《材料力学》i截面的几何性质习题解

附录I 截面的几何性质 习题解
[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。

（a ）
解：)(24000)1020()2040(3
mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=
（b ）
解：)(422502
65
)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）
解：)(280000)10150()20100(3
mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=
（d ）
解：)(520000)20150()40100(3
mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为：
θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为：
3
2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300
2
r r x d dx x S r r
x =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰
πθθθπ
π
因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π
34r
y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a ） 解：
习题I-3(a): 求门形截面的形心位置
矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边
上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右
150 20 3000 75 225000
14000
1730000
Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai
(b) 解：
(c)
解：
[习题I-4]试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩x I、y I和惯性积xy I。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(
四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰
⎰
-⋅==
2/0042
/0
2
3
2
2cos 1]4[sin ππθθ
θθd x d dx x I r r
x
)]2(2cos 21[2142/02
/0
4θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 2
12{82
/04πθπ-=r 16
4
r ⋅=
π
由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：
16
4
r I I x y ⋅=
=π
微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：
xydA dI xy =
8
)42(21]42[21)(2144404222
20
2
2r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r
x r r
xy =-=-=-==⎰⎰
⎰
- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为
mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。

解：圆的方程为：
222r y x =+
如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dy y r dA 222-=
切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：
dy y r y I r r x 22sin sin 22-=⎰
-α
α
α
αsin sin 4
2222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=
)4sin 41
(24αα-=r )4sin 4(84αα-=r 222
1100)20100(=-+x
360021=x )(601mm x =
34
6020100tan =-=
α )(927.013.533
4arctan 0
rad ===α
)(10963.3)52.212sin 927.04(8
1004704
mm I x ⨯=-⨯=
[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。

dy y dz dy y dz dA y I a a z a
z a z a
z a A
z ⎰
⎰
⎰
⎰
⎰+
--+
---+==2
20
2
22
2222222
2
2
2
][22
20
2
20
22
20
2
2
2dy y dz dy y dz a a z a z a ⎰
⎰
⎰
⎰
+
-+
-+⋅=
[]
[]
][322
20
2
20
3
222
20
3
⎰
⎰+
--+
+⋅=a a z a
a z dz y dz y
])2
2()22()22()22([3222
030223⎰⎰+-+--++⋅=-a a a z d a z a z d a z a a a z a z 2
2
40
2
244)22(324)22(32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅=-
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+16163244a a 12
4
a = 故正方形对其的对角线的惯性矩为：12
4
a I z =。

[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。

(a) 解：)(21177368])175150
(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-⨯⨯=-=απ (b)
)(904499991509012
1
210150121433mm I x =⨯⨯-⨯⨯=
[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心
轴
的惯性矩
所以
再次应用平行轴定理，得
[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。

解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩
再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩
[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。

它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。

该等
边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是
上面一个圆的圆心到 轴的距离是d 6
32。

利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：
[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是。

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩
)(657600002)101201151012012
1
(
104.34237
mm I z =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯= （b ）等边角钢
的截面积是
，其形心距外边缘的距离是 mm ，
求得组合截面对轴 的惯性矩如下：
习题I-11（b ）图
图形 b h Ixc a A Ix 中间矩形
10
600
6000
上矩形 250 10 20833 305 2500 3 下矩形 250 10 20833 305 2500 3 左上L 形 1795100 1926 5 右上L 形 1795100 1926 5 左下L 形 1795100 1926 5 右下L 形
1795100
1926
5 A a I I xc x 2+=
45
[习题I-12] 试求习题I-3a 图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。

关于形心位置，可利 用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。

惯性矩
计算如下：
[习题I-12] 试求图示各截面对其形心轴x 的惯性矩。

图形
bi
hi
Ai
Yci
AiYci
Yc ai Ixci
Ix(mm 4)
从下往上
220 16 3520 8 28160 374 75093 3 180
14 2520 23 57960 359 41160 0 16 674 10784 367 3957728 0
9
9 220 14 3080 711 2189880 329 50307 7 445 9
4005
2893613 341 27034 5
23909
9127341
382
14
[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42⨯的矩形孔，如图所示。

试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。

解：先求形心主轴 的位置
截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：
（y 轴向下为正）
（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）
（组合图形对形心轴x 的惯性矩）
习题I-14
b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc
ai Ix(a4)
矩
形 4 2
1
-8
圆 4 0 0
-8
[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100=的半圆形孔，如图所示。

试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：
习题I-15
图形
bi hi
r
Ai
Yci AiYci
Yc
Ixci ai Ix 正方形 200 200 40000 100 4000000 3 2 1 半圆 50 -3927 79 -309365 685977
24 2860346 全图
36073
3690635 102
5
π
34100r y c -= π
π9884
4r r I xc -⋅=
A a I I xc x 2+=
形心位置：X （0，102）。

对水平形心轴的惯性矩：4
130686455mm I x =。

对竖直形心轴
的惯性矩：
)(1308789668
5014159.31220081244
444mm r a I y =⨯-=⋅-=π
习题I-15
图形 a r Iy （mm 4
） 正方形 200 半圆 50 2454367 全图
6
8
124
4r a I y ⋅-=π
[习题I-16] 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩x I 和
y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少
解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴
、 的惯性矩是
，
；横截面积为
；槽钢背到其形心轴
的距离是。

根据惯性矩定义 和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别是
；
若
即
等式两边同除以2，然后代入数据，得
于是
所以，两槽钢相距
[习题I-17] 试求图示截面的惯性积xy I
解：设矩形的宽为b 高为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则
由平行移轴公式得：
224
1
)2()2(0h b bh b h abA I I C C y x xy =⋅⋅+=+=
故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 224
1h b I xy =
[习题I-18] 图示截面由两个
mm mm mm 10125125⨯⨯的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。

试求该截
面的最大惯性矩m ax I 和最小惯性矩m ax I 。

解：从图中可知，该截面的形心C 位于两缀板共同的形心上。

过C 点作水平线，
向右为c x 轴正向；过C 点，垂直于c x 轴的直线为c y 轴向上为正。

把c c cy x 坐标绕C 点逆时针转0
45
后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴00,y x 。

主惯性矩
max 0I I x =，min 0I I y =
查型钢表得：号等边角钢的参数如下：
2373.24cm A = ，4'46.14900cm I I x y ==，4
'89.5730
0cm I I y x ==，cm z 45.30= 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：
cm z a 295.3)5.045.3(212
2
20=+=⨯+
= )(1820]373.24)295.3(46.149[242max 0cm I I x =⨯+⨯==
)(114889.57324min 0cm I I y =⨯==
（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）
[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积11y x I 和惯性矩1x I ，1y I 并作出比较。

习题I-17
图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形: 100 10 250000 重复加的矩形 10
10
2500 全图
上图+下图-重复图=
497500
解：12
4
a I x =
12
4
a I y =
0=xy I （y x ,为形心主惯性轴）
1200212122sin 2cos 2244
41a a a I I I I I I xy y x y x x =-++=--++=αα
1200212122sin 2cos 2244
41
a a a I I I I I I xy y x y x y =--+=+--+=αα
0002cos 2sin 2
11=-=+-=
ααxy y
x y x I I I I
结论：
1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；
2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。

[习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a ）
解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

)
(5.575146666)402400(201212]40200)2402400(40200121[4323mm I x =⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯=)
(6.183146666203201212]40200)2202200(20040121[4323mm I y =⨯⨯+⨯⨯⨯-+⨯⨯=)(2592000002]40200)220
2200()2402400([4mm I xy -=⨯⨯⨯-⨯--=
3164.16
.1813466665.575146666)
259200000()2(22tan 0=--⨯-=
--=
y
x xy I I I α
'47523164.1arctan 200==α
'242600=α
Ix Iy Ixy
-0 Ix0= 7
-0
Iy0=
2
24)(2
12
0xy
y x y
x y x I I I I I I I +-±
+=
(b)
解：以20号槽钢（图I ）的下边缘为x 轴，左边缘为y 轴，建立坐标系。

8号槽钢编号
为图II 。

则组合截面的形心计算如下：
习题I-20(b) 长度单位:cm
图形 Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc I 10 64 II 16 -15 全图
习题I-20（b ）
图
形 Ai
i a
bi
Ixci' Iyci' Ixci Iyci Ixciyci' Ixciyci tan2a0 a0 Ix0 Iy0
I
1981 165 0
II 0
全
图
2296 249 0
[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的x I ，并与该题得出的精确值相比较。

已矩该截面的半径mm r 100 。

解：圆的方程为：
222100=+y x
把y 轴的半径10等分，即mm 10=δ。

过等分点，作x 轴的平行线。

从下往上，每个分块 的中点的y 坐标与x 坐标如下表所示。

[习题I-22] 试证明：直角边长度为a 的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯
性积绝对值为724a I xy =（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。

）
解: b
y b h z )(-= 24)(222202200h b ydy y b b h ydy zdz dA yz I b b
z A yz =-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰
⎰⎰ 72
23324)3)(3(2222h b bh h b h b A h b I I yz z y C C -=⋅⋅-=-= 令a h b ==得:72||4
a I C
C z y =.。