(完整版)计算机图形学基础第五章课后习题答案

5.3 试用中点Bresenham 算法画直线段的原理推导斜率在[-1,0]之间的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式以及最终画图过程）。

解：
原理：每次在最大位移方向上走一步，而另一个方向是走步还是不走步取决于误差项的判别。

∵斜率k 在[-1,0]之间
∴x 为最大位移方向，每次在x 加1，而y 或减1或减0。

设直线段的方程F(x,y)=y-kx-b ，假设当前点是P(x i ,y i )，则下一点在P u (x i +1,y i )与P d (x i +1,y i -1)中选一。

设M 为P u 和P d 的中点，则M 点的坐标为(x i +1,y i -0.5)。

构造误差判别式：
d i =F(x M ,y M )=F(x i +1,y i -0.5)= y i -0.5-k(x i +1)-b
若d i ≥0，取P d (x i +1,y i -1)；
若d i ＜0，取P u (x i +1,y i )；
即有x i+1=x i +1,y i+1=y i -1(d i ≥0)或y i (d i ＜0)。

误差函数的递推： d i ≥0时，取P d (x i +1,y i -1)，再判断下一像素取哪个时，应计算 d i+1=F(x i +2,y i -1.5)= y i -1.5-k(x i +2)-b=d i -1-k ，增量为-1-k 。

d i ＜0时，取P u (x i +1,y i )，再判断下一像素取哪个时，应计算 d i+1=F(x i +2,y i -0.5)= y i -0.5-k(x i +2)-b=d i -k ，增量为-k 。

(x 0,y
从(x0,y0)点出发，下一个像素的选取计算
d0=F(x0+1,y0-0.5)= y0-0.5-k(x0+1)-b=-0.5-k
取的是误差判别式的符号，因此可进行如下变换：D=d*2∆x
∆x=x1-x0，根据选取的起点和绘制方向，∆x＞0，因此，D与d同号。

画图过程：
（1）输入两端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)；
（2）计算初始值∆x，∆y，D=-∆x-2∆y，x=x0，y=y0；
（3）绘制点(x,y)。

判断D的符号，若D≥0，则(x,y)更新为(x+1,y-1)，D更新为D-2∆x-2∆y；否则(x,y)更新为(x+1,y)，D更新为D-2∆y。

（4）当x＜x1时，重复（3），否则结束。

5.7 利用中点Bresenham画圆算法原理推导第一象限x=y到y=0圆弧段的扫描转换算法（要求写清原理、误差函数、递推公式以及最终画
图过程）。

移方向。

原理：每次沿y方向上走一步，
而x方向上或减1或减0。

假设当前已确定P(x i,y i)，下一步
在P u(x i,y i+1)与P d(x i-1,y i+1)中选取。

设M为P u和P d的中点，则M点
的坐标为(x i-0.5,y i+1)。

d i=F(x M,y M)=F(x i-0.5,y i+1)= (x i-0.5)2+(y i+1)2-R2
若d i≥0，取P d(x i-1,y i+1)；
若d i＜0，取P u(x i,y i+1)；
即有y i+1=y i+1，x i+1=x i-1(d i≥0)或x i(d i＜0)。

误差函数的递推：
d i≥0时，取P d(x i-1,y i+1)，再判断下一像素时，应计算
d i+1=F(x i-1.5,y i+2)= (x i-1.5)2+(y i+2)2-R2
=(x i-0.5)2+(y i+1)2-R2+5-2x i+2y i=d i+5-2(x i-y i)，增量为5-2(x i-y i)。

d i＜0时，取P u(x i,y i+1)，再判断下一像素时，应计算
d i+1=F(x i-0.5,y i+2)= (x i-0.5)2+(y i+2)2-R2
=(x i-0.5)2+(y i+1)2-R2+3+2y i=d i+3+2y i，增量为3+2y i。

判别式的初值：
从(R,0)点出发，计算d0=F(R-0.5,1)= (R-0.5)2+1-R2=1.25-R
对于整数，判断1.25-R的符号与判断1-R的符号等价，因此取d0=1-R。

画图过程：
（1）输入圆的半径R；
（2）计算初始值d=1-R，x=R，y=0；
（3）绘制点(x,y)。

判断d的符号，若d≥0，则(x,y)更新为(x-1,y+1)，d更新为d+5-2(x-y)；否则(x,y)更新为(x,y+1)，d更新为d+3+2y。

（4）当y＜x时，重复（3），否则结束。