2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)四调数学试卷试题及答案(解析版)(理科)

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．46．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．128．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．211．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．2712．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＞a}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；∴a＜0；∴实数a的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故选：D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵、，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∵sinα＜sinβ且α，β均为锐角，∴0＜α＜β＜，∴﹣＜α﹣β＜0，又sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣＝﹣，∴α﹣β＝﹣．故选：C．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵，∴或，k∈Z，∴a＝3，b＝或a＝﹣3，b＝，k∈Z．∵a∈R，b∈[0，2π]，∴当k＝﹣1时，b＝或k＝0时，b＝，满足条件，∴满足条件的有序实数对（a，b）为（3，）和（﹣3，），共2对．故选：B．6．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．联立，解得P（，）．∴．故选：B．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设等差数列{a n}的公差d不为零，S3，S9，S27成等比数列，可得S92＝S3S27，即有（9a1+36d）2＝（3a1+3d）（27a1+351d），化为d＝2a1，则＝＝＝9，故选：C．8．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，，点P满足，∴∴∵，（λ＞0，μ＞0），∴因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝1+≥1+＝当且仅当μ＝λ时取“＝”，则λ+μ的最小值为故选：B．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C．10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．2【解答】解：根据三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）坐标，设圆心的坐标为P（a，﹣2），利用r2＝（1﹣a）2+（3+2）2＝（4﹣a）2+（2+2）2，解得a＝1，所以P（1，﹣2，）由于直线x+ay+2＝0经过定点Q（﹣2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，所以l ＝2，所以最小弦长为4．故选：B．11．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．27【解答】解：如图，延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，∵A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E，∴M，N分别为C1B1，B1B的中点，下部分体积V下＝V P﹣AQC﹣V﹣V M﹣ABQ＝﹣＝23．故选：B．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝﹣4．【解答】解：∵，∴f（）＝＝﹣3∴．故答案为：﹣4．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．【解答】解：由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，∴＝3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y轴右侧时，|AF2|＝＝，故答案为：．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）＝，f（x0）＝（x＞0），即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）＝（）（x﹣x0），则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）＝﹣（）＝＝＝当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0＝e，＝＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，故，即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）＝＝，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．【解答】解：（1）由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝13﹣12cos C，BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DA cos A＝5+4cos C，所以cos C＝，故C＝60°．（2）由，＝，所以CE＝18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面P AB内的正投影，∴DE⊥面P AB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又P A＝PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG．由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PG＝3，PE＝2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2．所以四面体PDEF的体积V＝×DE×S△PEF＝×2××2×2＝．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2＝5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8＝0，解得k＝﹣或k＝﹣．由＞0．可得k，故k＝﹣，20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中点，∴OG∥DC，且OG＝DC＝1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF＝OG，即四边形OGEF是平行四边形，∴FG∥OE，∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴FG∥平面BED；（2）证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝，仅而∠ADB＝90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面AED，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED＝ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD＝1，DE＝3，AE＝，由余弦定理得cos∠ADE＝，∴sin∠ADE＝，∴AH＝AD•，在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a ﹣4）＝3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）＝1，f'（x0）＝0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0＝a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0＝a时，f（x）≤f（a）＝1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）＝a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b＝1，得b＝2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）＝2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）＝6x2﹣12x，令t'（x）＝0，解得x＝2（舍去），或x＝0．∵t（﹣1）＝﹣7，t（1）＝﹣3，t（0）＝1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．。