2.2 计量经济学模型的广义矩估计

• 一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。
yi h( X i , ) i i 1, n
n
z jii 0
i 1
j 1,2, , k
n
z ji ( yi h( X i , )) 0
i 1
j 1,2, , k
• 一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。
e( yi , X i ; ) yi h( X i , )
of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054 • 关于GMM 的总结 A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i ) 0 yi x1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x1i 0 yi z1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )z1i 0
yi x3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x3i 0
– 经验信息（样本数据）的充分利用。 – 具有包容性：实际上是已有估计方法的概括和一般化。 – 适用于大样本并显示其优越性。
⒈几个重要的性质
• 从技术角度
– 无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。 – 无须进行高阶矩阵的求逆运算。
⒉参数的矩估计
• 参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。 • 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。 • 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 • 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶
yi x3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x3i 0
该方程组 是如何得
到的？
如何从矩条 件出发得到 该方程组？Fra Baidu bibliotek
如何求 解该方 程组？
yi 0 1x1i 2 x2i 3 x3i i i 1,2, , n
• 如果x2为随机变量，z1为它的工具变量，IV的正 规方程组为：
§2.2 计量经济学模型的广义矩估计
（GMM, Generalized Method of Moments）
一、广义矩估计的概念 二、计量经济学模型的广义矩估计 三、OLS和ML估计是GMM估计的 特例 四、假设检验
关于GMM的主要文献
• 关于GMM最早的系统的描述 L. Hansen, 1982: Large Sample Properties
m( ) 1
n
i
Zi e( yi , X i ; )
1 Z 'e( y n
, X;)
1
m(
)
m1 m2
mk
( (
(
) )
)
n 1 n
1 n
z1i ei
i
z2i ei
i
i zkiei
m( ) 0
工具变量估计的 正规方程组。
• 工具变量估计正规方程组的解就是
ˆ Mˆ (1) E(Y ) X (1)
ˆ 2 Mˆ (2) (Mˆ (1) ) 2 X (2) ( X (1) ) 2
总体参数（期 望和方差）的
估计量
⒊参数的广义矩估计
X (1) M (1) (1 , 2 , , r ) 0 X (2) M (2) (1, 2 , , r ) 0
X (r) M (r) (1, 2 , , r ) 0
矩条件数等于待 估参数数目
• 如果选择的矩估计方程个数多于待估参数个数。 使得欧氏距离函数 达到最小：
r
Q( ) ( X (i) M (i) ( )) 2 i 1
⒋计量经济学模型的广义矩估计
• 如果模型的设定是正确，则存在一些为0的条件矩。 广义矩估计的基本思想是利用矩条件估计模型参数。
• 等于0的条件矩的数目大于待估计模型参数的数目。 • 求解二次型。
二、计量经济学模型的广义矩估计
⒈ 估计方法的原理
yi h( X i , ) i i 1, n
n
x ji i 0
i 1
j 1,2, , k
n
x ji ( yi h( X i , )) 0
i 1
j 1,2, , k
• Arg , Argument, 自变量、宗数
• W矩阵的阶数：J×J
以多元线性模型为例
yi 0 1x1i 2 x2i 3 x3i i i 1,2, , n
• 如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i ) 0 yi x1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x1i 0 yi x2i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆ3 x3i )x2i 0
min (m( )'m( ))
一阶极值条件的解。
• 如果工具变量J>k，并且对不同的矩条件加权， 考虑随机项存在异方差和序列相关
ˆ arg min (m( )'W 1m( ))
1
m(
)
m1 m2
mJ
( (
(
) )
)
n 1 n
1 n
z1iei
i
z 2i ei
i
i zJiei
（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶 矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估 计量。
X
(1)
1 n
n i 1
yi
X
(2)
1 n
n i 1
yi2
样本的一阶矩 和二阶矩
Mˆ (1)
E(Y )
X (1)
1 n
n i 1
yi
Mˆ
(2)
E(Y 2 )
X (2)
1 n
n i 1
yi2
总体一阶矩和总体 二阶矩的估计量
4个等于0 的矩条件， 求解4个
参数
为什么将x2 换为z1？
该方程组是如 何得到的？
如何求 解该方 程组？
yi 0 1x1i 2 x2i 3 x3i i i 1,2, , n
• 关于GMM发展的讨论
R. Davidson and J. MacKinnon, 1993: Estimation and Inference in Econometrics, New York Oxford Univ. Press
一、广义矩估计的概念
⒈几个重要的性质
• 从方法论角度
– 变量设定的相对性：直接与间接、内生与外生、随机 与确定。