大学《结构力学》第6章 力法课件ppt
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12 21 1
2 1 Δ1P 6 45 1 90 3 2 Δ2P 0
2
45
MP
？
1 X2=1
M2 MP
(4)求解力法方程
4X1 +X2 +90=0
X1 +4X2 =0
10kN/m 24C A 45
D
B
X1 24kN m X 2 6kN m
力法的特点： 力作为基本未知量； 以多余未知力
以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构，以基本结 构在荷载和多余未知力共同作用下的基本体系作为基本 工具。 根据多余约束处的位移条件(变形协调条件)建立力法基 本方程，由基本体系与原结构的变形一致达到受力的一 致。 利用静定结构的位移计算求出基本方程中的系数和自由 项，从而求出多余未知力。
21 X 1 22 X 2 .......... ..... 2 n X n 2 P 0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ n1 X 1 n 2 X 2 .......... ..... nn X n nP 0
X2
X2 1
X3
M1 M2
X3 1
13 31 0
2 P 3P 0
P
M3 MP
§ 6 –3
超静定梁、刚架和排架
力法求解超静定结构的步骤
(1)选取基本体系。 (2)列力法方程。 (3)计算系数和自由项： ①作出单位内力图和荷载内力图 (或写出内力表达式)； ②计算系数和自由项。 (4)求解力法方程，确定多余未知力。 (5)作内力图。
•Δi P── Mi与MP图的互乘。
• Mi、MK 图──基本结构上X X
k i
•δi i── Mi 图的自乘。
B X1=1
B X2=1 A
= 1、 A
M1
M2
B
= 1引起的弯矩图。
• MP 图──基本结构上荷载引起的弯矩图。
A
MP
n次超静定结构
11 X 1 12 X 2 .......... ..... 1n X n nP 0
q
FBy B
X1 (2)基本体系 ——基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的 体系。 ★注意：原结构与基本体系的异同： 原结构中FBy为被动力形式，是固定量； 基本体系中X1为主动力形式，是变量； 通过调节X1的大小，可以使基本体系的受力与变形和原结 构完全相同。
总结：
力法的基本思路：将超静定结构的分析转化为静定结构 的分析（利用基本体系）。
3
X3
X1 X X1 2
3次超静定
3.切断一根梁式杆等于去掉三个约束
P X1 X1
1次超静定
4.在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束
5
去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定
X1
X2
X3 X3
X1
X2
去掉一个链杆或切断 一个链杆相当于去掉 一个约束
n=-W=b-2j
X1
X2
X3
X1
X2
X1
X3
如果一个结构的支座反力和各截面内力不能由静力平衡条 件唯一确定，此结构称为超静定结构。
二、超静定次数 一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数。 P S-W=n n=-W
X1
1次超静定
X1
X2
1.切断一根链杆等于去掉一个约束
P
X1
A
2次超静定
4
X2
X1
Q
2.去掉一个单铰等于去掉两个约束
P X X2
5)最后内力
系数行列式之值>0 主系数 ii 0
0 副系数 ij 0 0
M M1 X 1 M 2 X 2 .......... ... M n X n M P
13
P P X1
X1 1
X2
X3 M1 M2
X3 1
1 0 2 0 0 3
11 X 1 12 X 2 1P 0 同一结构可以选取不同的基本体系 21 X 1 22 X 2 2P 0
P P P
X2
n=2
X2 X1
P
X1 X2
X2 X1
P
X1
瞬变体系
满足图乘法的条件时， 可用图乘法
A
B
B X2
X1 A
11 X1 12 X 2 1P 0 •δik──Mi与 MK 图的互乘。 21 X1 22 X 2 2 P 0
２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束；
３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除３个约束； ４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约束。
§6-2 力法的基本概念 一、基本思路 ——将超静定结构的分析转化为静定结构的分析
q EI （a） q q
1 1
1
X1
=
1P
（c） （d ）
教学要求
第 6章
力法
• （1）掌握超静定结构的超静定次数； • （2）掌握力法的基本原理和力法的典型方程； • （3）熟练掌握各种结构在荷载作用、支座移动等条件下力法的应用； • （4）熟练掌握力法计算中对称性的利用；
• （5）掌握超静定结构的位移计算；
重点和难点：
• （1）重点：判断超静定次数、选取力法基本体系、建立力法典型方程；
MP
17 FPl 3 FPl 1 1 1 l FPl 5 Δ1P (l l) ( l) EI1 2 EI 2 2 2 2 6 48EI 2
l
§ 6 –3
超静定梁、刚架和排架
FP I2 I1 l/2 l/2 FP
例1：作出图示刚架的内力图。已知：I1=2I2。 解：(1)基本体系 FP X1 FP FP X1 X1 X1 (2)力法方程 δ11 X1 +1P=0 1 (3)系数与自由项的计算 1 X1=1 ①作出 M 1、M P图 M1 ②计算系数和自由项 5l 1 1 1 2 11 (l 11) ( l 1 1) 6 EI 2 EI1 EI 2 2 3
பைடு நூலகம்
（4）系数与自由项
（5）解力法方程 （6）内力
X2
11
M M1 X 1 M 2 X 2 M P
注意：
2. 取消多余联系时，必须保证基本结构是静定的、几何不变的 3. 确定基本结构时，尽可能使MP图简单。
1 0 2 0
1. 基本未知量、基本结构密切相关，确定一个另一个随之确定。
例：
EI
q l
X1
ql 2 2
q
1P
X1
11
（c） X 1 1
11
（a）
（b）
1、力法基本未知量－X 1 2、力法基本体系－悬臂梁
MP
11 1 p 0
l
X1 1
M1
3、力法基本方程－
11 11 X 1
4、系数与自由项
11 X 1 1P 0
M 1M 1 l3 11 dx EI 3 EI
P
2 P
21
1 P
11
X1 1
22
X2 1
12
（1）基本结构 悬臂刚架 （2）基本未知力 X 1 , X 2 （3）基本方程
1 0 2 0
X1
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
1）
iP, ij 的物理意义； 2）由位移互等定理 ij ji ；
ij
位移的方向 对称方阵
产生位移的原因
3） ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
4）柔度系数及其性质
. 1n 11 12 .......... .......... . 22 2n 21 .......... .......... .......... ...... .......... . n2 nn n1
• 荷载作用下超静定结构的力法计算及内力图绘制与校核；
• （2）难点：根据已知变形条件建立力法典型方程； • 利用对称性取等效半结构；
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数 一、超静定结构 几何特征：多余约束 静力特征：多余力
组成 ：有多余联系的几何不变体系。注意多余联系是对几何不变 体而言，可在结构内部或外部，多余联系中产生的力称为多余力。 如果一个结构的支座反力和各截面内力都可以由静力平衡 条件唯一确定，此结构称为静定结构。
超静定次数=3×1=3 超静定次数=3×5=15
超静定次数=3×2=6 3×5-3=12 5=10 超静定次数=3
？
结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）
一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个 无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。 １）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束；
(5)作M图
6m 6m 6m 6 X X 10kN/m X1 X1 2 2 M图：kN· m X1=1
M1
1 X2=1 1 45
M Mi Xi M P
M2
MP
§ 6 –3
二、刚架
超静定梁、刚架和排架
X1
解：(1)基本体系 FP
X1 X1
FP I1=2I2。 例1：作出图示刚架的内力图。已知： FP X1
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3 P
X2 1
P
M3
MP
P X1
X1 1
EI q l
ql 2 8
M
ql 2 8
3ql 8
（2）
M M1 X1 M P
9
基本体系有多种选择；
11 X 1 1P 0
q EI
X1
q
q
X1
1
q q
1 p
11 X 1
q
X1 X1
1 p
)
11 X 1
X1
（a）
（b ）
（c）
10
二、多次超静定结构
P P
X2 X1
1P , 11
M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI
5、解方程
l3 ql4 X1 0 3EI 8 EI
8
X1
3 ql 8
3 X 1 ql 8
q
ql 2 2
EI
l
X1
MP
3 ql l 8
2
M 1 X1
X1 1
6、绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法） （1）
去掉一个固定端支 座或切断一根弯曲 杆相当于去掉三个 约束. 将刚结点变成铰结 点或将固定端支座 变成固定铰支座相 当于去掉一个约束.
X2
X3
X3
X2
X1
X3
X2
X1
X3
X1 X2
5.几何可变体系不能 作为基本体系
(2)对于具有封闭框格的结构，超静定次数=3n-j
封闭框格数 单铰数目
每一个无铰封闭框格都有三个多余约束。
FP l 2 1 1 FPl 1 Δ1P ( l 1) EI 2 2 4 2 16 EI 2
X1
（b）
（1）平衡条件 （2）变形条件
如图（b）当 X 1 取任何值都满足平衡条件。
1 p 11 0
力法基本未知量X1、基本体系、基本结构、基本方程。
7
1、力法的基本未知量 ——多余未知力 2、力法的基本体系
MA FAx A FAy (1)基本结构——超静定结构去掉 多余约束后所得到的静定结构。 A q EI B
1、超静定梁和刚架
系数和自由项的表达式为： MiM j ij ds EI MiMP ΔiP ds EI
§6–3 超静定梁、刚架和排架 一、梁 例1：用力法作图示连续梁的M图。已知：各跨EI=常数。 10kN/m 解：(1)基本体系 A C D B (2)力法方程 δ11 X1 +δ12X2 +1P=0 6m 6m 6m δ21 X1 +δ22X2 +2P=0 X1 X1 X2 X2 10kN/m 10kN/m (3)系数与自由项的计算 ①作出 M i、M P图 X X2 X1 ②计算系数和自由项 1=1 令EI=1 M1 M1 1 2 X2=1 11 6 1 1 2 4 22 1 2 3 X1=1 M
FP
I1 l/2 FPl/2
I2
l/2 FP
(2)力法方程 δ11 X1 +1P=0 X1=1 l (3)系数与自由项的计算 l ①作出 M 1、M P图 M1 ②计算系数和自由项 3 5 l 1 1 1 2 11 (l l l ) ( l l l) 6 EI 2 EI1 EI 2 2 3
2 1 Δ1P 6 45 1 90 3 2 Δ2P 0
2
45
MP
？
1 X2=1
M2 MP
(4)求解力法方程
4X1 +X2 +90=0
X1 +4X2 =0
10kN/m 24C A 45
D
B
X1 24kN m X 2 6kN m
力法的特点： 力作为基本未知量； 以多余未知力
以去掉多余约束后的静定结构作为基本结构，以基本结 构在荷载和多余未知力共同作用下的基本体系作为基本 工具。 根据多余约束处的位移条件(变形协调条件)建立力法基 本方程，由基本体系与原结构的变形一致达到受力的一 致。 利用静定结构的位移计算求出基本方程中的系数和自由 项，从而求出多余未知力。
21 X 1 22 X 2 .......... ..... 2 n X n 2 P 0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ n1 X 1 n 2 X 2 .......... ..... nn X n nP 0
X2
X2 1
X3
M1 M2
X3 1
13 31 0
2 P 3P 0
P
M3 MP
§ 6 –3
超静定梁、刚架和排架
力法求解超静定结构的步骤
(1)选取基本体系。 (2)列力法方程。 (3)计算系数和自由项： ①作出单位内力图和荷载内力图 (或写出内力表达式)； ②计算系数和自由项。 (4)求解力法方程，确定多余未知力。 (5)作内力图。
•Δi P── Mi与MP图的互乘。
• Mi、MK 图──基本结构上X X
k i
•δi i── Mi 图的自乘。
B X1=1
B X2=1 A
= 1、 A
M1
M2
B
= 1引起的弯矩图。
• MP 图──基本结构上荷载引起的弯矩图。
A
MP
n次超静定结构
11 X 1 12 X 2 .......... ..... 1n X n nP 0
q
FBy B
X1 (2)基本体系 ——基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的 体系。 ★注意：原结构与基本体系的异同： 原结构中FBy为被动力形式，是固定量； 基本体系中X1为主动力形式，是变量； 通过调节X1的大小，可以使基本体系的受力与变形和原结 构完全相同。
总结：
力法的基本思路：将超静定结构的分析转化为静定结构 的分析（利用基本体系）。
3
X3
X1 X X1 2
3次超静定
3.切断一根梁式杆等于去掉三个约束
P X1 X1
1次超静定
4.在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束
5
去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定
X1
X2
X3 X3
X1
X2
去掉一个链杆或切断 一个链杆相当于去掉 一个约束
n=-W=b-2j
X1
X2
X3
X1
X2
X1
X3
如果一个结构的支座反力和各截面内力不能由静力平衡条 件唯一确定，此结构称为超静定结构。
二、超静定次数 一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数。 P S-W=n n=-W
X1
1次超静定
X1
X2
1.切断一根链杆等于去掉一个约束
P
X1
A
2次超静定
4
X2
X1
Q
2.去掉一个单铰等于去掉两个约束
P X X2
5)最后内力
系数行列式之值>0 主系数 ii 0
0 副系数 ij 0 0
M M1 X 1 M 2 X 2 .......... ... M n X n M P
13
P P X1
X1 1
X2
X3 M1 M2
X3 1
1 0 2 0 0 3
11 X 1 12 X 2 1P 0 同一结构可以选取不同的基本体系 21 X 1 22 X 2 2P 0
P P P
X2
n=2
X2 X1
P
X1 X2
X2 X1
P
X1
瞬变体系
满足图乘法的条件时， 可用图乘法
A
B
B X2
X1 A
11 X1 12 X 2 1P 0 •δik──Mi与 MK 图的互乘。 21 X1 22 X 2 2 P 0
２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束；
３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除３个约束； ４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约束。
§6-2 力法的基本概念 一、基本思路 ——将超静定结构的分析转化为静定结构的分析
q EI （a） q q
1 1
1
X1
=
1P
（c） （d ）
教学要求
第 6章
力法
• （1）掌握超静定结构的超静定次数； • （2）掌握力法的基本原理和力法的典型方程； • （3）熟练掌握各种结构在荷载作用、支座移动等条件下力法的应用； • （4）熟练掌握力法计算中对称性的利用；
• （5）掌握超静定结构的位移计算；
重点和难点：
• （1）重点：判断超静定次数、选取力法基本体系、建立力法典型方程；
MP
17 FPl 3 FPl 1 1 1 l FPl 5 Δ1P (l l) ( l) EI1 2 EI 2 2 2 2 6 48EI 2
l
§ 6 –3
超静定梁、刚架和排架
FP I2 I1 l/2 l/2 FP
例1：作出图示刚架的内力图。已知：I1=2I2。 解：(1)基本体系 FP X1 FP FP X1 X1 X1 (2)力法方程 δ11 X1 +1P=0 1 (3)系数与自由项的计算 1 X1=1 ①作出 M 1、M P图 M1 ②计算系数和自由项 5l 1 1 1 2 11 (l 11) ( l 1 1) 6 EI 2 EI1 EI 2 2 3
பைடு நூலகம்
（4）系数与自由项
（5）解力法方程 （6）内力
X2
11
M M1 X 1 M 2 X 2 M P
注意：
2. 取消多余联系时，必须保证基本结构是静定的、几何不变的 3. 确定基本结构时，尽可能使MP图简单。
1 0 2 0
1. 基本未知量、基本结构密切相关，确定一个另一个随之确定。
例：
EI
q l
X1
ql 2 2
q
1P
X1
11
（c） X 1 1
11
（a）
（b）
1、力法基本未知量－X 1 2、力法基本体系－悬臂梁
MP
11 1 p 0
l
X1 1
M1
3、力法基本方程－
11 11 X 1
4、系数与自由项
11 X 1 1P 0
M 1M 1 l3 11 dx EI 3 EI
P
2 P
21
1 P
11
X1 1
22
X2 1
12
（1）基本结构 悬臂刚架 （2）基本未知力 X 1 , X 2 （3）基本方程
1 0 2 0
X1
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
1）
iP, ij 的物理意义； 2）由位移互等定理 ij ji ；
ij
位移的方向 对称方阵
产生位移的原因
3） ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
4）柔度系数及其性质
. 1n 11 12 .......... .......... . 22 2n 21 .......... .......... .......... ...... .......... . n2 nn n1
• 荷载作用下超静定结构的力法计算及内力图绘制与校核；
• （2）难点：根据已知变形条件建立力法典型方程； • 利用对称性取等效半结构；
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数 一、超静定结构 几何特征：多余约束 静力特征：多余力
组成 ：有多余联系的几何不变体系。注意多余联系是对几何不变 体而言，可在结构内部或外部，多余联系中产生的力称为多余力。 如果一个结构的支座反力和各截面内力都可以由静力平衡 条件唯一确定，此结构称为静定结构。
超静定次数=3×1=3 超静定次数=3×5=15
超静定次数=3×2=6 3×5-3=12 5=10 超静定次数=3
？
结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）
一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个 无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。 １）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束；
(5)作M图
6m 6m 6m 6 X X 10kN/m X1 X1 2 2 M图：kN· m X1=1
M1
1 X2=1 1 45
M Mi Xi M P
M2
MP
§ 6 –3
二、刚架
超静定梁、刚架和排架
X1
解：(1)基本体系 FP
X1 X1
FP I1=2I2。 例1：作出图示刚架的内力图。已知： FP X1
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3 P
X2 1
P
M3
MP
P X1
X1 1
EI q l
ql 2 8
M
ql 2 8
3ql 8
（2）
M M1 X1 M P
9
基本体系有多种选择；
11 X 1 1P 0
q EI
X1
q
q
X1
1
q q
1 p
11 X 1
q
X1 X1
1 p
)
11 X 1
X1
（a）
（b ）
（c）
10
二、多次超静定结构
P P
X2 X1
1P , 11
M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI
5、解方程
l3 ql4 X1 0 3EI 8 EI
8
X1
3 ql 8
3 X 1 ql 8
q
ql 2 2
EI
l
X1
MP
3 ql l 8
2
M 1 X1
X1 1
6、绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法） （1）
去掉一个固定端支 座或切断一根弯曲 杆相当于去掉三个 约束. 将刚结点变成铰结 点或将固定端支座 变成固定铰支座相 当于去掉一个约束.
X2
X3
X3
X2
X1
X3
X2
X1
X3
X1 X2
5.几何可变体系不能 作为基本体系
(2)对于具有封闭框格的结构，超静定次数=3n-j
封闭框格数 单铰数目
每一个无铰封闭框格都有三个多余约束。
FP l 2 1 1 FPl 1 Δ1P ( l 1) EI 2 2 4 2 16 EI 2
X1
（b）
（1）平衡条件 （2）变形条件
如图（b）当 X 1 取任何值都满足平衡条件。
1 p 11 0
力法基本未知量X1、基本体系、基本结构、基本方程。
7
1、力法的基本未知量 ——多余未知力 2、力法的基本体系
MA FAx A FAy (1)基本结构——超静定结构去掉 多余约束后所得到的静定结构。 A q EI B
1、超静定梁和刚架
系数和自由项的表达式为： MiM j ij ds EI MiMP ΔiP ds EI
§6–3 超静定梁、刚架和排架 一、梁 例1：用力法作图示连续梁的M图。已知：各跨EI=常数。 10kN/m 解：(1)基本体系 A C D B (2)力法方程 δ11 X1 +δ12X2 +1P=0 6m 6m 6m δ21 X1 +δ22X2 +2P=0 X1 X1 X2 X2 10kN/m 10kN/m (3)系数与自由项的计算 ①作出 M i、M P图 X X2 X1 ②计算系数和自由项 1=1 令EI=1 M1 M1 1 2 X2=1 11 6 1 1 2 4 22 1 2 3 X1=1 M
FP
I1 l/2 FPl/2
I2
l/2 FP
(2)力法方程 δ11 X1 +1P=0 X1=1 l (3)系数与自由项的计算 l ①作出 M 1、M P图 M1 ②计算系数和自由项 3 5 l 1 1 1 2 11 (l l l ) ( l l l) 6 EI 2 EI1 EI 2 2 3