三角形连接与星行连接
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§2-3 电阻的星形联结与三角形联结
电阻的星形联结:将三个电阻的一端连在一起， 电阻的星形联结:将三个电阻的一端连在一起，另一端 将三个电阻的一端连在一起 分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联结， 分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联结，又称为 Y形联结，如图2-24(a)所示。 形联结，如图 所示。 形联结 所示 电阻的三角形联结:将三个电阻首尾相连， 电阻的三角形联结 将三个电阻首尾相连，形成一个三 将三个电阻首尾相连 角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连， 角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连， 就构成三角形联结，又称为∆形联结，如图(b)所示。 就构成三角形联结，又称为 形联结，如图 所示。 形联结 所示
R31i1 − R23i2 i12 = R12 + R23 + R31
u1 = R31i1 − R31i12 = R31(i1 − i12 ) u2 = R23i12 + R23i2 = R23(i2 + i12 )
R31i1 − R23i2 i12 = R12 + R23 + R31
u1 = R31i1 − R31i12 = R31(i1 − i12 ) u2 = R23i12 + R23i2 = R23(i2 + i12 )
R31R12 R1 = R12 + R23 + R31 R12R23 R2 = (2 −16) R12 + R23 + R31 R23R31 R3 = R12 + R23 + R31
电阻三角形联结等效变换为电阻星形联结的公式为
i 接于 端两电阻之乘积 Ri = ∆形三电阻之和
对于电阻星形联结的三端网络，外加两个电流源 对于电阻星形联结的三端网络，外加两个电流源i1和i2。 方程求出端口电压u 的表达式为： 用2b方程求出端口电压 1和u2的表达式为： 方程求出端口电压
u1 = R1i1 + R3 (i1 + i2 ) u2 = R2i2 + R3 (i1 + i2 )
(2 −14)
式(2－13)和(2－14)分别表示电阻星形联结和三角形联 － 和 － 分别表示电阻星形联结和三角形联 方程。 结网络的 VCR方程。 方程
u1 = (R1 + R3 )i1 + R3i2 u2 = R3i1 + (R2 + R3 )i2
(2 −13)
R31(R12 + R23 ) R23R31 u1 = i1 + i2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R23R31 R23(R12 + R31 ) u2 = i1 + i2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31
图2－27 －
再用电阻串联和并联公式，求出连接到电压源两端单 再用电阻串联和并联公式， 口的等效电阻
(0.6 + 1.4)(1+ 1) R = 1.5Ω + Ω = 2.5Ω 0.6 + 1.4 + 1+ 1
最后求得
10V 10V i= = = 4A R 2.5Ω
(2 −14)
如果要求电阻星形联结和三角形联结等效， 如果要求电阻星形联结和三角形联结等效，则要 求以上两 方程的对应系数分别相等， 个VCR方程的对应系数分别相等，即： 方程的对应系数分别相等
R31(R12 + R23 ) R31R12 R1 + R3 = R1 = R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R23R31 R12R23 由此 R = R3 = (2 −15) (2 −16) 2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 解得 R23(R12 + R31) R23R31 R2 + R3 = R3 = R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31
整理得到
u1 = (R1 + R3 )i1 + R3i2 u2 = R3i1 + (R2 + R3 )i2
(2 −13)
图2－26 －
对电阻三角形联结的三端网络，外加两个电流源i1和i2， 对电阻三角形联结的三端网络，外加两个电流源 将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个电压源与电阻 的串联单口，得到图(b)电路，由此得到 的串联单口，得到图 电路， 电路
求图2-27(a)电路中电流 i。 例2－13 求图 － 电路中电流 。
图2－27 －
解：将3Ω、5Ω和2Ω三个电阻构成的三角形网络等效变换 Ω Ω Ω 为星形网络[图 为星形网络 图(b)]，其电阻值由式 －16)求得 ，其电阻值由式(2－ 求得
3× 5 3× 2 2×5 R1 = Ω = 1.5Ω R2 = Ω = 0.6Ω R3 = Ω = 1Ω 3+ 2+ 5 3+ 2+ 5 3+ 2+ 5
(2 −19)
电阻星形联结等效变换为电阻三角形联结的公式为
Υ形电阻两两乘积之和 Rmn = mn 不与 端相连的电阻
Baidu Nhomakorabea
(2 − 20)
当R1= R2= R3= RY时，有
R12 = R23 = R31 = R∆ = 3RΥ
(2 − 21)
在复杂的电阻网络中，利用电阻星形联结与电阻三角 在复杂的电阻网络中， 形联结网络的等效变换，可以简化电路分析。 形联结网络的等效变换，可以简化电路分析。
一、电阻的星形联结与三角形联结的电压电流关系
一、电阻的星形联结与三角形联结的电压电流关系
电阻的星形联结或三角形联结构成一个电阻三端网络， 电阻的星形联结或三角形联结构成一个电阻三端网络，它 有两个独立的端口电流和两个独立的端口电压。 有两个独立的端口电流和两个独立的端口电压。电阻三端网 络的端口特性， 络的端口特性，可用联系这些电压和电流的两个代数方程来 表征。用外加两个电流源，计算端口电压表达式的方法， 表征。用外加两个电流源，计算端口电压表达式的方法，推 方程。 导出电阻星形联结和三角形联结网络的端口 VCR方程。 方程
电阻的星形联结和电阻的三角形联结是一种电阻三端 网络， 网络，电阻三端网络的特性是由端口电压电流关系来表征 的，当两个电阻三端网络的电压电流关系完全相同时，称 当两个电阻三端网络的电压电流关系完全相同时， 它们为等效的电阻三端网络。将电路中某个电阻三端网络 它们为等效的电阻三端网络。 用它的等效电阻三端网络代替时， 用它的等效电阻三端网络代替时，不会影响端口和电路其 余部分的电压和电流。 余部分的电压和电流。
当R12= R23= R31= R∆时，有
1 R1 = R2 = R3 = RΥ = R∆ 3
由式(2－ 可解得 可解得： 由式 －15)可解得：
R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R12 = R3 R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R23 = R1 R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R31 = R2
表达式代入上两式， 将i12表达式代入上两式，得到
R31(R12 + R23 ) R23R31 u1 = i1 + i2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R23R31 R23(R12 + R31) u2 = i1 + i2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31
电阻的星形联结:将三个电阻的一端连在一起， 电阻的星形联结:将三个电阻的一端连在一起，另一端 将三个电阻的一端连在一起 分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联结， 分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联结，又称为 Y形联结，如图2-24(a)所示。 形联结，如图 所示。 形联结 所示 电阻的三角形联结:将三个电阻首尾相连， 电阻的三角形联结 将三个电阻首尾相连，形成一个三 将三个电阻首尾相连 角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连， 角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连， 就构成三角形联结，又称为∆形联结，如图(b)所示。 就构成三角形联结，又称为 形联结，如图 所示。 形联结 所示
R31i1 − R23i2 i12 = R12 + R23 + R31
u1 = R31i1 − R31i12 = R31(i1 − i12 ) u2 = R23i12 + R23i2 = R23(i2 + i12 )
R31i1 − R23i2 i12 = R12 + R23 + R31
u1 = R31i1 − R31i12 = R31(i1 − i12 ) u2 = R23i12 + R23i2 = R23(i2 + i12 )
R31R12 R1 = R12 + R23 + R31 R12R23 R2 = (2 −16) R12 + R23 + R31 R23R31 R3 = R12 + R23 + R31
电阻三角形联结等效变换为电阻星形联结的公式为
i 接于 端两电阻之乘积 Ri = ∆形三电阻之和
对于电阻星形联结的三端网络，外加两个电流源 对于电阻星形联结的三端网络，外加两个电流源i1和i2。 方程求出端口电压u 的表达式为： 用2b方程求出端口电压 1和u2的表达式为： 方程求出端口电压
u1 = R1i1 + R3 (i1 + i2 ) u2 = R2i2 + R3 (i1 + i2 )
(2 −14)
式(2－13)和(2－14)分别表示电阻星形联结和三角形联 － 和 － 分别表示电阻星形联结和三角形联 方程。 结网络的 VCR方程。 方程
u1 = (R1 + R3 )i1 + R3i2 u2 = R3i1 + (R2 + R3 )i2
(2 −13)
R31(R12 + R23 ) R23R31 u1 = i1 + i2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R23R31 R23(R12 + R31 ) u2 = i1 + i2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31
图2－27 －
再用电阻串联和并联公式，求出连接到电压源两端单 再用电阻串联和并联公式， 口的等效电阻
(0.6 + 1.4)(1+ 1) R = 1.5Ω + Ω = 2.5Ω 0.6 + 1.4 + 1+ 1
最后求得
10V 10V i= = = 4A R 2.5Ω
(2 −14)
如果要求电阻星形联结和三角形联结等效， 如果要求电阻星形联结和三角形联结等效，则要 求以上两 方程的对应系数分别相等， 个VCR方程的对应系数分别相等，即： 方程的对应系数分别相等
R31(R12 + R23 ) R31R12 R1 + R3 = R1 = R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R23R31 R12R23 由此 R = R3 = (2 −15) (2 −16) 2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 解得 R23(R12 + R31) R23R31 R2 + R3 = R3 = R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31
整理得到
u1 = (R1 + R3 )i1 + R3i2 u2 = R3i1 + (R2 + R3 )i2
(2 −13)
图2－26 －
对电阻三角形联结的三端网络，外加两个电流源i1和i2， 对电阻三角形联结的三端网络，外加两个电流源 将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个电压源与电阻 的串联单口，得到图(b)电路，由此得到 的串联单口，得到图 电路， 电路
求图2-27(a)电路中电流 i。 例2－13 求图 － 电路中电流 。
图2－27 －
解：将3Ω、5Ω和2Ω三个电阻构成的三角形网络等效变换 Ω Ω Ω 为星形网络[图 为星形网络 图(b)]，其电阻值由式 －16)求得 ，其电阻值由式(2－ 求得
3× 5 3× 2 2×5 R1 = Ω = 1.5Ω R2 = Ω = 0.6Ω R3 = Ω = 1Ω 3+ 2+ 5 3+ 2+ 5 3+ 2+ 5
(2 −19)
电阻星形联结等效变换为电阻三角形联结的公式为
Υ形电阻两两乘积之和 Rmn = mn 不与 端相连的电阻
Baidu Nhomakorabea
(2 − 20)
当R1= R2= R3= RY时，有
R12 = R23 = R31 = R∆ = 3RΥ
(2 − 21)
在复杂的电阻网络中，利用电阻星形联结与电阻三角 在复杂的电阻网络中， 形联结网络的等效变换，可以简化电路分析。 形联结网络的等效变换，可以简化电路分析。
一、电阻的星形联结与三角形联结的电压电流关系
一、电阻的星形联结与三角形联结的电压电流关系
电阻的星形联结或三角形联结构成一个电阻三端网络， 电阻的星形联结或三角形联结构成一个电阻三端网络，它 有两个独立的端口电流和两个独立的端口电压。 有两个独立的端口电流和两个独立的端口电压。电阻三端网 络的端口特性， 络的端口特性，可用联系这些电压和电流的两个代数方程来 表征。用外加两个电流源，计算端口电压表达式的方法， 表征。用外加两个电流源，计算端口电压表达式的方法，推 方程。 导出电阻星形联结和三角形联结网络的端口 VCR方程。 方程
电阻的星形联结和电阻的三角形联结是一种电阻三端 网络， 网络，电阻三端网络的特性是由端口电压电流关系来表征 的，当两个电阻三端网络的电压电流关系完全相同时，称 当两个电阻三端网络的电压电流关系完全相同时， 它们为等效的电阻三端网络。将电路中某个电阻三端网络 它们为等效的电阻三端网络。 用它的等效电阻三端网络代替时， 用它的等效电阻三端网络代替时，不会影响端口和电路其 余部分的电压和电流。 余部分的电压和电流。
当R12= R23= R31= R∆时，有
1 R1 = R2 = R3 = RΥ = R∆ 3
由式(2－ 可解得 可解得： 由式 －15)可解得：
R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R12 = R3 R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R23 = R1 R1R2 + R2 R3 + R3 R1 R31 = R2
表达式代入上两式， 将i12表达式代入上两式，得到
R31(R12 + R23 ) R23R31 u1 = i1 + i2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R23R31 R23(R12 + R31) u2 = i1 + i2 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31