线面积分 与两个公式

: z z( x, y) 上侧
f x, y, z(x, y)
1
z
2 x
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)dxdy
Dxy
: x x( y, z), dS
1
x
2 y
xz2 dydz,
投影
D yz
: y y( x, z),dS
1
y
2 x
yz2 dxdz,
投影D xz
（2）对坐标（第二类）的曲面积分 有方向
若 : z z( x, y) 上侧，则
R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdy
Dxy
若 : z z( x, y) 下侧，则
R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdy
Dxy
: x x( y, z), P( x, y, z)dydz P x( y, z), y, zdydz
第一类曲线积分的求法
1.基本方法：
由积分曲线的表达式求出弧微分元素，
将积分曲线代入被积函数，
定积分定限：下限小于上限.
L f ( x, y)ds
x (t),
L
:
y
(
t
),
(
t ),
f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )d t ,
2.利用积分性质: L d s L的 长 度
dydz cosdS, dzdx cos dS,dxdy cos dS,
的单位法向量 nr0 (cos ,cos ,cos )
三.两类曲线(曲面)积分的典型问题
一般曲线积分化成定积分计算， 封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.
一般曲面积分化成二重积分计算， 封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.
( P x
Q y
R z
)dv
Ò
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
为外侧.
6.两类积分之间的关系：
曲线: Pdx Qdy= P cos Qcos ds
L
L
dx cosds, dy cos ds.
L的切向量
r t
(cos ,cos
)
曲面: Pdydz Qdzdx Rdxdy
= P cos Qcos Rcos dS
第二类 xdy 0 xd( x2 ) 0 2x2dx
二.要点提示
1.曲线积分的计算——化为定积分计算
（1）对弧长（第一类）
设L：x (t), y (t), t
f ( x, y)ds f (t), (t) 2(t) 2(t)dt,
L
弧微分 ds 2(t) 2(t)dt,
（2）对坐标（第二类） 有方向
设L：x (t), y (t),
(3)
在G内是某一函数
的全微分,
即存在可微函数 使d u( x, y) P d x Q d y.
(4)在G 内每一点都有 P Q . y x
5.高斯公式 —— 曲面积分与三重积分的关系
设 空 间 闭 区 域 是 由 光 滑 (或 分 片 光 滑 ) 曲面所围成，函数P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在上具有一阶连续偏导数,则有
Ñ Pdx
L
Qdy
4.曲线积分与路径无关的条件
L取正向.
Q P x y
以及等价关系.
定理2 设G是单连通域, 函数
在G内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:
(1)沿G 中任意光滑闭曲线C,有 Pdx Qd y 0. C
(2)对G中任一分段光滑曲线L, 曲线积分
Pdx Qd y 与路径无关, 只与起、终点有关. L
Βιβλιοθήκη Baidu
x2ds 1 ( x2 y2 z2 )ds
3
例 设L为椭圆 x2 y2 1, 其周长为a，求
43
Ñ (2x cos y 3x2 4 y2 )ds
L
解 原式= 蜒 2x cos yds (3x2 4 y2 )ds
L
L
因为积分曲线L关于y轴对称，函数 2xcosy是
x的奇函数，因此有 Ñ 2x cos yds 0
第五次见面课
第二类曲线、曲面积分 格林公式与高斯公式
一 基本要求
1．理解第二类曲线和曲面积分的概念,了 解性质以及两类积分的关系.
2.掌握计算第二类曲线、曲面积分的方法.
3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分 与路径无关的条件等.
4. 掌握高斯公式,并会用公式求曲面积分.
5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何 量与物理量（弧长,质量,重心,转动惯量, 引力、功和流量等）.
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
t : 从变到
{P[x(t), y(t)]x(t) Q[x(t), y(t)]y(t)}dt
曲线积分
第一类
yds
1
x
1 [( x2 )]2 dx
1
x
1 4x2 dx
L
0
0
其中L是 y x2上(0, 0)与(1,1)之间的一段弧.
例 求
x2 y2
n
ds,
L
L : 下半圆周 y a2 x2
解
x2
y2
n
ds
a2
n
ds
L
L
a 2 n d s a 2 n 1 L
3.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性
例 求
x 2ds,
x2 :
y2
z2
R2
L
x yz0
x2ds y2ds z2ds
Dyz
: y y( x, z), Q( x, y, z)dzdx Q x. y(z, x), zdzdx
Dzx
3.格林公式 ---- 平面上曲线积分与二重积分的关系
设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成,
函数P x, y ,Q x, y 在D上有一阶连续
偏导数，则有
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
而 蜒 (3x2 4 y2 )ds 12ds 12a
L
L
所以 Ñ (2x cos y 3x2 4 y2 )ds 12a
L
第二类曲线积分的求法
1.基本方法： 由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量， 将积分曲线代入被积表达式， 定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.
L : x x(t), y y(t),
从A , 到B ,
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
P
(t ),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt
2．曲面积分的计算（化为二重积分）
（1）对面积（第一类）的曲面积分
若 : z z( x, y), 向xoy面的投影为Dxy , 则
f (x, y, z)dS
R( x, y, z)dxdy