第10章离散数学分析
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
2010-7-22离散数学模型分析覆盖问题 清晰版
离散数学模型分析——覆盖问题ylyang@youlongy@Email 2010年7月22日时间杨有龙教授报告人2008年国家一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙近年赛事成绩33(1)2010年321717(2)5(2)13(1)42009年220812(2)33(1)532008年国家三等奖国家二等奖国家一等奖陕西省二等奖陕西省一等奖国家二等奖国家一等奖国际二等奖国际一等奖奖项全国研究生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛国际大学生数学建模竞赛赛事内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题1某城市的城建部门计划在每条街的拐角处或另一个尽头装一个消防水龙头，需要水龙头的个数是多少？请建立模型并给出解决的方案。
西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2根据菜单和对应的营养表，怎么点菜使得营养全、费用少？西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2A西班牙煎蛋B炒鸡丁C色拉D牛排E土豆F 洋葱炒肝菜单101516261224欢迎用餐西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙1001F 0110E 0001D 1100C 0011B 1101A 矿物质维生素碳水化合物蛋白质营养成分列表内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2 /30西安电子科技大学理学院数学系杨有龙背景知识——图的表示一个图是由“顶点”集合和“边”集合所构成，边被看成图的不同顶点的无序对.v 5v 1v 4v 2v 3e 2e 7e 3e 4e 6e 5e 1(,)G V E =(,)v w E ∈V E西安电子科技大学理学院数学系杨有龙12345{,,,,}V v v v v v =五个顶点1234567{,,,,,,}E e e e e e e e =七条边西安电子科技大学理学院数学系杨有龙V 1 V 2V 3V 4 V 501001*0110**011***01****0⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠V 1V 2V 3V 4V 5图的表示矩阵用一个上三角形矩阵表示图的顶点之间是否有边相连，若有边则矩阵元素为1，否则为0，此矩阵称为图的表示矩阵。
《离散数学》刘任任版第十章
习题十1．证明：若G 是简单图，则()()q p p G 2/22-≥χ.分析：()G χ指G 的点色数，显然如果()G χ=k ，则G 的顶点集可以划分为k 个独立集。
设每个独立集的顶点数为p i ，则∑=ki i p 1=p ，由柯西－施瓦丝不等式有： 且由于每个独立集中的任意两个点不邻接，所以第i 个独立集中任何一点的度不会大于p-p i ，本题的关键是利用这两个结论。
2．()k G =χ的临界图G 称为k 临界图. 证明：唯一的1临界图是1K ，唯一的2临界图是2K ，仅有的3临界图是长度为奇数3≥k 的回路.分析：若G 的每个点都是临界点，则G 称为临界图。
由于1-色图是零图，因此1-临界图仅能是1K ，2-色图是2部图，因此2-临界图仅能是2K ，3-色图恒含奇圈，且奇圈至少是3-色才能正常着色，因此3-临界图仅能是长度为奇数3≥k 的回路.证明：（1）()11=K χ，且()01=-v K χ<1，故K1是1临界图；反之，G 是1-临界图，若|V(G)|>1，则G 是零图，()1=-v G χ，所以|V(G)|=1，从而G 是平凡图K1。
（2）()22=K χ，且()1),(22=-∈∀v K K V v χ，故K2是2临界图；反之，G 是2-临界图，即()2=G χ，于是G 的顶点可划分为两个极大独立集V1和V2，若|V1|>1，则())(2),(1G v G G V V v χχ==-⊆∈∀，与G 是临界图矛盾，因此|V1|=1，同理|V2|=1。
因此G=K2。
（3）因为不含奇回路的图是二分图)2)((=G χ。
故3-色图必含奇回路。
显然，奇回路必是3-临界图。
设G 是含奇回路的3-临界图。
若G 不是奇回路，则可分两种情况讨论：)2/()( 2 2 )()(2 ,,1,| | ,, ,)( 2222221222211112221121q p p G x q p p k k p q p k p p p p p p p p p p v d q p p V k p k p p k i p V V V k G k G x ki i p i k i k i k i i i i i i i i k i i k i i i i k -≥-≥≥--≤-=-=-≤=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥===∑∑∑∑∑∑∑=======故，即从而而个顶点相邻，每个顶点最多与其它且），（柯西－施瓦丝不等式因为。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
《离散数学》课堂教学特性分析及应对
教 学 中应注 意 对 重 点 教 学 内容 、 重 点 章 节 进 行 梯 度设计 ， 弥 补 课 程 内 容 由 于 分 散 而 呈 现 的 先 天
不足。
４ ８、 ５ ６、 ６ ４、 ７ ２学 时 ； 在 教材 上选 择 符合 该 层 次需 要
论文选粹
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ｌ ａ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｏ ｎ ｇ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ （ Ｓ ｏ ｃ ｉ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）Ｖ ｏ １ ． ２ ７ Ｎ ｏ ． １ １ ２ ０ １ ３
是 内容 的 展 开 形 式 缺 乏 梯 度 。因 此 ， 教 师 在课 堂
（ １ ） 分 层 教 学 。 根 据 专 业 不 同 主 要 划 分 为 四 个 不 同 的层 次 — — 其 他 专 业 、 软 件类 专业 、 计 算 机 大类 、 信息与计算数学专业 ， 在 人 数 较 多 的专 业 ，
首先 ， 对 于重 点 概念 、 命题 、 定理 ， 不 能 照 搬 书
的相应 教材 ， 我们给 ６ ４学 时 的 课 程 安 排 耿 素 云 等
编 写 的教 材 ， 给 ７ ２学 时选 定 英 文 教 材 ， 实 施 双 语
本 而平 铺 直 叙 ， 需 要 对 其 进 行 梯 度 设 计 。譬 如 二 元关 系的定 义 ， 从 字 面 意思 ， 读 者 很 难 体 会 一 个 抽 象 的集 合如 何 成 为 一个 关 系 ， 如 果 从 一 些 实 际 的 关 系 出发 ， 进 而 采 用 数 学 的 语 言 表 达 成 一 系 列 集
离散数学第二版最全课后习题答案详解
离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。
对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。
本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。
在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。
离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。
集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。
在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。
例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。
答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。
这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。
数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。
在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。
比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。
我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。
图论是研究图的性质和应用的分支。
图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。
图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。
假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。
根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。
代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。
接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。
例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。
离散数学答案 第二版 课后答案--
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(⌝q→⌝p)（5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答：（4）p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为：⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为：(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p（3）⑤⑥拒取式证明（4）：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥（q→t）∧(t→q) ⑤置换⑦（q→t）⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
左孝凌离散数学PPT课件
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它包括了许多重要的概念和技术，是计算机科学、通信工程、数学和逻辑学等领域的基础。
本文将对离散数学的一些核心知识点进行总结，包括命题逻辑、一阶逻辑、图论、集合论和组合数学等内容。
1. 命题逻辑命题逻辑是离散数学的一个重要分支，研究命题之间的逻辑关系。
命题是一个陈述语句，要么为真，要么为假，而且不能同时为真和为假。
命题逻辑包括逻辑运算和逻辑推理等内容，是离散数学的基础之一。
1.1 逻辑运算逻辑运算包括与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）和双条件（↔）等运算。
与、或和非是三种基本的逻辑运算，蕴含和双条件则是基于这三种基本运算得到的复合运算。
1.2 逻辑等值式逻辑等值式是指在命题逻辑中具有相同真值的两个复合命题。
常见的逻辑等值式包括德摩根定律、双重否定定律、分配率等。
1.3 形式化证明形式化证明是命题逻辑的一个重要内容，研究如何利用逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
形式化证明包括直接证明、间接证明和反证法等方法，是离散数学中的常见技巧。
2. 一阶逻辑一阶逻辑是命题逻辑的延伸，研究命题中的量词和谓词等概念。
一阶逻辑包括量词、谓词逻辑和形式化证明等内容，是离散数学中的重要部分。
2.1 量词量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用来对命题中的变量进行量化。
全称量词表示对所有元素都成立的命题，而存在量词表示至少存在一个元素使命题成立。
2.2 谓词逻辑谓词逻辑是一阶逻辑的核心内容，研究带有量词的语句和谓词的逻辑关系。
谓词是含有变量的函数，它可以表示一类对象的性质或关系。
2.3 形式化证明形式化证明在一阶逻辑中同样起着重要作用，通过逻辑规则和等值式来推导出给定命题的真值。
一阶逻辑的形式化证明和命题逻辑类似，但更复杂和抽象。
3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图和图的性质。
图是由节点和边组成的数学对象，图论包括图的表示、图的遍历、最短路径、最小生成树等内容，是离散数学中的一大亮点。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
数学离散数学常见题型解析
数学离散数学常见题型解析数学离散数学是一门研究数学中离散性、不连续性的分支学科，它与连续性数学形成鲜明对比。
离散数学的研究对象包括离散结构和离散现象，如集合、关系、逻辑、图论等。
在离散数学中，常见的题型有集合论题、逻辑题、图论题等。
本文将对这些常见题型的解题方法进行详细的解析。
一、集合论题解析集合是离散数学的基础概念之一，集合论题主要考察集合的性质和运算。
其中常见的题型包括求交集、并集、补集等。
1.求交集求交集即求两个或多个集合中共有的元素。
解题时需要列出各个集合的元素，然后找出它们的公共元素，即为交集。
例如，已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A和B的交集。
解答如下：交集A∩B={2,3}。
2.求并集求并集即求两个或多个集合中所有的元素的集合。
解题时需要列出各个集合的元素，然后将它们的元素合并起来即可。
例如，已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A和B的并集。
解答如下：并集A∪B={1,2,3,4}。
3.求补集求补集即求一个集合中不包含在另一个集合中的元素。
解题时需要明确补集的参照集合。
例如，已知参照集合U={1,2,3,4,5}，集合A={2,3,4}，求A相对于U的补集。
解答如下：补集A'={1,5}。
二、逻辑题解析逻辑题主要考察命题逻辑和谓词逻辑的推理和判断。
常见的题型包括命题的合取、析取、蕴含关系等。
1.命题合取命题合取即多个命题同时成立，才能得出最终结论为真。
解题时需要逐个判断每个命题的真假，并根据合取关系得出最终结论。
例如，已知命题p：明天下雨，命题q：今天是周二。
判断命题p 合取q的真假。
解答如下：根据实际情况判断，如果p和q都为真，则p合取q为真；反之则为假。
2.命题析取命题析取即多个命题中至少有一个成立，就能得出最终结论为真。
解题时需要逐个判断每个命题的真假，并根据析取关系得出最终结论。
例如，已知命题p：明天下雨，命题q：今天是周二。
判断命题p析取q的真假。
离散数学屈婉玲第十章
12
家族树与根树的分类
定义10.5 设T为一棵非平凡的根树, vi,vjV(T), 若vi可达vj， 则称vi为vj的祖先, vj为vi的后代; 若vi邻接到vj, 则称vi为vj的父 亲, vj为vi的儿子. 若vj,vk的父亲相同, 则称vj与vk是兄弟．
将根树T中层数相同的顶点都标定次序, 称T为有序树． 根树的分类： (1) 若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉树. (2) 若T的每个分支点都恰好有r个儿子, 则称T为r叉正则树. (3) 若T是r叉正则树, 且所有树叶的层数相同, 则称T为r叉完 全正则树. 有序的r叉树, r叉正则树, r叉完全正则树分别称作 r叉有序树, r叉正则有序树, r叉完全正则有序树．
21
用2叉有序树存放算式
用2叉有序树表示含有2元运算和1元运算的算式: 每个分支点
放一个运算符, 其运算对象是以它的儿子为树根的子树所表 示的子算式. 规定运算对象的排列顺序, 如被除数、被减数放
在左边．所有的变量和常量都放在树叶上.
例 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij))
19
实例
解 传输100个八进制数字中各数字出现的个数, 即以100乘各频 率为: 25, 20, 15, 10, 10, 10, 5, 5, 以它们为权构造最优二叉树. 最佳前缀码 01-----0 11-----1 001-----2 100-----3 101-----4 0001-----5 00000-----6 00001-----7
例题
例2 已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同 构的无向树. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1，4度顶点的个数为n7. 由握手定理, 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7), 解出n = 8，4度顶点为1个.
离散数学课程教学分析
黑板 ， 样便 于掌 握 同学 们学 习的 欠缺 地方 ， 这
中 国科 教创新 导刊
Ｃｈｎ Ｅ ｕ ａ ｉｎ ｎ ｏ ａ ｉｎ ｅ ａｌ ｉａ ｄ ｃ ｔｏ Ｉｎ ｖ ｔｏ Ｈ ｒ ｄ
９ ７
离散数学 作为现 代数 学的一 个重要 分支 ， 是 研究 离 散 量的 结 构及 相 互 关 系 的学 科 。 它
并 掌握 基本 知识 。 图论 部分 定义和 概 念很 多 ， 用多媒体课 件 中的 图形讲解 ， 辅以Ｆ ａｈ动 画， ｌｓ
相 应地 改 变 教学 进 度 和 教学 方 法 。 同 的学 不
既形象 美观 ， 又能够 提高 教学效 果 。
（） ２多列举生 活 中的事例 来说 明 ， 使学生更
易理 解知识 点及其 在实 际中的 应用 。 在介绍 语言与 自动机 以及纠 错码部 分 ， 如 对于接 受能 力 蕴 含运 算时 ， 用 实际例 子说 明如下 。 可 父亲对 弱 的同学 在课 后加 强辅 导 。 另外 ， 多准备 几本
１教 学 内容 安 排
很 多学校 由于课 时的 限制 ， 一般 将离 散数 学 安排 ７ 个 学 时 。 何让 学 生 在有 限的 课时 ２ 如 里掌 握足够 的 知识 ， 我们 需要 解决 的 问题 。 是 笔者 的安排 如 下 。 理 逻辑 部分 １ 个学 时 ， 数 ６ 重 明方法 。 因为在 高中我们 已经学过 集 合论 的基
生 基础不 同 ， 根据 学生 的差 异性 进 行教学 。 本
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件一、引言1.1 离散数学的定义：研究离散结构及其相互关系的数学分支。
1.2 离散数学的应用领域：计算机科学、信息技术、运筹学、生物学等。
1.3 离散数学的重要性：为计算机科学提供数学基础，培养逻辑思维和抽象能力。
二、逻辑基础2.1 命题逻辑：概念、命题、逻辑运算符（与、或、非、蕴含、等价）、真值表。
2.2 谓词逻辑：个体、谓词、逻辑运算符（量词、连接词）、真值表。
2.3 推理规则：演绎推理、归纳推理、反证法。
三、集合与函数3.1 集合的概念：集合、元素、集合运算（并、交、补、幂集）。
3.2 集合的表示：列举法、描述法、图示法。
3.3 函数的定义：函数、域、值域、函数运算（复合函数、反函数）。
四、图论4.1 图的基本概念：图、顶点、边、无向图、有向图、图的表示（邻接矩阵、邻接表）。
4.2 图的性质：连通性、路径、圈、树、网络流。
4.3 图的应用：最短路径问题、最小树问题、网络流问题。
五、组合数学5.1 组合的概念：组合、排列、组合数、排列数。
5.2 组合数的计算：二项式定理、组合恒等式。
5.3 组合数学的应用：计数原理、概率计算、图的着色问题。
《离散数学教案》课件六、组合数学（续）6.4 排列组合问题的解决方法：插板法、捆绑法、倒置法。
6.5 鸽巢原理：鸽巢定理及其应用。
6.6 数论基础：整数、素数、最大公约数、最小公倍数。
七、数理逻辑7.1 命题逻辑的等值关系：等价、蕴涵、矛盾。
7.2 谓词逻辑的等值关系：量词、域、谓词、逻辑等值。
7.3 逻辑推理：演绎推理、归纳推理、反证法。
八、代数结构8.1 群的概念：封闭性、结合律、单位元、逆元。
8.2 环和域的概念：加法群、乘法群、环、域。
8.3 群的作用：对称性、编码理论、密码学。
九、关系与函数9.1 关系的定义：关系、有序对、自反性、对称性、传递性。
9.2 等价关系与序关系：等价类、序关系、偏序集。
9.3 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
离散数学课件ppt
随机性与概率
随机性表示试验结果的不 确定性，概率则表示随机 事件发生的可能性大小。
统计数据的收集和整理
数据来源
数据质量
数据可以来源于调查、实验、观测、 查阅文献等多种途径。
数据质量包括数据的准确性、可靠性 、完整性等方面，是数据分析的前提 和基础。
数据整理
数据整理包括数据的分类、排序、分 组、编码等步骤，以便更好地进行数 据分析。
必然事件
概率值为1的事件。
03
04
不可能事件
概率值为0的事件。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
乘法原理
对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件概率和独立性
要点一
条件概率
离散数学课件
目录 CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 离散统计学基础 • 离散数学中的问题求解方法
01
离散数学简介
离散数学的起源
19世纪初
集合论的提出为离散数学的起源 奠定了基础。
20世纪中叶
随着计算机科学的兴起，离散数 学逐渐受到重视和应用。
子集、超集和补集
总结词
子集、超集和补集是集合论中的重要概念，它们描述了集合之间的关系。
详细描述
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，超集是指一个集合包含另一 个集合的所有元素，补集是指属于某个集合但不属于其子集的元素组成的集合。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等，这些运算描述了 集合之间的组合关系。
离散数学导论(第5版)-第五篇
• {, } • {, } • {} • {}
15
第11章 谓词逻辑
谓词逻辑基本概念
§11.1 谓词与个体
（1）个体 • 个体常量与个体变量 • 个体域与全总个体域 （2）谓词 • 一元谓词——刻划个体性质 • 二元谓词——刻划两个个体间关系 • n元谓词——刻划n个个体间关系
40
3）证明（过程）与定理。 证明（过程）是一个公式序列：P1，P2，…，Pn， 其中每个Pi（i＝1，2，…，n）必须满足下条件之一： ① Pi是公理； ② Pi是由Pk，Pr，（k，r<i）施行分离规则而 得； ③ Pi是由Pk（k<i）施行全称规则而得； ④ Pi是由Pk（k<i）施行存在规则而得。 最后，Pn＝Q 即为定理。
5
否定深入 P＝P； （P∧Q）＝P∨Q； （P∨Q）＝P∧Q； （PQ）＝P∧Q； (14)（PQ）＝PQ＝PQ； 变元等同 P∧P＝P； P∨P＝P； P∧P＝F； P∨P＝T； PP＝T； PP＝P； PP＝P； PP＝T； PP＝PP＝F；
6
常值与变元的联结 T∧P＝P； F∧P＝F； T∨P＝T； F∨P＝F； TP＝P； FP＝T； PT＝T； PF＝P； TP＝P； FP＝P；
34
３ 假设推理的证明过程必须满足： ① Ｐi是假设前提； ② Ｐi是公理； ③ Ｐi是由Ｐk，Pr用分离规则而得 最后。Pn=B，而Ａ１→（Ａ２→（…（Ａn →B）） …）为定 理。
35
（２２）额外假设推理——反证法 １ 以结论为假设作前提 ２ 反证推理定理： 设有A1，A2，…，An，B├P∧P，则必有： ├A1→(A2→(…(An→B））…） 3 反证推理证明过程必须满足 1)Pi是公理； 2)Pi是假设； 3)Pi是待证定理B的否定，即为P； 4)Pi是由Pk，Pr用分离规则而得。 最后Pn=P∧P，而此时：A1→(A2→(…(An→B））…）为定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点 (2) 设n是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半
群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵 乘法 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}， 为模n加法
第10章离散数学分析
4
实例
例2 设G={ e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称为Klein 四元群
eabc
e eabc a aecb b bcea c cbae
特征：
1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结
果都等于剩下的第三个元素
第10章离散数学分析
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
对任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡 子群.
证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b) = (aa1)b = eb = b
所以a1b 是该方程的解. 下面证明惟一性. 假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有
c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可证ba1是方程 ya=b的惟一解.
例3 设群G=<P({a,b}),>，其中为对称差. 解下列群方程： {a}X=，Y{a,b}={b}
(b1ab)r ( b 1a b) (b 1 a b). ..b (1a b)
r个
b1arbb1ebe
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
第10章离散数学分析
13
实例
(2) 设 |ab| = r，|ba| = t，则有
结合的，则称V为半群. (2) 设V=<S,∘>是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V
是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=<S,∘,e>. (3) 设V=<S,∘>是独异点，eS关于∘运算的单位元，若 aS，a1S，则称V是群. 通常将群记作G.
第10章离散数学分析
3
实例
第10章离散数学分析
6
群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1
(a1)m
n0 n0 n0,nm
群中元素可以定义负整数次幂.
第10章离散数学分析
7
元素的阶
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元.
Hale Waihona Puke 证 (1) (a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元. 根据逆元唯一
性，等式得证.
(2)
(b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e,
同理
(ab)( b1a1)=e，
故b1a1是ab的逆元. 根据逆元的唯一性等式得证.
第10章离散数学分析
9
群的性质：方程存在惟一解
定理10.2 G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且 仅有惟一解.
例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元.
在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
第10章离散数学分析
8
群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
第十章 群与环
主要内容 群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
第10章离散数学分析
1
10.1 群的定义与性质
半群、独异点与群的定义 半群、独异点、群的实例 群中的术语 群的基本性质
第10章离散数学分析
2
半群、独异点与群的定义
定义10.1 (1) 设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可
(ab)t1 (ab)(ab)...(ab)
t 1个
a(ba)(ba )...(ba )b
t个
a(ba )t b aeb ab
由消去律得 (ab)t = e，从而可知，r | t. 同理可证 t | r. 因此 |ab| = |ba|.
第10章离散数学分析
14
10.2 子群与群的陪集分解
解
X={a}1={a}={a}，
Y={b}{a,b}1=第{b10}章离{散a数,b学}=分{析a}
10
群的性质：消去律
定理10.3 G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,c∈G 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c. 证明略
第10章离散数学分析
5
有关群的术语
定义10.2 (1) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无 限群. 群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记作|G|. (2) 只含单位元的群称为平凡群. (3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝 尔 (Abel) 群.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
11
群的性质：元素的阶
定理10.4 G为群，a∈G且 |a| = r. 设k是整数，则 (1) ak = e当且仅当r | k (2 )|a1| = |a|
第10章离散数学分析
12
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有