§3应变的坐标变换与应变张量

§3.3 应变的坐标变换与应变张量

学习思路:

与应力状态分析相同，一点的应变分量在不同坐标系下的描述是不相同的，因此讨论应变状态，就必须建立坐标变换，就是坐标转动时的应变分量变换关系。

本节通过新坐标系与旧坐标系之间的位移变换关系式，根据几何方程，通过复合函数的微分，就可以得到应变分量的转轴公式。

转轴公式表明应变张量也是二阶对称张量。

根据转轴公式，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即应变状态完全确定。

应变状态分析表明：坐标变换后各个应变分量均发生改变，但是作为一个整体，一点的应变状态是不会改变的。

学习要点：

1. 坐标变换；

2. 应变分量坐标转轴公式；

3. 应变张量。

应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。

通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。

设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。

设转动矢量为ω，OP之间的距离矢量为 ，如图所示。

则

引入拉普拉斯算符矢量

设P点的位移矢量为U，有

U =u i +u j +u k 由于位移矢量可以表示为U =ω×ρ , 所以

即

其中

ωx, ωy, ωz为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。

设M点的坐标为（x，y，z），位移（u，v，w）。与M点邻近的N点，坐标为（x+d x，y+d y，z+d z），位移为（u+d u，v+d v，w+d w）。

则MN两点的相对位移为（d u，d v，d w）。因为位移为坐标的函数，所以

同理可得

以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。

刚性转动位移的物理意义为，如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则与某点无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中某一点，一般还要发生变形，因此位移中还包括纯变形位移。

总得来讲，与M点无限邻近的N点的位移由三部分组成的：

1．随同M点作平动位移。

2．绕M点作刚性转动在N点产生的位移。

3．由于M点及其邻近区域的变形在N点引起的位移。

转动分量ω x, ω y，ω z 对于微分单元体，描述的是刚性转动，但其对于整个弹性体来讲，仍属于变形的一部分。三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅确定了微分单元体形状的变化，而且确定了方位的变化。

位移增量公式如果使用矩阵形式表示，可得

显然，位移的增量是由两部分组成的，一部分是转动分量引起的刚体转动位移，另一部分是应变分量引起的变形位移增量。

§3.4 主应变和应变不变量

学习思路:

应变状态分析需要确定一点的最大正应变及其方位，就是确定主应变和主平面。

对于任意一点，至少有三个垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的正应变称为主应变。

本节根据位移增量与应变分量以及主应变的关系，推导求解主应变及其方向余弦的齐次方程组。根据齐次方程组非零解的条件，可以确定关于求解主应力的应变状态特征方程。

根据特征方程，可以确定三个主应变。如果将主应变回代齐次方程组，并且注意到任意截面的三个方向余弦的平方和等于1，则可解应变主轴的方向余弦。

根据特征方程和应变不变量可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和应力主轴是类似的。

学习要点：

1. 位移微分表达式；

2. 主应变齐次方程组；

3. 主应变特征方程与不变量。

弹性体内任一点的六个应变分量，即应变张量随着坐标轴的旋转而改变。因此是否可以像应力张量一样，对于某一个确定点，在某个坐标系下所有的切应变分量都为零，仅有正应变分量不等于零。即能否找到三个相互垂直的方向，在这三个方向上的微分线段在物体变形后只是各自改变长度，而其夹角仍为直角。答案是肯定的。

在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。

具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为主应变。

设ε ij为物体内某点在已知坐标系的应变张量，求其主应变ε1，ε2，ε3及应变

主轴方向n

1,n2, n3。设MN为M点的主轴之一，其变形前的方向余弦为l，m，

n，主应变为ε。令dρ表示MN 的长度, 则MN相对伸长为ε dρ，如图所示。

设M点的位移为（u，v，w），则N点的位移为（u+d u，v+d v，w+d w）。因为

d u=在x方向的变形位移分量+刚性转动位移在x方向的分量

=ε l dρ + 刚性转动位移在x方向的分量

根据公式

即d u等于纯变形位移与刚性转动位移在x方向的分量之和。根据上述公式，可得

或者写作

同理可得

上述公式是关于l，m，n的齐次线性方程组。

对于l，m，n的齐次线性方程组，其非零解的条件为其系数行列式的值为零。即

将上式展开，可得主应变特征方程，

其中

显然与应力不变量相同，J1，J2，J3为应变不变量，分别称为第一，第二和第三应变不变量。

根据特征方程，可以求解得到三个主应变。将求解后的主应变代入公式，并注意到任意一点三个方向余弦的平方和等于1，则可解应变主轴的方向余弦。

由应力张量和应变张量，应力不变量和应变不变量之间的公式的比较可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和应力主轴是类似的。