信号与系统(郑君里第二版)第八章z变换
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.
Z变换定义
其 中 复 变 量 z e s, s j；
X(z)也 称 x(n)的 生 成 函 数 ， 是 z-1的 幂 级 数 或 洛 朗 级 数
Z变 换 的 应 用 ： 非 因 果 序 列 也 有 一 定 应 用 ， 着 重 单 边 Z变 换 分 析 同 时 适 当 兼 顾 双 边 Z变 换 分 析 。
n0
X ( z ) = a nu (n )z n b nu (n 1 )z n
n 0
n 0
= a n z n
n0
.
举例8.1
当z>a时，X(z)= z z-a
jIm(z)
a
0
Re(z)
收敛域为以零点为圆心、 a为半径的园外部分 （如例图8.1所示）
图8.1序列单边Z变换的收敛域
.
举例8.1
0 z
.
几类序列的Z变换收敛域
2）n1<0,n20时，除z=外，X(z)在z平面上处 处收敛。即收敛域为：
z
3）n10,n2>0时，除z=0外，X(z)在z平面上处处 收敛。即收敛域为：
z 0
所以，有限长序列的z变换收敛域至少为：
0 z 且有可能包括z=或z=0点。
.
几类序列的Z变换收敛域
表示式为：
xs(t)x(t)gT(t)x(nT)(tnT) n0
两边取拉氏变换
X s(s)0 xs(t)e std t0 n 0x(n T )(t n T ) e std t
.
z变换的引入
积分与求和的次序对调
Xs(s)
x(nT)
(t
nT)estdt
0
n0
x(nT)enTs
第八章
离散时间系统 的Z域分析
.
本章的主要内容
z变换定义、典型序列的z变换 z变换的收敛域 逆z变换 z变换的基本性质 z变换与拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程 离散系统的系统函数 序列的傅里叶变换
.
第一节 引言
.
一、Z变换方法的发展历史
1730年，英国数学家棣莫弗（De Moivre 16671754)将生成函数（generation function)的概念引 入概率理论中。
.
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 (n )Z 1
1
2单 位 阶 跃 序 列 u(n)Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3斜 变 序 列 nu(n)Z
z
z
12
, z
1
0
n
.
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u (n ) Z z
a
0
b
Re(z)
收敛域为以零点为圆心、 内/外半径a/b的园环形 （如例图8.2所示）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图8.2序列双边Z变换的收敛域
.
二、几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有
限值，此时，Z变换为：
n2
X(z)= x(n)z-n nn1
1）n1<0,n2>0时，除z=及z=0外，X(z)在z平面 上处处收敛。即收敛域为：
19世纪拉普拉斯（P.S.Laplace)至20世纪的沙尔 （H.L.Seal)等人贡献。
20世纪50，60年代z变换成为重要的数学工具。 z变换的地位与作用：类似于连续系统中的拉普拉
斯变换。
.
二、z变换的引入
借助于抽样信号的拉氏变换引出。 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)的
若 求 双 边 Z 变 换X(z)= x(n)z-n
n
X ( z ) = a n u (n )z n b n u ( n 1 )z n
n
n
1
= anzn bnzn
n0
n
= anzn1 bnzn
n0
n0
.
举例8.1
当 a<z<b时 ， X(z)=z- zaz- zb
jIm(z)
za
5 单 边 正 弦 序 列 s in ( n 0 ) u n
Z
1 z 2 j z ej0
z z e j0
z2
zsin0 2z cos0
, 1
z 1
.
典型序列的Z变换
6 单 边 余 弦 序 列 c o s ( n 0 ) u n
Z
1 z 2 z ej0
z z e j0
z(z cos0) , z 1 z2 2zcos0 1
2、右边序列
此序列是有始无终的序列，即当(n<n1时x(n)=0), 此序列的Z变换为：
X(z)= x(n)z-n nn1
根据根值判别法:
lim n x(n)z-n <1
n0
z esT
引入一个新的复变量z
X (z) x(n T )z n 令 T 1 X (z) x(n )z n
n 0
n 0 .
第二节 Z变换定义、 典型序列的z变换
.
一、Z变换定义
Z变换定义
序 列 的 Z变 换 ：
设 某 序 列 为 x(n)
则 其 单 边 Z 变 换 X ( z ) = Z x (n ) x (n )z -n n 0 双 边 Z 变 换 X(z)=Zx(n) x(n)z-n n
.
第三节 Z变换的收敛域
.
一、 Z变换的收敛域
收 敛 域 ( R O C : r e g i o n o f c o n v e r g e n c e ) ：
对 任 意 给 定 的 有 界 序 列 x (n ), 使 其 z 变 换 定 义 式 级 数 收 敛 的 所 有 z 值 集 合
收 敛 域 的 说 明 ： 单 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 唯 一 对 应 ； 双 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 不 唯 一 对 应 。
.
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。 .
Z变换的收敛域
(2)根值判定法：设一个正项级数an, n=- 令其limn an n 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
（ 常 用 序 列 的 收 敛 域 参 见 p .5 2 表 8 -1 ）
.
举例8.1
已 知 序 例 x (n ) a n u (n ) b n u ( n 1 ), b a , a 、 b 0 , 求 其 z 变 换 并 确 定 其 收 敛 域
解 ： x(n)为 双 边 序 列
若 求 单 边 Z 变 换X(z)= x(n)z-n
Z变换定义
其 中 复 变 量 z e s, s j；
X(z)也 称 x(n)的 生 成 函 数 ， 是 z-1的 幂 级 数 或 洛 朗 级 数
Z变 换 的 应 用 ： 非 因 果 序 列 也 有 一 定 应 用 ， 着 重 单 边 Z变 换 分 析 同 时 适 当 兼 顾 双 边 Z变 换 分 析 。
n0
X ( z ) = a nu (n )z n b nu (n 1 )z n
n 0
n 0
= a n z n
n0
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举例8.1
当z>a时，X(z)= z z-a
jIm(z)
a
0
Re(z)
收敛域为以零点为圆心、 a为半径的园外部分 （如例图8.1所示）
图8.1序列单边Z变换的收敛域
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举例8.1
0 z
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几类序列的Z变换收敛域
2）n1<0,n20时，除z=外，X(z)在z平面上处 处收敛。即收敛域为：
z
3）n10,n2>0时，除z=0外，X(z)在z平面上处处 收敛。即收敛域为：
z 0
所以，有限长序列的z变换收敛域至少为：
0 z 且有可能包括z=或z=0点。
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几类序列的Z变换收敛域
表示式为：
xs(t)x(t)gT(t)x(nT)(tnT) n0
两边取拉氏变换
X s(s)0 xs(t)e std t0 n 0x(n T )(t n T ) e std t
.
z变换的引入
积分与求和的次序对调
Xs(s)
x(nT)
(t
nT)estdt
0
n0
x(nT)enTs
第八章
离散时间系统 的Z域分析
.
本章的主要内容
z变换定义、典型序列的z变换 z变换的收敛域 逆z变换 z变换的基本性质 z变换与拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程 离散系统的系统函数 序列的傅里叶变换
.
第一节 引言
.
一、Z变换方法的发展历史
1730年，英国数学家棣莫弗（De Moivre 16671754)将生成函数（generation function)的概念引 入概率理论中。
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二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 (n )Z 1
1
2单 位 阶 跃 序 列 u(n)Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3斜 变 序 列 nu(n)Z
z
z
12
, z
1
0
n
.
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u (n ) Z z
a
0
b
Re(z)
收敛域为以零点为圆心、 内/外半径a/b的园环形 （如例图8.2所示）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图8.2序列双边Z变换的收敛域
.
二、几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有
限值，此时，Z变换为：
n2
X(z)= x(n)z-n nn1
1）n1<0,n2>0时，除z=及z=0外，X(z)在z平面 上处处收敛。即收敛域为：
19世纪拉普拉斯（P.S.Laplace)至20世纪的沙尔 （H.L.Seal)等人贡献。
20世纪50，60年代z变换成为重要的数学工具。 z变换的地位与作用：类似于连续系统中的拉普拉
斯变换。
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二、z变换的引入
借助于抽样信号的拉氏变换引出。 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)的
若 求 双 边 Z 变 换X(z)= x(n)z-n
n
X ( z ) = a n u (n )z n b n u ( n 1 )z n
n
n
1
= anzn bnzn
n0
n
= anzn1 bnzn
n0
n0
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举例8.1
当 a<z<b时 ， X(z)=z- zaz- zb
jIm(z)
za
5 单 边 正 弦 序 列 s in ( n 0 ) u n
Z
1 z 2 j z ej0
z z e j0
z2
zsin0 2z cos0
, 1
z 1
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典型序列的Z变换
6 单 边 余 弦 序 列 c o s ( n 0 ) u n
Z
1 z 2 z ej0
z z e j0
z(z cos0) , z 1 z2 2zcos0 1
2、右边序列
此序列是有始无终的序列，即当(n<n1时x(n)=0), 此序列的Z变换为：
X(z)= x(n)z-n nn1
根据根值判别法:
lim n x(n)z-n <1
n0
z esT
引入一个新的复变量z
X (z) x(n T )z n 令 T 1 X (z) x(n )z n
n 0
n 0 .
第二节 Z变换定义、 典型序列的z变换
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一、Z变换定义
Z变换定义
序 列 的 Z变 换 ：
设 某 序 列 为 x(n)
则 其 单 边 Z 变 换 X ( z ) = Z x (n ) x (n )z -n n 0 双 边 Z 变 换 X(z)=Zx(n) x(n)z-n n
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第三节 Z变换的收敛域
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一、 Z变换的收敛域
收 敛 域 ( R O C : r e g i o n o f c o n v e r g e n c e ) ：
对 任 意 给 定 的 有 界 序 列 x (n ), 使 其 z 变 换 定 义 式 级 数 收 敛 的 所 有 z 值 集 合
收 敛 域 的 说 明 ： 单 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 唯 一 对 应 ； 双 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 不 唯 一 对 应 。
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Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。 .
Z变换的收敛域
(2)根值判定法：设一个正项级数an, n=- 令其limn an n 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
（ 常 用 序 列 的 收 敛 域 参 见 p .5 2 表 8 -1 ）
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举例8.1
已 知 序 例 x (n ) a n u (n ) b n u ( n 1 ), b a , a 、 b 0 , 求 其 z 变 换 并 确 定 其 收 敛 域
解 ： x(n)为 双 边 序 列
若 求 单 边 Z 变 换X(z)= x(n)z-n