2
E = rρ
E
=
3ε 0 ρa
3
3ε 0 r 2
∫ ∫ ∫ ∫ We
=
1 2
D ⋅ EdV = 1
V
2
V ε0E2dV
=1 2
ε
0
E 2 dV 球内
球内
+
1 2
ε
0
E 2 dV 球外
球外
∫ ∫ =
1 2
ε
0
(
a 0
ρ 2r2 9ε 02
⋅ 4πr2dr
=
1
ρ2
∂ 2ϕ 2 ∂φ 2
=0
0
0 (σ 2区域)
场域边界条件 ϕ1 φ=0 = 0 , ϕ2 φ=π = U 0 2
衔接条件 ϕ1 = ϕ2
σ1
∂ϕ1 ρ ∂φ
= σ2
∂ϕ2 ρ ∂φ
,
不(φ同=媒π 质) 弧形导电片
4
电势
电场强度
电荷面密度
ϕ1
=
π
4γ 2U0 (γ1 + γ
2
)
φ
+
(γ1 −γ γ1 +
Chap.1&2 习题课
rr
D = εE
r B
=
µHr
ε = ε0εr , εr = 1+ x µ = µ0µr , µr = 1+ xm
2
Chap.1 电磁现象的普遍规律
∇
⋅
r E
=
ρ
ε0
真空中的Maxwell方程组
∇ ⋅ Er(rr,t) = ρ(rr,t)
ε0
∇ ⋅ Br(rr,t) = 0 ∇ × Er(rr,t) = − ∂Br(rr,t)
条件: 在场域边界S上, 已知电位ϕ 的值
(2)第二类边界条件或诺依曼Neumann边界条件: ∂ϕ = g(r)
场域边界S上, 已知电位法向导数
∂n S
(的3)第值三，类其边余界边条界件上:给给定定势一函部数分的边法界向上导势数函值数ϕ
+
β
∂ϕ
∂n

S
=
h(r)
(4)混合边界条件: 场域边界S=S1+S2，
∂t
简写为：
r ∇⋅B =0
r
∇
×
r E
=
−
∂B
∂t
r
∇
×
r B
=
µ0
r J
+
ε
0µ0
∂E ∂t
∇
×
Br(rr,
t)
=
µ0Jr(rr,
t
)
+
ε 0 µ0
∂Er (rr,
∂t
t
)
在电荷、电流为零的空间 （称为自由空间）
r
∇⋅E =0
对静电场： 对静磁场：
∇
⋅
r E
=
ρ
ε0
∇
×
r E
=
0
r ∇⋅B =0
已知S1边界电位和S2边界电位法向导数 ϕ
S1
=
f (r)
∂ϕ
，∂n
S2
= g(r)
(5)自然边界条件: 如果场域伸展到无限远处，即无界问题。
如果电荷分布在有限区域,
Chap.1&2 习题课
则在无限远处电位值为零
lim
r →∞
rϕ
=0
9
一、电势 3.用电势函数表示分界面上的边界条件
静电场的边值关系
故可以单独研究静电场和静磁场。
静电场, 电荷和
电场的分布均
Chap.1&2 习题课
与时间无关 7
Chap.2 静电场 一、电势 1.电势的泊松方程
对静电场，先求解电势ϕ(标量)，再求电场强度是一种基本
求解方法
电势微分方程的适应范围是在各向同性、线性、 均匀介质中，不含介质分界面。
若所求区域含有几个均匀分区，对于不同的介 质区域，应分别建立有不同介电系数的电势微 分方程, 还必须知道介质分界面上静电标势满 足的边值关系
Chap.1 电磁现象的普遍规律 Chap.2 静电场
习题课
Chap.1&2 习题课
1
Chap.1 电磁现象的普遍规律
Maxwell’s equations

∫∫
S
r D
⋅
dsr
=
Q
f

∫L

r E
⋅
r dl
=
−
d dt
∫∫
S
r B
⋅
dsr
r
∫∫ B ⋅ dsr = 0
S

r

=
−σ
∫S ε 2
∂ϕ 2 dS
∂n
=
−Q
导体外面的 介质电容率
Chap.1&2 习题课
导体上总电荷Q
11
一、电势 4.用电势函数表示的静电场能量
W
=
1 2
∫∞ ρϕdV
w
=
1
v E
⋅
v D
2
∫ 体电荷系统
的静电能量
We
=
1 2
ρϕdV
V
∫ 面电荷系统
的静电能量
We
=
1 2
σϕ dS
S
∫ 线电荷系统
σ1
=
r i
⋅
r D1
=
ε1E1
σ2
=
r i
⋅
r D2
=
ε 2 E2
由介质分界面条件和极板上的总电荷 + q0
σσ11S/1ε+1 σ=2σS22
/ ε2 = q0
解得
ε
σ1
=
ε1S1
1
+
ε 2
S2
q0 ,
σ2
=
ε2 ε1S1 +ε2S2
q0
电场强度
r E1
=
r E2
=
D1 ε
r i
1
=
σ1
ε
16
弧形导电片
例 求图示电导片的电导，已知给定
φ = 0 时，ϕ = 0; φ = θ 时 ,ϕ = U0
解：取圆柱坐标系，ϕ = ϕ(φ) ，边值问题：
σ
∇2ϕ
=
1
ρ2
∂ 2ϕ ∂φ 2
=0
ϕ φ=0 = 0 , ϕ φ=θ = U0
方程通解为
ϕ = C1φ + C2
代入边界条件 ϕ φ=0 = C2 =0 ϕ φ=θ = C1θ = U0
r i
1
=
1
ε1S1
+
ε 2
S2
r q0i
Chap.1&2 习题课
6
Chap.2 静电场 静态：与时间无关的一种状态，物
理量不随时间变化，始终保持稳定
∂
从数学的角度来讲，静态则意味着式中含 ∂t 的项为零。
∂
在静态情况下，麦克斯韦方程变成了不含 ∂t 项的简单形式：
介质中微分形式的麦氏方程
r
∇
×
r E
∇
×
r B
=
µ0
r J
Chap.1&2 习题课
r ∇⋅B =0
r
∇
×
r E
=
−
∂B
∂t
r
∇
×
r B
=
ε 0 µ0
∂E ∂t
3
Chap.1 电磁现象的普遍规律
洛伦兹力公式
r f
=
r
ρE
+
r j
×
r B
自由电流面密度矢量
电磁场边值关系
nrˆ
×
r (E2
−
r E1 )
=
0
nrˆ
×
r (H
2
−
r H1)
极板上的总电荷分别为 + q0 和 − q0 ，
试求出其中的电场强度。
解:
由分界面衔接条件
nrˆ
r × (E2
−
r E1 )
=
0
两种电介质中的电场强度E相等
E1 = E1t = E 2t = E 2
而 两电 部位 分移 电D荷不密相度等不，相使等得，每设个它极们板分上别面是积σ 1S和1和σS22
应有
可以得出导体面上的自由电荷面密度 σ。 ∂n
Chap.1&2 习题课
15
例 用边值问题求解电弧片中电势、电场及面电荷的分布？
解: 用圆柱坐标, p279 (I.39)式, 边值问题为
∇2ϕ1
=
1
ρ
∂
∂ρ
(ρ
∂ϕ1 ∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2ϕ1 ∂φ 2
+
∂2ϕ1
∂z2
=0
(σ1区域)
σ1 σ2
∇ 2ϕ 2