n阶行列式
第一章n阶行列式
第一章 n 阶行列式§1 全排列及逆序数解方程是代数中的一个基本问题，中学代数中，解线性方程组问题时引出了二阶和三阶行列式，我们知道它们的展开式分别为11122122a a a a =a 11a 22-a 12a 21， (1-1)111213212223313233a a a a a a a a a =a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32 -a 13a 22a 31-a 11a 23a 32-a 1２a 2１a 33， （1-２）其中元素a ij 的两个下标i 与j 分别表示a ij 所在的行与列的序数. 我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念.定义1 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级全排列(简称排列).有序数组12和21，由两个数构成，称为二级排列，有序数组213则称为三级排列，三级排列的总数为3!=6个，4321为四级排列，四级排列的总数为4!=24个，n 级排列的总数是n (n -1)(n -2)·…·2·1=n !，读为“n 阶乘”.显然12…n 也是一个n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序.定义2 在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与 大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.一个排列j 1j 2…j n 的逆序数，一般记为τ(j 1j 2…j n ).排列12的逆序数为0；排列21的逆序数为1；排列231的数对21、31均构成逆序，而23不构成逆序，因此排列231的逆序数为2；同理排列213的逆序数是1，即τ(213)=1.进一步我们有以下定义.定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 二级排列12为偶排列，21为奇排列；三级排列231为偶排列，213为奇排列. 现在我们探讨(1-1)、(1-2)式右端各项的规律： (1-1)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，对它们第二个下标进行观察：第二个下标由两个自然数1和2组成，只能构成两个二级排列：12和21，排列个数等于(1-1)式右端的项数，且排列12的逆序数为0，对应项的符号为“+”，而排列21的逆序数为1，所对应项的符号为“-”.(1-2)式右端各项的第一个下标按自然顺序排列，第二个下标由自然数1、2和3组成，构成的三级排列共有3!=6个：123、231、312、132、213、321，这正好等于(1-2)式右端的项数，排列为123、231、312的逆序数分别为0、2、2，它们均为偶排列，对应项的符号为“+”，排列132、213、321的逆序数分别为1、1、3，它们都是奇排列，对应项的符号为“-”.综上所述：(1-2)式右端各项可写成123123j j j a a a ，这里j 1j 2j 3是1、2、3的一个三级排列，当j 1j 2j 3为偶排列时，项123123j j j a a a 前面的符号为正，当j 1j 2j 3为奇排列时，项123123j j j a a a 前面的符号为负，各项所带符号均可表示为(-1)J，其中J=τ（j 1j 2j 3）为排列j 1j 2j 3的逆序数.从而(1-2)式可写为123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=-∑，123j j j ∑表示对全体三级排列求和.例1计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. (1) 42531，（2） 135…（2n -1）246…(2n ).解（1） 对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.把这些数加起来，即0+1+0+2+4=7故排列42531的逆序数为7，即τ(42531)=7，因而是奇排列.(2) 同理可得：τ[135…(2n -1)246…(2n )]=0+(n -1)+(n -2)+…+2+1=(1)2n n +. 所给排列当n =4k 或4k +1时为偶排列，当n =4k +2或4k +3时为奇排列.§2行列式的定义定义4 n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （1-3）的代数和，这里j 1j 2…j n 是1，2，…，n 的一个排列，每一项（1-3）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1-3）带有正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1-3）带有负号.这一定义可以写成12121211121()212221212(1)n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑， (1.4)这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.例2 计算四阶行列式11212231323341424344000000a a a D a a a a a a a =.解 根据定义，D 是4!=24项的代数和，但每一项的乘积12341234j j j j a a a a 中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0的项.由于第1行元素除a 11外全为0，故只需考虑j 1=1，第2行元素中只有a 21,a 22不为0，现已取j １=1，故必须取j ２=2，同理必须取j 3=3，j 4=4，这就是说行列式展开式中不为0的项只可能是11223344a a a a ，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式11223344D a a a a =.行列式中，从左上角到右下角的直线称为主对角线.主对角线以上的元素全为零(即i <j 时元素a ij =0)的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积.主对角线以下的元素全为零(即i >j 时元素a ij =0)的行列式称为上三角行列式，同理可证它等于主对角线上各元素的乘积.行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零(即i ≠j 时元素a ij =0)的行列式称为对角行列式，由上面可知它等于对主角线上元素的乘积，即11221122nn nna a D a a a a ==.例3 证明11121(1)212,11,211,11,21(1)nn n n n n n n n n a a a D a a a a a a a -----==-.上面的行列式中，未写出的元素都是0.证 由于行列式的值为：121212(1)n nJj j nj j j j a a a -∑，只需对可能不为0的乘积1212(1)n J j j nj a a a -求和，考虑第n 行元素n nj a ，知j n =1，再考虑第n -1行元素a n -1,j n -1，知j n -1=1或j n -1=2，由于j n =1知j n -1=2，如此类推j 2=n -1,j 1=n ,排列j 1j 2…j n 只能是排列n (n -1)…21,它的逆序数为J=(n -1)+(n -2)+…+2+1=n (n -1)2,所以行列式的值为(1)212,11,21(1)n n n n n n a a a a ----.由此可见1112131421221314233241313241000a a a a a a a D a a a a a a a ==. 例4 设1111111111110000k k kk kn n nkn nna a a a D c cb bc c b b =，11111kk kk a a D a a =，11121nn nnb b D b b =，证明D =D 1D 2.证 记 111,,1,k nk n k n k nd d D b b ++++=，其中d ij =a ij (i ,j =1,2,…，k )； d k +i ,k +j =b ij (i ,j =1,2,…，n )； d i ,k +j =0 (i =1,2,…，k ; j =1,2,…，n ).考察D 的一般项12121,1,(1)k k k Rr r kr k r k n r n d d d d d ++++-，R 是排列121k k k n rr r r r ++的逆序数，由于,0i j k d += (i =1,2,…，k ; j =1，2，…，n )，因此12,,,k r r r 均不可大于k 值，否则该项为0，故12,,k r r r 只能在1，2，…，k 中选取，从而1,2,,k k k n r r r +++只能在k +1,k +2,…,k +n中选取，于是D 中不为0的项可以记作12121212(1)k n R p p kp q q nq a a a b b b -，这里i i p r =,i k i q r k +=-, 1i r k ≤≤, 1k i k r k n ++≤≤+，R 也就是排列121()()k n p p p k q k q ++的逆序数，以P ，Q 分别表示排列12k p p p 与12k q q q 的逆序数，则有R=P+Q ，于是121211121,2,,(1)k n k nP Qp p kp q q n q p p q q D a a a b b b +=-∑∑121211121,2,,(1)((1))k n knPQ p p kp q q n q p p q q a a a b b b =--∑∑121122(1)k kP p p kp p p a a a D =-∑12D D =.§3对换定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫做对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换(邻换).定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形.设排列为1112i i i i n p p p p p p -++，对换i p 与1i p +排列变为1112i i i i n p p p p p p -++，显然112i i n p p p p -+这些数的逆序数经过对换并不改变，仅i p 与1i p +两数的逆序数改变：当1i i p p +<时，经对换后，1i i p p +是逆序，新排列的逆序数增加1，当1i i p p +>时，1i i p p +不是逆序，新排列的逆序数减少1，所以排列1112i i i i n p p p p p p -++与排列1112i i i i n p p p p p p -++的逆序数相差1，奇偶性改变.下证一般对换的情形. 设排列为11112i i i i m i m i m n p p p p p p p p -++++++，对换i p 与1i m p ++,把i p 往后连续作m 次相邻对换，排列变为11112i i i m i i m i m n p p p p p p p p -++++++，再把1i m p ++往前连续作1m +次相邻对换，排列变为11112i i m i i m i i m n p p p p p p p p -++++++，从而实现了i p 与1i m p ++的对换，它是经21m +次相邻对换而成，排列也就改变了21m +次奇偶性，所以两个排列的奇偶性相反.由于数的乘法是可交换的，所以行列式各项中的元素的顺序也可任意交换，例如四阶行列式中乘积11223344a a a a 可以写成22114433a a a a ，一般n 阶行列式中乘积1212n j j nj a a a 可以写成1122n n p q p q p q a a a ，其中12n p p p 与12n q q q 都是n 级排列.定理2 n 阶行列式的一般项可以写成1122(1)n n S T p q p q p q a a a +-，其中S 与T 分别是n 级排列12n p p p 与12n q q q 的逆序数.证 该项中任意两元素互换，行下标与列下标同时对换，由定理1知n 级排列12np p p 与12n q q q 同时改变奇偶性，于是S +T 的奇偶性不变，如果将排列12n p p p 对换为自然顺序12…n (逆序数为0)，排列12n q q q 也相应对换为12n j j j (逆序数为J )，则有11221212(1)(1)n n n S T J p q p q p q j j nj a a a a a a +-=-.由定理2可知，行列式也可定义为121211221112121222()()12(1)n n n n n n p p p q q q p q p q p q n n nna a a a a a D a a a a a a ττ+==-∑. （1.5）若将行列式中各项的列下标按自然顺序排列，而相应行下标排列为12n i i i ，于是行列式又可定义为1212121112121222()1212(1)n n nn n i i i i i i n i i i n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑. （1.6）§4行列式的性质记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n nnnna a a a a a D a a a '=，行列式D ′称为行列式D 的转置行列式.性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证 记111212122212n n n n nnb b b b b b D b b b '=，即ij ij b a = (i ,j =1,2,…，n )，按行列式定义121212()12(1)n n nj j j j j nj j j j D b b b τ'=-∑121212()12(1)n n nj j j j j j n j j j b b b D τ=-=∑.性质1表明：行列式中行与列的地位是对称的，即行列式中行具有的性质，其列也具有.性质2 互换行列式的两行(列)，行列式反号. 证11111212221p q n p q n n np nq nn a a a a a a a a D a a a a =，交换第p ，q 两列得行列式111112122211q p n q p n n nqnpnna a a a a a a a D a a a a =. 将D 与D 1按(1-6)式计算，对于D 中任一项1212(1)p q n I i i i p i q i n a a a a a -其中I 为排列1p q n i i i i 的逆序数，在D 1中必有对应一项11212(1)q p n I i i i q i p i n a a a a a -（当j ≠p,q 时，第j 列元素取j i j a ，第p 列元素取q i q a ，第q 列元素取pi p a )，其中1I 为排列1q p n i i i i 的逆序数，而1p q n i i i i与1qp n i i i i只经过一次对换，由定理1知，(1)I -与1(1)I-相差一个符号，又因12121212(1)q p n p q n I i i i q i pi n i i i p i q i n a a a a a a a a a a =-,所以对于D 中任一项，D 1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D 与D １的项数相同，所以D =-D 1.交换行列式i ，j 两行记作r(i ，j )，交换行列式i ，j 两列，记作c(i ，j ). 推论 若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零.性质3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式. 第i 行(列)乘以数k ，记作r(i (k ))［c(i (k ))］.推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面. 性质4 行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零. 性质5 若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如1112121222112212n n i i i i ininn n nna a a a a a D a a a a a a a a a ='''+++，则行列式D 等于下列两个行列式之和：1112111121212222122212121212n n n n i i in i iin n n nnn n nna a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a =+'''.性质6 把行列式某一行(列)的元素乘以数k ，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.例如，以数k 乘以第i 行（列）上的元素加到第j 行(列)对应元素上,记作()()r j i k +()()()c j i k +，有111211112112121211221211[()]()n ni i ini i inj j jn j j j j jn jnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a r j i k i j a a a a ka a ka a ka a a a a a a +≠+++性质3—性质6的证明请读者自证.例5 计算四阶行列式000000b b b b D a a b a b a--=.解()()()()222000003110000002(4)00202421002b b b c b b b b a bD b a b a a b a a b b b a c a b a a b a-+-==⋅=--+.例6 计算行列式a cb dc a b dD c a d b ac d b=. 解()()()()3210.0041100ac bd r c a b dDd b b d r d b b d+-=--+---.§5行列式的计算定义6 在行列式111111jn i ij in n njnna a a a a a a a a 中划去元素aij 所在的第i 行与第j 列，剩下的(n -1)2个元素按照原来的排法构成一个n -1阶的行列式111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j in i ij i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+称为元素ij a 的余子式，记为ij M .记(1)i j ij ij A M +=-，ij A 叫做元素ij a 的代数余子式.由定义可知，ij A 与行列式中第i 行、第j 列的元素无关.引理 在n 阶行列式D ，如果第i 行元素除ij a 外全部为零，那么这行 列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ijD a A =.证 先证1,1i j ==的情形.即112122232123000n n n n nna a a a a D a a a a =232323()1123(1)n n nj j j j j nj j j j a a a a τ=-∑232323()1123(1)n n nj j j j j nj j j j a a a a τ=-∑21222323331123nn n n nna a a a a a a a a a =11111111111111(1)a M a M a A +==-=.对一般情形，只要适当交换D 的行与列的位置，即可得到结论.定理3 行列式D 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++（i =１，２，…，n ）或1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++（j =１，２，…，n ）.证1112112120000000ni i in n n nnaa a Da a a aaa =++++++++++1112111121111211212121200000nn n i iin n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =+++.我们称定理3为行列式的按行（列）展开处理，也称之为拉普拉斯（Laplace ）展示定理. 例7 计算行列式2004310050100232D =. 解 由定理3知11141003102(1)0104(1)501232033D ++=⋅-+⋅-224(615)88=⨯-⨯--=.例8 计算行列式00000000a b a b D a b ba=. 解 4144000(1)0000a b b D a a b b a b a b a a b+=+-=- 例9 计算行列式(加边法)1111111111111111x x D y y+-=+-. 解 当x=0或y=0时，显然D =0，现假设x ≠0且y ≠0，由引理知1111101111011110111101111x D x y y +=-+-()()1111110001110002,3,4,510001x r i x i y y-+---=--- 22112111111130000000100001400115c x c xx x y x y c y yc y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 例10 证明范德蒙（V an der mo n de ）行列式1232222123111111231111()nn n i j j i nn n n n nx x x x V x x x x x x x x x x ≤≤≤----==-∏,其中连乘积2131132212211()()()()()()()()()i j n n n n n n n n j i nx x x x x x x x x x x x x x x x x x ----≤≤≤-=--------∏是满足条件1≤j <i ≤n 的所有因子()i j x x -的乘积.证 用数学归纳法证明.当n =2时，有221121211()i j j i V x x x x x x ≤≤≤==-=-∏,结论成立.假设结论对n -1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n 阶范德蒙行列式结论也成立.在V n 中，从第n 行起，依次将前一行乘-x 1加到后一行，得2132122133212222213321111100()()()()()()n n n n n n n n n n n n x x x x x x V x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------按第1列展开，并分别提取公因子，得2322221312322223111()()(1)nn n n n n n nx x x V x x x x x x x x x x x ---=---上式右端的行列式是n -1阶范德蒙行列式，根据归纳假设得21312()()(1)()n n i j j i nV x x x x x x x ≤≤≤=----∏,所以1()n i j j i nV x x ≤≤≤=-∏.推论 行列式D 中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数 余子式乘积之和等于零，即11220i j i j in jn a A a A a A +++= (i ≠j )或11220i j i j ni nj a A a A a A +++= (i ≠j ).证1111112211ni inj j j jjn jn j jn n nna a a a a A a A a A a a a a +++=.当i ≠j ，因为jk A 与行列式中第j 行的元素无关，将上式中的jk a 换成ik a （k =1，2，…，n )，有11111122110n i ini j i jin jn i in n nna a a a a A a A a A a a a a +++==. 同理可证11220i j i j ni nj a A a A a A +++= (i ≠j ).综上所述，即得代数余子式的重要性质（行列式按行(列)展开公式）：1,,0,;nik jk k D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当当 或1,,0,.nki kjk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当当 例11 计算n 阶行列式(递推公式法)1221100010000000001n nn n xx x D x a a a a x a ----=-+.解 由行列式n D 可知，111D x a x a =+=+.将n D 按第1列展开112321100010000100100(1)000000101n n n n n n x x xD xa x x a a a a x a x+-------=+--+-， 即1n n n D xD a -=+.这个式子对任何n (n ≥2)都成立，故有121()n n n n n n D xD a x xD a a ---=+=++221n n n x D a x a --=++=12121n n n n x D a x a x a ---=++++12121n n n n n x a x a x a x a ---=+++++例12 求方程()0f x =的根，其中121242()364148252x x x x x x x xf x x x x x x x x x ------=--------. 解 由观察可知0x =是一个根，因为0x =时，行列式第1、2列成比例，所以(0)0f =.要求其他根需展开这个行列式，将第1列乘-1加到2，3，4列；再将变换后的第2列加到第4列，结合例4，即得11012201()33124412x x f x x x x ----=------ 1100220033114412x x x x x ----=--------11112212x x x ----=⋅---- (1)x x =-+.所以方程()0f x =有两个根：0与-1.§6克莱姆法则由二元、三元线性方程组的克莱姆法则，我们有n 元线性方程组的克莱姆法则. 克莱姆法则 如果线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1-7）的系数行列式不等于零，即11110nn nna a D a a =≠，那么，方程组(1.7)有惟一解1212,,,,nn D D D x x x D DD===（1-8） 其中j D （j =１，２，…，n )是把系数行列式D 中的第j 列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即111,111,11212,222,221,,j j n j j n j n n j nnn j nnna ab a a a a b a a D xa ab a a -+-+-+=.证明（1） 把方程组(1-7)简写为1,1,2,,nij ji j a xb i n ===∑.把(1-8)式代入第i 个方程，左端为111nnjij ij j j j D a a D D D ===∑∑. 因为11221nj j j n nj s sj s D b A b A b A b A ==+++=∑，所以11111111n n nn nij j ij s sj ij sj s j j s j s a D a b A a A b D D D =======∑∑∑∑∑111111()n n n nij sj s ij sj s s j s j a A b a A b D D ======∑∑∑∑1i i Db b D==. 这相当于把(1-8)式代入方程组(1-7)的每个方程使它们同时变成恒等式，因而(1-8)式确为方程组(1-7)的解.（2） 用D 中第j 列元素的代数余子式12,,,j j nj A A A 依次乘方程组(1-7)的n 个方程，再把它们相加，得111111()()()nnn nk kj kj kj j kn kj n k kj k k k k a A x a A x a A x b A ====++++=∑∑∑∑.于是有j Dx D = (1,2,,)j n =.当D ≠0时，得解一定满足(1-8)式. 综上所述方程组(1-7)有惟一解. 例13 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解215113062702121476D ---==--,1815193068152120476D ---==---,22851190610805121076D --==----,3218113962702521406D --==--,4215813092702151470D --==---.于是方程组有解12343,4,1,1x x x x ==-=-=.克莱姆法则亦可叙述为定理4 如果线性方程组(1-7)的系数行列式D ≠0，则方程 组(1-7)一定有解，且解是惟一的.它的逆否命题如下定理4′如果线性方程组(1-7)无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为零(D =0).特别地，当方程组右边的常数项全部为零时，方程组(1-7)称为齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1-9）它总有解120,0,,0n x x x ===，称为齐次线性方程组(1-9)的零解.若一组不全为零的数，它是齐次线性方程组(1-9)的解，则称它为齐次线性方程组(1.9)的非零解.由定理4知定理5 如果齐次线性方程组(1-9)的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组(1-9)没有非零解.推论 如果齐次线性方程组(1-9)有非零解，则齐次线性方程组(1-9)的系数行列式必为零.在第四章我们会进一步证明，如果齐次线性方程组(1-9)的系数行列式为零，则齐次线性方程组(1-9)有非零解.例14 问λ为何值时，齐次线性方程组1231213(5)220,2(6)0,2(4)0x x x x x x x λλλ-++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩（1-10）有非零解?解 方程组的系数行列式为522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ-=-=----. 若方程组(1.10)有非零解，则它的系数行列式0D =,从而有λ=2,λ=5,λ=8,容易验证，当λ=2，λ=5或λ=8时，齐次线性方程组(1-10)有非零解.例15 求4个平面0(1,2,3,4)i i i i a x b y c z d i +++==相交于一点000(,,)x y z 的充分必要条件.解 我们把平面方程写成0i i i i a x b y c z d t +++=,其中1t =，于是4个平面交于一点，即,,,x y z t 的齐次线性方程组11112222333344440,0,0,0.a xb yc zd t a x b y c z d t a x b y c z d t a x b y c z d t +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 有惟一的一组非零解（000,,x y z ,1），根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0，即4个平面相交于一点的充分必要条件为11112222333344440a b c d a b c d a b c d a b c d =.本章小结与补充行列式在教学中有着重要的作用，在本书的后续部分是一个有力的工具.为了引进n 阶行列式的定义，揭示行列式中各项符号的规律，我们介绍了全排列及逆序数的概念。
第1节 n阶行列式的定义(全)
表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式 二阶行列式， 数表所确定的二阶行列式，即
a11 D= a21
a12 = a11a22 − a12 a21 a22
a 其中， 称为元素 元素. 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第 行； 行标，表明元素位于第i j 为列标，表明元素位于第 列. 列标，表明元素位于第j
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例1 计算行列式
3 2 3 D = 2 -3 4 4 -5 2
p 个奇排列均变成偶排列，故 p ≤ q ； 个奇排列均变成偶排列，
同理，对每个偶排列做同一变换， 同理，对每个偶排列做同一变换，则
q 个偶排列均变成奇排列，故 q ≤ p 。 个偶排列均变成奇排列，
从而， 从而，
n! p=q= 2
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
解 按对角线法则，有 按对角线法则，
D = 3 × ( −3) × 2 + 2 × 4 × 4 + 2 × ( −5) × 3
−3 × ( −3) × 4 − 2 × 2 × 2 − 3 × 4 × ( −5)
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
12n阶行列式
显然，标准顺序为由小到大的次序. 逆序：在一个n级排列i1…it…is…in 中，如果有较大 的数it排在较小的数is前面，则称it与 is构成一个逆序。
在任一排列中，若某两个元素的顺序与标准顺 序不同，就称这两个元素构成了一个逆序。
逆序
例如 2 1 3
321
逆序
逆序 逆序
逆序数： 一个排列中所有逆序的总数称为此排列 的逆序数.
n阶行列式的另外两种表达方式：
定理: n阶行列式可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中t为行标排列的逆序数。
定理: n阶行列式也可定义为
D
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
其中t为行标排列的逆序数与列标排列的 逆序数的和。
例6 确定5阶行列式 |aij| 中项 a43a21a34a15a52 的符号.
经对换后a 的逆序数不变，b的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 2）设排列为 a1 alab1 bsbc1 cn ，现在对换a与b .
a1 al ab1 bs b c1 cn
s 次相邻对换 a1 al aab b1 bsc1 cn
如：12345678，75632184等均为8个元素的全排列.
问题：把n个不同的元素排成一列共有几种不同的 排法？
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用
Pn 表示. Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!
例1: 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复 数字的三位数？
0 1 逆序数为3 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
N阶行列式的计算方法
N阶行列式的计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵的线性变换的特征。
N阶行列式的计算方法可以通过多种途径实现，包括展开法、性质法、三角法等。
下面将详细介绍N阶行列式的计算方法。
1.展开法：展开法也是最常用的计算N阶行列式的方法。
N阶行列式可以根据其中的其中一行或其中一列展开成N个N-1阶行列式之和。
以N阶行列式A为例，可以通过以下公式计算：det(A) = a1j * C1j + a2j * C2j + ... + anj * Cnj其中，a1j, a2j, ..., anj 分别是矩阵A第j列的N个元素；C1j,C2j, ..., Cnj 分别是对应元素的代数余子式。
2.性质法：性质法是通过行列式的性质来计算N阶行列式。
行列式有很多性质，包括换行换列、行列秩相等、其中一行列乘以一个常数等。
利用这些性质，可以将N阶行列式变换成简化形式，进而计算行列式的值。
例如，可以通过初等行变换将行列式变换为上（下）三角形，而上（下）三角形行列式的计算非常简单。
此外，还可以使用性质法计算N阶行列式的公式，例如：det(A) = (-1)^(i+j) * Mij，其中，A是一个N阶矩阵，Mij是A删除第i行和第j列后的N-1阶矩阵。
3.三角法：三角法是一种用于计算N阶行列式的简便方法。
它将矩阵进行初等行变换，将其化为上三角阵或下三角阵，然后通过对角线上元素的乘积得到行列式的值。
具体步骤如下：（1）将行列式按其中一行或其中一列展开；（2）通过初等行变换，将行列式化为上三角形或下三角形；（3）计算对角线上元素的乘积，得到行列式的值。
4.克拉默法则：如果N阶行列式的其中一行或其中一列可被向量等式左边的向量线性表出，那么可以使用克拉默法则来计算行列式的值。
克拉默法则通过求解N个方程组，其中每个方程组都将一个未知量用行列式展开的形式表示，最后求解这N个方程组得到行列式的值。
但是，克拉默法则的计算复杂度高，对于大规模的行列式来说，不太适用。
n阶行列式
n阶行列式
当n=2，3时，这样定义的二阶和三阶行列式与之前用对角线 法则定义的结果是一致的．当n=1时，一阶行列式为|a11|=a11， 注意不要与绝对值符号混淆．
根据二阶、三阶行列式的定义，我们发现式（1-10）还可以 写成如下形式：
n阶行列式
n阶行列式
n阶行列式
上式表明，一个三阶行列式等于它的第1行 各个元素与其相应的代数余子式（都是二阶行 列式）的乘积之和，这就意味着三阶行列式可 化为二阶行列式来计算．利用这个特点可以类 似定义四阶行列式、五阶行列式……以此类推， 可以给出n阶行列式的另一种定义．
n阶行列式
定义1-7 由排成n行n列的n2个数组成的n阶行列式记作
（1-9）
当n=1时，D=|a11|=a11 . 当n≥2时，假设n-1阶行列式已经定义，那么n阶行列式（1-9） 所表达的算式为
（1-10）
n阶行列式
其中A1j为元素a1j的代数余子式，j=1，2，…，
n．式（1-10
1
若记n阶矩阵
n阶行列式
作为二阶、三阶行列式的推广，我们类似地给出n阶行列式 的定义．
定义1-6 由排成n行n列的n2个元素aij（i，j=1，2，…，n） 组成的记号
（1-7
称为n阶行列式，其中j1j2…jn为n级排列， 有的n级排列求和．
表示对所
n阶行列式
容易看出，n阶行列式表示一 个数值，这个数值是n！项的代数 和，每一项是取自行列式中不同行 不同列的n个元素的乘积 a1j1a2j2…anjn，该项的符号在 j1j2…jn 为奇排列时取负号，为偶排 列时取正号．
n阶行列式
n阶行列式
注意观察二阶行列式（1-5）与三阶行列式（1-6）， 可以看出：
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
n阶行列式的定义
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
n阶行列式定义的三种形式
n阶行列式定义的三种形式行列式是矩阵的一个重要特征量，用于描述线性变换对面积或体积的拉伸或压缩效应。
行列式在各种领域中都有广泛的应用，如求解线性方程组、计算特征值、判断线性相关性等。
对于一个n阶的矩阵A，其行列式记作det(A)，可以通过三种不同的方式来定义。
第一种形式：按照余子式递归定义行列式的第一种形式定义是通过按照余子式（即代数余子式）递归计算得出。
一个n阶矩阵A的余子式是它的每一个元素及其代数余子式所构成的n-1阶矩阵的行列式。
代数余子式是元素的代数余数，即元素的代数余数等于其所在行和列的行列式的符号相乘得到的值。
用数学公式表示，一个元素A(i,j)的代数余子式是(-1)^(i+j)×M(i,j)，其中M(i,j)是A(i,j)所在行和列组成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
det(A) = Σ (-1)^(i+j) × A(i,j) × det(M(i,j))其中Σ表示对所有i和j的和，det(M(i,j))表示代数余子式A(i,j)的行列式。
该公式是利用代数余子式来表示行列式的值，因此被称为按照余子式递归定义。
第二种形式：按照行列式性质求解行列式的第二种形式定义是根据它的性质来求解其值。
这些性质包括：1. 对调矩阵的两行（列）会改变行列式的符号；2. 交换矩阵的任意两行（列）会改变行列式的符号；3. 矩阵的任意两行（列）相等，其行列式为0；4. 将矩阵的某一行（列）乘以一个数k，其行列式也会乘以k；5. 矩阵的行列式等于它的转置矩阵的行列式。
利用这些性质，可以将任何一个矩阵化为一个三角矩阵，然后计算其行列式。
三角矩阵的行列式等于其主对角线上各元素的乘积。
因此，按照行列式性质求解可以方便地计算矩阵的行列式值。
第三种形式：按照拉普拉斯定理求解拉普拉斯定理是一种求解矩阵行列式的方法。
它可以用来计算任意阶矩阵的行列式值，并且不需要利用余子式递归或行列式的性质。
根据拉普拉斯定理，对于一个n阶矩阵A，其行列式的值可以通过以下公式计算得出：其中Σ表示对所有i和j的和，B(i,j)是A去掉第i行和第j列后得到的(n-1)阶子矩阵。
n阶行列式万能公式
n阶行列式万能公式在数学的世界里，行列式可是个让人又爱又恨的家伙。
特别是当涉及到 n 阶行列式的时候，那更是让人头大。
不过别担心，今天咱们就来聊聊 n 阶行列式的万能公式。
先来说说什么是行列式。
简单来讲，行列式就是一个数学表达式，它可以用来解决很多线性代数的问题。
比如说判断一个方程组有没有解，解是唯一的还是有无数个。
那 n 阶行列式又是啥呢？其实就是一个 n×n 的矩阵所对应的行列式。
比如说 2 阶行列式，就是一个 2×2 的矩阵对应的行列式；3 阶行列式呢，就是 3×3 的矩阵对应的。
以此类推，n 阶行列式就是 n×n 的矩阵对应的啦。
n 阶行列式的计算方法有很多种，其中有一种被称为“按行展开”的方法。
我记得我当初上学的时候，为了搞懂这个方法，可是费了好大的劲。
有一次上数学课，老师在黑板上写了一个 4 阶行列式，让我们自己计算。
我看着那一堆数字，脑袋都大了。
我就按照老师讲的按行展开的方法，一步一步地算。
先选一行，然后把这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式，再把这些乘积加起来或者减起来。
可是我算着算着就乱了，一会儿忘了正负号，一会儿又算错了代数余子式。
我旁边的同桌也和我一样，愁眉苦脸的。
这时候老师走过来，看到我一脸迷茫的样子，笑着说：“别着急，慢慢来。
你看这个元素，它对应的代数余子式应该这样算……”老师耐心地给我讲解，我这才恍然大悟，原来我之前有一步算错了。
经过一番努力，我终于算出了答案，那一刻，心里别提多有成就感了。
说回 n 阶行列式的万能公式。
其实严格来说，并没有一个真正意义上适用于所有情况的万能公式。
但是通过一些方法和技巧，我们可以把复杂的 n 阶行列式转化为比较简单的形式来计算。
比如，如果行列式中有很多零元素，那我们就可以利用这个特点来简化计算。
还有，如果行列式的某一行（列）是另外一行（列）的倍数，那也可以通过一些变换来简化。
另外，还有一种叫做“三角化”的方法。
n阶行列式定义
01
```
02
123
03
456
解答
• 3=0=0
解答
``` 2. 将第一行乘以-2加到第二行，得到
解答
``` 123
234
解答
• 3=0=0
解答
```
VS
3. 将第一行乘以-1加到第一行，得到
解答
01 ``` 02 0 0 0 03 2 3 4
解答
• 3=0=0
解答
```
4. 根据二阶行列式的计算公式，得到结果为：|1 2; 3 4| = -2。所以原行列式的值为：-2 * -4 * -2 = -16。
03 计算方法
三角化法
定义
三角化法是将一个n阶行列式转化为若干个3阶行列式，通 过计算这些3阶行列式来得到原n阶行列式的值。
计算步骤
首先将n阶行列式拆分成若干个3阶行列式，然后利用行列式的 性质进行化简，最后将这些3阶行列式的值相乘得到原n阶行列
式的值。
适用范围
适用于n≤3的行列式计算。
递推法
判断解的个数
行列式可以用来判断线性方程组解的个数，当系数矩阵的行列式不等于0时，方程组有唯一解；等于0 时，方程组有无穷多解或无解。
在矩阵中的应用
矩阵的逆运算
行列式是矩阵逆运算的基础，通过计算矩阵的行列式值和伴随矩阵，可以求得逆矩阵。
判断矩阵是否可逆
行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆，当行列式不等于0时，矩阵可逆；等于0时， 矩阵不可逆。
定义
递推法是根据行列式的定义和性质，通过递推关系式计算行列式的值。
计算步骤
首先根据行列式的定义写出递推关系式，然后利用行列式的性质进行化简，最后将递推关 系式中的项相加得到原n阶行列式的值。
3、n阶行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
p1 p2 pn
1
p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
7
线性代数
n阶行列式
说明 1、行列式是一种运算符，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义 的；
元素在行列式ij中的余子式仍然是在行列式ij39线性代数n阶行列式ijijnnijijijijij所以命题得证40线性代数n阶行列式4443424133242322211413121144424124222114121133例如动画演示41线性代数n阶行列式行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和即1112njnj定理定理利用行列式的性质4拆分原理有44行列式按行行列式按行列列展开展开42线性代数n阶行列式nn121112111211行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即njni推论推论命题得证43线性代数n阶行列式把行列式行展开有detjnjn把行列式中的换成可得jknjni44线性代数n阶行列式55关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质kjkijkik其中45线性代数n阶行列式66应用举例应用举例46线性代数n阶行列式66应用举例应用举例按第二行展开得1356352747线性代数n阶行列式48线性代数n阶行列式1所以245351225184410319631849线性代数n阶行列式41按第4行展开5a413a422a432a444450线性代数n阶行列式第四行各元素余子式之和为分析41424344表示中元素的余子式则有ij1186851线性代数n阶行列式52线性代数n阶行列式53线性代数n阶行列式54线性代数n阶行列式解法一55线性代数n阶行列式56线性代数n阶行列式57线性代数n阶行列式58线性代数n阶行列式解法二59线性代数n阶行列式三小结三小结32211331231233221133211232231131221311121122122121221112212211121321222331323360线性代数n阶行列式余子式与代数余子式余子式与代数余子式ij划去后留下来的阶行列式叫做元素的余子式阶行列式中把元素所在的第ijij叫做元素的代数余子式
n阶行列式的定义计算
n阶行列式的定义计算在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵理论和线性方程组的求解中起着关键作用。
n阶行列式是一个n×n的方阵所对应的一个数值。
它的计算方法可以通过定义来进行推导。
设A为一个n阶方阵，其元素为a_ij，其中i和j分别表示矩阵A的行和列。
那么n阶行列式的定义如下：首先，我们定义一个n阶排列，即一个1到n的自然数的一种排列。
例如，当n=3时，排列可能是(1, 2, 3)或者(3, 1, 2)等等。
然后，对于每一个n阶排列，我们可以计算其符号，如果这个排列可以通过交换相邻的两个数的方式从一个标准排列(1, 2,3, ..., n)变换而来，那么它的符号为正，否则为负。
例如，当n=3时，排列(1, 2, 3)是标准排列，符号为正；而排列(3, 1, 2)需要交换两次才能变为标准排列，所以符号为负。
最后，我们将矩阵A的元素按照排列中的顺序进行取数，乘以对应排列的符号，然后将所有结果相加，得到的和就是n阶行列式的值。
举个例子，对于一个3阶矩阵A：A = | a11 a12 a13 |。
| a21 a22 a23 |。
| a31 a32 a33 |。
我们可以列举出所有的排列：(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)。
然后计算每个排列的符号，再将对应位置的元素相乘，最后相加得到行列式的值。
这就是n阶行列式的定义计算方法。
它虽然在实际计算中可能会比较繁琐，但是却是理解行列式的重要基础。
线性代数n阶行列式
a11a22 a34 a43
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1t (1234) a11a22a33a44 x3 ,
1t 1243 a11a22a34a43 2 x3 .
故 x 的系数为 1.
3
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三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性.
注 由例4我们可以直接得出例3中（1）的结果．
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例5
设
a11 a12 a1n D1 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a11 a12b 1 a1nb1 n a21b a22 a2 nb 2 n
n 1 n 2 a n 1b an 2b ann 证明 D1 D2 .
a11 a12 a1n a 22 a 2 n 1t 12n a a a 11 22 nn 0 a nn
a11a22 ann .
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同理可得下三角行列式
a11 a 21 a n1 a 22
0
a11a22 ann .
a n 2 a nn
2. 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
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3. 排列的逆序 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
作出表中位于不同行不同列的 n个数的乘积
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法在高等数学中，行列式是一个非常重要的概念，特别是 n 阶行列式的计算，它在众多数学领域和实际应用中都有着广泛的用途。
n 阶行列式的计算方法多种多样，下面我们就来详细探讨一下。
首先，我们来了解一下什么是 n 阶行列式。
n 阶行列式是一个由 n 行 n 列的数按照一定的规则排列组成的数学表达式。
它可以表示为：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆＼cdots ＆ a_{1n} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆＼cdots ＆ a_{2n} ＼＼＼vdots ＆＼vdots ＆＼ddots ＆＼vdots ＼＼a_{n1} ＆ a_{n2} ＆＼cdots ＆ a_{nn}＼end{vmatrix}＼其中，＼（a_{ij}＼）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）；＼（j ＝ 1, 2, ＼cdots, n\））称为行列式的元素。
接下来，我们介绍几种常见的 n 阶行列式计算方法。
一、定义法根据行列式的定义，n 阶行列式的值是由其元素按照特定的规则计算得到的。
具体来说，对于 n 阶行列式，它的值等于所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和。
每个乘积的符号由其列标排列的逆序数决定。
然而，这种方法在实际计算中，当 n 较大时，计算量会非常巨大，几乎不具有实用性，更多的是作为理论上的定义存在。
二、化三角形法这是一种比较常用且有效的方法。
其基本思想是通过行列式的性质，将原行列式化为上三角行列式（即主对角线下方的元素全为零的行列式）或者下三角行列式。
因为上三角行列式或下三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，所以计算起来相对简单。
在化三角形的过程中，我们可以利用以下性质：1、行列式的两行（列）互换，行列式的值变号。
2、行列式的某一行（列）乘以一个数加到另一行（列）上，行列式的值不变。
例如，对于一个给定的 n 阶行列式，我们可以通过将第一行乘以适当的数加到其他行，使得第一列除了第一个元素外其余都为零；然后再对剩下的\（（n 1)＼）阶行列式进行类似的操作，逐步将行列式化为上三角形式。
线性代数(n阶行列式)
线性代数(n阶行列式)线性代数是一门重要的数学学科，它研究的是线性方程组和向量空间上的关系。
n阶行列式，是线性代数中最为重要的一种技术。
行列式是方阵，又叫矩阵，既可以出现在多维向量空间，也可以在数组形式的一般线性方程组中出现。
最常见的n阶行列式就是2阶行列式，它由两个一维数组构成，称为二元一次方程组。
比如$x_1 - x_2 = 0$$3x_1 + 2x_2 =7$将它表示为矩阵，就是$$\left[\begin{matrix}1 & -1\\3 & 2\end{matrix}\right]$$如果n的值大于2，就是n阶行列式，以3阶为例，可以表示如下：$x_1 - x_2 + 2x_3 = 1$$3x_1 + 4x_2 + 5x_3 =2$$5x_1 + 7x_2-2x_3 = 4$将它表示为矩阵，就是$$\left[\begin{matrix}1 & -1 & 2\\3 &4 & 5\\5 & 7 & -2\end{matrix}\right]$$行列式的值通常用来判断给定的线性方程组是否有解。
如果行列式值不等于零，则该方程组有唯一解，反之则没有解。
行列式是线性代数中重要的技术之一，它为我们分辨一组线性方程是否有解提供了有效和简单的方法。
尽管n阶行列式存在很多应用，但一般来说，它最大的用途是解决线性方程组的问题。
它通过给定一个数学模型，将复杂的线性方程组变成计算机可以识别的矩阵形式，以便使用计算机快速求解复杂的线性系统。
同时，n阶行列式还可以用来计算多维空间中向量积的大小及方向，在三维空间中，可以很容易求出任意多边形的体积。
总之，n阶行列式是线性代数重要的技术，它既可以用来求解线性方程，又可求解多维空间中的向量积的大小及方向，是复杂问题的实际解决方案之一。
n阶行列式
a11 a12 ⋯ a1n
计算上三角行列式 例1 计算上三角行列式
0 a22 ⋯ a2 n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 0 0 ⋯ ann
a11
a12 ⋯ a1n
0 a22 ⋯ a2 n = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 0 0 ⋯ ann
=
=
(− 1)N ( j j ⋯ j )a1 j a2 j ⋯anj ∑
1 2 n 1 2
§1.2 n阶行列式 阶行列式
（一）排列与逆序 （二）n阶行列式的定义
（一）排列与逆序
2⋯ 由 n 个不同数码 1，， ， n 组成的有序数组 i1 , i2 ,⋯ in , 称为一个 n 级排列
例如，1234及2431都是 级排列，25413是一 都是4级排列 例如， 及 都是 级排列， 是一 个5级排列。 级排列。 级排列 问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 同的排法？ 级排列共有多少个？ 同的排法？即 n级排列共有多少个？
⋯ ⋯ a1n 0 ⋯ 0 a1n ⋯ a 2 n −1 0 0 ⋯ a 2 n −1 a 2 n = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 an1 ⋯ ann−1 ann
= ( −1)
n ( n−1 ) 2
a1na2 n−1 ⋯an1
特别
行列式
a1 a2 ⋰ an
= ( − 1)
n ( n −1 ) 2
(− 1)t a11a22a33a44 = x 3 , (− 1)t (1234 ) a11a22a34a43 = −2 x 3
故 x 3 的系数为 − 1.
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 ） 的三个元素的下标排列． 的三个元素的下标排列． 例如 a13a21a32 列标排列的逆序数为 偶排列 + 正 号
线性代数第1章n阶行列式
乘法性质在计算行列式和解决线性方程组时非常有用，因为它可以简化计算过程。
行列式的加法性质
01
行列式的加法性质是指两个同阶行列式相加时，其结果的行列式等于将这两个 行列式对应元素相加得到的行列式。即，如果A和B都是n阶行列式，那么它们 的和C也是一个n阶行列式，且C的值等于将A和B对应元素相加得到的行列式。
02
加法性质可以用数学表达式表示为：C = A + B。
03
加法性质在计算行列式和解决线性方程组时非常有用，因为它可以简化计算过 程。同时，它也表明行列式是一个线性空间中的元素，具有线性性质。
03
n阶行列式的展开
二阶行列式的展开
• 二阶行列式由两个元素组成，按照对角线法则，可以展开 为两个一元一次方程的乘积。
具体地，对于n阶行列式，其展开结果为若干个一元一次 方程的乘积之和。
04
行列式的计算方法
代数余子式
定义
在n阶行列式中，去掉某行和某列后所得 到的(n-1)阶行列式，与原来的n阶行列式 相比，该(n-1)阶行列式前面多了一个负号 ，这个(n-1)阶行列式称为代数余子式。
性质
代数余子式与原来的n阶行列式中的 元素有关，并且代数余子式的符号由 去掉的行和列的元素的排列顺序决定。
感谢您的观看
转置运算可以用数学表达式表示为：D' = D。
转置运算在行列式中非常重要，因为它可以简化计算过程，并且有助于理解行列式 与其他数学概念之间的关系。
行列式的乘法性质
行列式的乘法性质是指两个行列式相乘时，其结果的行列式等于将其中一个行列式的行与另 一个行列式的列相乘得到的行列式。即，如果A和B都是n阶行列式，那么它们的乘积C也是 一个n阶行列式，且C的值等于将A的行与B的列相乘得到的行列式。
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Dn＝
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例 证明
上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 因为行列式的值为
而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列， 故逆序数
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所以行列式的值为
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例设
a11 L a1k D ak1 L akk 0 L 0 c11 L c1k b11 L b1n
第一章 n 阶行列式
第一节 逆序数与对换 第二节 行列式的定义 第三节 行列式的性质 第四节 行列式的计算 第五节 克莱姆法则 第六节 拉普拉斯定理
§1 逆序数与对换
定义 1 由1，2，……,n组成的一个有序数组
称为一个n 级全排列（简称排列）。
定义2 在一个排列中，如果两个数(称为数对)
的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面
p1 L pi1 pi1 L pim pi pim1 pim2 L pn , 再把 pim往1 前连续作 m+1 次相邻对换，排列变为
p1 L pi1 pim1 pi1 L pim pi pim2 L pn ,
从而实现了 p与i pim的1 对换，
它是经过 2m+1 次相邻对换而成， 排列也就改变了 2m+1 次奇偶性， 所以两个排列的奇偶性相反.
因而是奇排.
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(2) 同理可得： τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1= n(n 1)
2
所给排列当n=4k或4k+1时为偶排列，当n=4k+2或4k+3 时为奇排列.
练习
排列12的逆序数为 0. 排列231的 逆序数为 2. 排列215479683的逆序数为 11. 排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42的逆序数是n(n-1).
§2 行列式的定义
定义5 设有n2个数aij（i，j＝1，2，…, n），
排成正方阵形式
在不同行、不同列中取n个数作乘积
，并乘
以符号 为
（其中J为列标排列j1, j2,…,jn的逆序数），记 ，这样的乘积有 项。
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它们的和 记Dn＝
，称为n阶行列式。
为行列式第i行第j列的元素
称为n阶行列式的展开 式或行列式的值。
M
MM
M
cn1 L cnk bn1 L bnn
a11 L a1k
D1 M
M
ak1 L akk
证明D=D1D2.
b11 L b1n
D2 M
M
bn1 L bnn
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证记
a11 L M
D ak1 L c11 L M
a1k 0 L MM
akk 0 L c1k b11 L MM
0
M
0
d11 L
新排列的逆序数增加1；
当 pi pi时1 ， pi1 p不i 是逆序，
所以
新排列的逆序数减少1；
排列 p1 L pi1 pi pi1 pi2 L pn 与排列 p1 L pi1 pi1 pi pi2 L pn
的逆序数相差1，奇偶性改变.
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下证一般对换的情形.
设排列为 p1 L pi1 pi pi1 L pim pim1 pim2 L pn , 对换 p与i pim，1 先把 p往i 后连续作m次相邻对换，排列变为
(i= 1, 2,…，k; j= 1, 2,…，n).
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考察D的一般项 (1)R d1r1d2r2 L d d L krk k1,rk 1 dkn,rk n
R是排列 r1r2 L rk rk1 L rkn的逆序数，
由于 di, jk 0 (i=1,2,…，k; j=1，2，…，n)，
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说明： 1) 等式右边的每一项都是n个元素的乘 积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。
2) 各项的正负号与列标排列有关，偶 排列为正，奇排列为负。
3) 因为1,2,…n的排列有n!个，故等式
右边共有n!项。
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例 计算4阶行列式
解： 根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一
解（1） 对于所给排列， 4排在首位，逆序个数为0； 2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1； 5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0； 3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2； 1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4. 把这些数加起来，即
0+1+0+2+4=7
故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，
M
b1n M
dk n,1 L
d1,k n M
dk n,k n
其中
cn1 L cnk bn1 L bnn
dij=aij dk+I ,k+j=bij
dk+i, j =cij di,k+j=0
(i, j= 1, 2,…，k)；
(i, j= 1, 2,…，n)；
(i= 1, 2,…，n; j= 1, 2,…，k).
个乘积项
中，只要有一个元素为0，乘
积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0 的项。
行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44， 而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此
行列式D＝a11a22a33a44 .
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注：可扩充到n阶的情形。 例：n阶行列式
Dn＝
设排列为 p1 L pi1 pi pi1 pi2 L pn ,
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对换 p与i pi排1 列变为 p1 L pi1 pi1 pi pi2 L pn.
显然 p1L pi1 pi2 L p这n 些数的逆序数经过对换并不改变， 仅 pi 与 pi1 两数的逆序数改变： 当 pi pi时1 ，经对换后， pi1 p是i 逆序，
的数，那么称这两个数构成一个逆序(反序)。一个
排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列j1, j2,…, jn的逆序数，一般记为 ( j1 , j2 ， …， jn )
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序
数为奇数的排列称为奇排列。
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例 计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性 (1) 42531，（2） 135…（2n-1）246…(2n).
定义4 一个排列中，将某两个数对调，其余的 数不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对 换，叫做相邻对换（邻换）。
我们把排列231中的3与1对换，得到排列213，这两 个排列的奇偶性是相反的，事实上对一般的排列也 是如此。
定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变 奇偶性。
证 先证相邻对换的情形.