薄膜干涉光程差公式推导过程中的近似问题
薄膜干涉光程差公式高中
薄膜干涉光程差公式高中薄膜干涉光程差公式 在物理学中，薄膜干涉是涉及光的波动性质的一种现象。
光程差是用来描述光通过不同介质或空气中传播时所经过的距离差。
薄膜干涉光程差公式是用来计算不同介质或空气中的光程差的公式。
本文将详细介绍薄膜干涉光程差公式的推导和应用。
第一段：什么是薄膜干涉 薄膜干涉指的是光在透明材料表面反射和折射时发生的干涉现象。
当光线通过一个薄膜时，会发生反射和折射，而这两束光线再次相遇时会产生干涉。
这种干涉现象可以用于解释一些自然界或实验室中观察到的颜色变化现象，例如气泡的彩色、油膜上的彩色等。
第二段：什么是光程差 光程差是指光线从一个点到另一个点所经过的路径长度差。
当光线通过一个介质或空气时，会因为介质的折射率不同而导致光程差的发生。
光程差是薄膜干涉现象中的一个重要参数，它决定了干涉条纹的样式和颜色。
第三段：薄膜干涉光程差公式的推导 薄膜干涉光程差公式可以通过菲涅尔公式和折射定律来推导。
菲涅尔公式描述了光在介质的折射和反射过程，折射定律则是描述光在不同介质中传播时的折射规律。
推导过程如下： 假设有一薄膜，其上方为介质1，下方为介质2。
光线从空气（介质1）射入到薄膜（介质2）的表面，首先发生反射，根据反射定律可知反射角等于入射角。
即：θ1 = θr。
接下来，光线从薄膜（介质2）射入到空气（介质1），发生折射。
根据折射定律可知折射角与入射角和折射率的乘积之比相等。
即：θr = θ2 / n2。
根据几何关系可知：θ1 + θ2 = φ，其中φ为干涉条纹的相位差。
代入上述公式和几何关系中可得：θ1 = (n2 / n1) * φ通过一个周期的干涉条纹相位差为2π，因此有：φ = 2π / m，其中m为干涉条纹的级数。
将上述公式代入θ1的公式中可得：θ1 = (n2 / n1) * (2π / m)结合菲涅尔公式和折射定律，可得到薄膜干涉光程差公式： δ = 2 * d * (n2 / λ) * cos(θ1) 其中，δ为光程差，d为薄膜的厚度，n2为介质2的折射率，λ为入射光的波长，θ1为入射角。
薄膜干涉 讲解
⑶ 当i不变、d变，则d相同处出现同一条纹 —— 等厚干涉； 当i变、d不变，则i相同的入射光产生同一条纹 —— 等倾干涉；
⑷ 透射光 a'' 、b''间的光程差与. a' 、b'间的光程差相差λ / 2。
增透膜：
在透镜表面镀上折射率为n的透明薄膜，并
使n1<n<n2，波长为 λ 的入射光垂直入射。
解：未充液体时第10环的直径为：d10 2
劈尖：平行等间隔条纹
⑵ 牛顿环：
设单色光垂直入射（i = 0），n = 1
L2nd2 2kk12
明环 暗环
r 2 R 2 (R d ) 2 2 R d d 2 2 Rd
r 2Rd (L)R
2
C λ
R（很大）
r d
O
牛顿环仪
明环半径 暗环半径
r (k 1 )R
2
r kR
O点处：d = 0、 Δ L = λ /2 —→ .暗斑
解：
⑴ 由条纹突起的方向可判断是凹槽。
⑵ 由下图：
asin h bsin
2
sin h
a
sin
2b
解得： h a
b2
.
a b
b a
h
α dk
dk+1
h
例题4-11：
当牛顿环装置中的透镜与玻璃板间充以某种液体时，牛顿环中第 10个亮 环的直径由 1.40 cm 变为 1.27 cm ，求这种液体的折射率。
§4.3 薄膜干涉 （分振幅法）
1、光程差公式：
Ln(A C C)P n 1A B 2
2nAC n1AP siin2
2nd 2dsirn nsirn
薄膜干涉中额外光程差的问题
编号 2012021241毕业设计（ 16 届本科）设计题目：薄膜干涉中额外光程差的问题学院：电气工程学院专业：物理学班级： 12级物理学本科（2）班作者姓名：赵志斌指导教师：付文羽职称：教授完成日期： 2014 年 5 月 3 日目录诚信声明 (1)薄膜干涉中的额外光程差问题 (2)1 引言 (2)2 半波损失的概念及产生条件 (2)3 额外光程与介质的关系 (3)3.1 薄膜处于同一介质中 (3)3.2 薄膜处于不同介质中 (3)4 牛顿环的明环半径公式 (3)5 额外光程差取值同于不同的区别 (4)6 结论 (5)致谢 (5)诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
作者签名：二O一年月日薄膜干涉中的额外光程差问题赵志斌（陇东学院电气工程学院，甘肃庆阳745000）摘要：就薄膜干涉中两反射光间的额外光程差问题展开论述。
给出了半波损失的概念。
并且将薄膜干涉中计算光程时，半波损失发生在膜上表面反射与发生在膜下表面的反射，额外光程差取值的相同与否加以说明。
关键词：额外光程差；半波损失；薄膜干涉；Additional optical path difference problem in thin film interferenceZhao Zhi-bin(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu,)Abstract：On film interference in the additional optical path difference between the two reflected light problem. The concept of half wave is given. And the thin film interference to calculate the optical path, the half wave loss on the membrane surface reflection and happen under the membrane surface reflection, additional optical path difference values of the sameor not.Key words: additional optical path difference; Half wave loss; Thin-film interference;1 引言满足相干条件的两列波在空间相遇时会发生干涉，其强度分布主要取决于光程差，光程差每改变半个波长，就可使波长发生很大的变化。
薄膜干涉光程差公式高中
薄膜干涉光程差公式高中
【实用版】
目录
1.薄膜干涉光程差公式的背景和基本概念
2.薄膜干涉光程差公式的推导和理解
3.薄膜干涉光程差公式的应用和影响
4.结论
正文
一、薄膜干涉光程差公式的背景和基本概念
薄膜干涉是指两束光线在穿过一个薄膜之后产生的干涉现象。
这种现象通常出现在光学元件的表面，例如镜子、透镜等。
薄膜干涉光程差公式是用来描述这种现象的重要公式。
光程差是指两束光线在传播过程中由于路径不同而产生的相位差。
在薄膜干涉中，光程差是由薄膜的厚度、折射率和光线在薄膜内的传播角度等因素决定的。
二、薄膜干涉光程差公式的推导和理解
薄膜干涉光程差公式为：δ = (2nh + λ/2) - (2ne + λ/2)，其中n为薄膜的折射率，d为入射点的薄膜厚度，t为薄膜内的折射角，λ为入射光的波长。
这个公式的推导过程较为复杂，需要考虑光线在薄膜内的传播路径、折射和反射等因素。
在理解这个公式时，需要明确每个变量的含义以及它们在公式中的作用。
三、薄膜干涉光程差公式的应用和影响
薄膜干涉光程差公式在实际应用中具有重要意义。
它可以用来分析薄
膜干涉的现象，例如条纹的明暗、级次等。
此外，它还可以用来优化光学元件的性能，例如提高透镜的透光率、降低反射等。
四、结论
薄膜干涉光程差公式是描述薄膜干涉现象的重要公式，它可以帮助我们理解和分析薄膜干涉的特性。
薄膜干涉光程差公式高中
薄膜干涉光程差公式高中摘要：一、薄膜干涉光程差公式简介- 薄膜干涉光程差公式定义- 公式中各参数含义及物理意义二、薄膜干涉光程差公式推导- 薄膜干涉光程差公式推导过程- 注意要点及难点解析三、薄膜干涉光程差公式应用- 薄膜干涉在实际应用中的案例- 薄膜干涉光程差公式在案例中的应用四、总结与展望- 对薄膜干涉光程差公式的总结- 对未来薄膜干涉光程差公式的展望正文：一、薄膜干涉光程差公式简介薄膜干涉光程差公式，是描述光线在薄膜上下表面反射后，形成的干涉现象中，两束相干光之间的光程差与薄膜厚度、折射率等参数之间的关系公式。
它对于理解薄膜干涉现象、预测干涉条纹的分布以及进行薄膜厚度等参数的测量具有重要意义。
二、薄膜干涉光程差公式推导薄膜干涉光程差公式的推导过程涉及到一些光学基础知识，如光的折射、反射以及相干光的干涉等。
具体的推导过程如下：首先，假设光线在薄膜上下表面分别发生折射角为i和r的反射，光线在薄膜内部的传播距离为d，薄膜厚度为e。
根据光的折射定律，可以得到：1 * sin(i) = n2 * sin(r)其中，n1和n2分别为空气和薄膜的折射率。
接下来，考虑光线在薄膜上下表面反射后的光程差。
根据薄膜干涉的原理，光线在薄膜上下表面的反射光程差为2e，而在薄膜内部的传播光程差为d。
因此，总的光程差为2ne + λ/2，其中λ为光的波长。
最后，根据相干光干涉的原理，两束相干光之间的光程差应等于整数倍的波长，即2ne + λ/2 = m * λ，其中m为整数。
将上述两式联立，可以解得：e = (m * λ - λ/2) / 2n这就是薄膜干涉光程差公式。
三、薄膜干涉光程差公式应用薄膜干涉光程差公式在实际应用中有着广泛的应用，如薄膜厚度测量、光学薄膜设计等。
以下是一个具体的案例：在薄膜厚度测量中，假设我们已知光的波长为λ，折射率为n，以及干涉条纹的级次m。
通过测量干涉条纹的间距，可以得到：Δy = λ/m结合薄膜干涉光程差公式，可以求得薄膜厚度：e = (m * λ - λ/2) / 2n从而实现薄膜厚度的精确测量。
薄膜干涉
薄膜干涉条件： 薄膜干涉条件： 干涉加强： 1. 干涉加强：
λ , ∆ = 2d n − n sin i + = kλ k =1 2,L 2
2 2 2 1 2
干涉减弱： 2. 干涉减弱：
λ λ ∆ = 2d n − n sin i + = (2k +1 ) 2 2
2 2 2 1 2
k = 0,1 2,L ,
薄膜干涉
薄膜干涉反射光光程差
λ ∆ = n2 (A + B ) −n1A + B C D 2
由折射定律得： 由折射定律得： 1
P Q
D
n1 n2
i
A
2
i
r
B
C
d
λ ∆ = 2d n −n sin i + 2
2 2 2 1 2
n1 n2 > n1
λ ∆ = 2d n −n sin i + 2
2 2 2 1 2
每一条纹（ 每一条纹（即级 次）对应劈尖内一定 的厚度， 的厚度，当此厚度位 置改变时， 置改变时，对应的条 纹随之移动。 纹随之移动。
波长为680nm的平行光照射到 的平行光照射到L=12cm长的两块玻 例 波长为 的平行光照射到 长的两块玻 璃片上， 两玻璃片的一边相互接触， 璃片上 ， 两玻璃片的一边相互接触 ， 另一边被厚度 Ｄ=0.048mm的纸片隔开 . 试问在这 的纸片隔开. 的纸片隔开 试问在这12cm长度内会呈 长度内会呈 现多少条暗条纹 ? 解
劈尖干涉的应用 干涉膨胀仪 测膜厚
∆ l
n1 n2
si
sio2 e
l0
λ d=N 2n1
检验光学元件表面平整度
∆e
薄膜干涉的光程差公式
薄膜干涉的光程差公式薄膜干涉是一种光学干涉现象，是指当光线在两个介质之间传播时，由于不同介质的折射率不同，光线在介质中的传播路径不同，导致光程差的变化，从而产生干涉现象。
光程差是指光线传播过程中两条光线路径所走过的路程之差。
在薄膜干涉中，光线由真空中入射到一个介质中，然后再出射到另一个介质中。
设入射光线角度为θ，入射介质的折射率为n1，薄膜的厚度为d，薄膜的折射率为n2、在薄膜中，光线的路径可以分为两部分：一部分是入射光线在第一个介质中传播的路径，另一部分是入射光线在薄膜中传播的路径。
首先考虑入射光线在第一个介质中的传播路径。
入射光线在第一个介质中传播的路程为L1，由于第一个介质的折射率为n1，光线在此介质中的传播速度为c/n1，所以可以得到L1=c*t1，其中t1为光线在第一个介质中的传播时间。
根据物理学中的定义，光线在真空中的传播时间t为光线传播的路程L与光速c的比值，即t=L/c。
因此，L1=ct1=nc*t。
由此可见，入射光线在第一个介质中的传播路径与时间与真空中的传播路径和时间成正比。
接下来考虑入射光线在薄膜中的传播路径。
假设入射光线与薄膜表面的夹角为θ，入射光线在薄膜中传播的路程为L2、由于薄膜的厚度为d，光线传播的速度为c/n2，所以可以得到L2=d/cosθ*n2、其中cosθ为入射角的余弦值，n2为薄膜的折射率。
因此，入射光线在薄膜中的传播路径与薄膜的厚度和入射角的余弦值成正比。
最后考虑出射光线在第二个介质中的传播路径。
出射光线在第二个介质中的传播路径为L3、由于第二个介质的折射率为n1，光线在此介质中传播的速度为c/n1，所以可以得到L3=c*t3、根据上面的定义，可知L3=ct3=nc*t。
因此，出射光线在第二个介质中的传播路径与时间与真空中的传播路径和时间成正比。
根据光程差的定义，可以得到光程差为Δ=L1+L2+L3=(nc*t)+(d/cosθ*n2)+(nc*t)。
化简得到Δ=2nct+(d/cosθ*n2)。
第2节 光程差—薄膜干涉
2.光程差与相位差的关系（设两光同位相） 光程差与相位差的关系（设两光同位相） 光程差与相位差的关系 光程差每变化一个波长， 光程差每变化一个波长，相位差变化 2π 光程差为 δ ，相位差为∆ϕ ； 光程差与相位差的关系为： 光程差与相位差的关系为： δ = ∆ϕ λ 2π 2π 则相位差为： 则相位差为： ϕ = ∆ δ
13
①
i
n1 n2
②
d
n3
P
① i
A
D i
②
C
n1
r
B
n2
d
n3
δ ' = n2 ( AB + BC ) − n1 AD
AB = BC = d / cos r
①
D
P
AD = AC sin i = 2dtgr sin i
i i
A
i r r
B
②n
C
1
δ ' = n2 2 AB − n1 AD
n2
d
= 2n2d / cos r − 2n1dtgr sin i 2d = (n2 − n1 sin 2 i ) 由折射定律 n1 sin i = n2 sin r cos r 2n2d 2dn2 2 = cos2 r = 2n2d cos r δ '= (1 − sin r ) cos r cos r
n3
= 2n2d 1 − sin r = 2d n − n sin i
2
2 2
2 1
2
14
未考虑半波损失时
①
2 ′ = 2d n2 − n12 sin 2 i δ
i
n ②1 n2
d
考虑半波损失： 考虑半波损失：
薄膜干涉
P i
n1 n2
2e n n sin i
2 2 2 1 2
a b
当 n1 > n2 > n3 ，
或 n1 < n2 < n3 时,
=0
γ i
2 2 2 1
e
n3
当 n1 < n2 > n3 或 n1> n2 < n3 时,
例如：当 n1 = n3 > n2 时，
10
五. 牛顿环
r2 R2
2e
2
R e
2
2 Re e 2 R e 可以略去e2 r2 e 2R r2 明环半径 k R 2
r
2k 1R
2
k 1,2 ,3
11
暗环半径
r
r2 R
2
2k 1
2
d N 2
若插入介质
2( n 1) L N
n N 2L 1
n,L N
14
二. 干涉现象的应用 三.相干长度 设波列长为L , 则两分光束产生干涉的最大光程差 m= L, 该长度即为单a1 a1a 1 S1 a a2 2 a2 S a2a2 b2 S2 a2
n2 1.38
e
2 2n2
由k=1得
emin
4n2
n3 1.50
0.1 μm
5
2e n n sin i
2 2 2 1 2
四. 劈尖干涉
平行光垂直入射
空气劈尖 ( n2 = 1 )
2e
2
02光程差-等倾干涉-等厚干涉解析
➢光程 、光程差 ➢厚度均匀薄膜干涉----等倾干涉 ➢劈尖干涉----等厚干涉
1
光程、光程差
一、光程
相位差在分析光的叠加时十分重要，为便于计算光 通过不同介质时的相位差，引入光程概念。
光通过媒质时频率
不变，但波长
要变，设为
。
n
真空中 a λ
·
b·
Δba
r2π
r 介质中
…真空中波长
i iD
A
② 光的光程差为：
r
B
'n 2(A B B C ) n 1A D
②
n1
C
e n 2
n3
10
'n 2(A B B)C n 1AD
①
P
A B BC e/cosr A A D sC i i 2n etgrsini
D
ii i
②
n1
A
C
'n22AB n1AD
rr
n2 e
B
n3
2 n 2 e /c o s r 2 n 1 e tg r s in i
介质中r的路程与真空中nr的路程相当。
nr—在折射率为 n 的媒质中，光走距离 r
的等效真空路程，称为光程。
定义： 光程 nr
3
可以证明：光通过相等的光程，所需时间相同， 位相变化也相同。
如果光线穿过多种介质时，其光程为：
n 1 r 1 n 2 r 2 n n r n r1 r2 ri rn
设相邻两条亮纹对应的厚度差为 e：
2nek
2
k
2nek12(k1)
l
ek ek+1 e
有
eek1ek
薄膜干涉条纹间距与厚度关系推导
薄膜干涉条纹间距与厚度关系推导
薄膜干涉是一种光学现象，当光线通过不同介质的界面时会发
生干涉现象。
薄膜干涉条纹的间距与薄膜的厚度之间存在一定的关系，这个关系可以通过推导来得到。
首先，我们考虑一块薄膜，它被照射的光波经过反射和透射后
会发生相位差，这个相位差会导致干涉现象。
假设薄膜的折射率为n，膜厚为t，入射光的波长为λ，那么反射光和透射光之间的相位
差Δϕ可以表示为2πnt/λ。
根据薄膜干涉的条件，相邻两条暗条纹（亮条纹）之间的光程
差为λ/2（或者为λ）。
而光程差可以表示为2ntcosθ，其中n
为薄膜的折射率，t为薄膜的厚度，θ为入射角。
将以上两个条件联立起来，我们可以得到薄膜干涉条纹间距与
厚度的关系。
具体来说，暗条纹间距d的表达式为d = λ / (2 n cosθ) = λ / (2 √(n² sin²θ))，这里的n为薄膜的折射率，θ为入射角，λ为入射光的波长。
这个推导过程可以帮助我们理解薄膜干涉条纹间距与厚度之间
的关系。
在实际应用中，我们可以通过测量薄膜干涉条纹的间距来推断薄膜的厚度，这对于一些光学测量和薄膜表征具有重要意义。
等厚干涉
【1】等厚干涉：定义：薄膜干涉的一种，光程差是薄膜厚度的函数，薄膜厚度相等点的光程差相同，干涉条纹是同一级。
干涉条纹形状与薄膜等厚线相同。
示意图：极大极小条件：光程差Δ=2n2d+δ 半波损失=2kλ2(极大)2k−1λ2(极小)，k=1,2,3,⋯特征：1>对于劈尖薄膜干涉：2>牛顿环：干涉条纹形状与薄膜等厚线相同。
【2】牛顿环的历史是牛顿在1675年首先观察到的．将一块曲率半径较大的平凸透镜放在一块玻璃平板上，用单色光照射透镜与玻璃板，就可以观察到一些明暗相间的同心圆环．圆环分布是中间疏、边缘密，圆心在接触点O．从反射光看到的牛顿环中心是暗的，从透射光看到的牛顿环中心是明的．若用白光入射．将观察到彩色圆环．牛顿环是典型的等厚薄膜干涉．牛顿环实验是这样的：取来两块玻璃体，一块是14英尺望远镜用的平凸镜，另一块是50英尺左右望远镜用的大型双凸透镜。
在双凸透镜上放上平凸镜，使其平面向下，当把玻璃体互相压紧时，就会在围绕着接触点的周围出现各种颜色，形成色环。
于是这些颜色又在圆环中心相继消失。
在压紧玻璃体时，在别的颜色中心最后现出的颜色，初次出现时看起来像是一个从周边到中心几乎均匀的色环，再压紧玻璃体时，这色环会逐渐变宽，直到新的颜色在其中心现出。
如此继续下去，第三、第四、第五种以及跟着的别种颜色不断在中心现出，并成为包在最内层颜色外面的一组色环，最后一种颜色是黑点。
反之，如果抬起上面的玻璃体，使其离开下面的透镜，色环的直径就会偏小，其周边宽度则增大，直到其颜色陆续到达中心，后来它们的宽度变得相当大，就比以前更容易认出和训别它们的颜色了。
牛顿测量了六个环的半径（在其最亮的部分测量），发现这样一个规律：亮环半径的平方值是一个由奇数所构成的算术级数，即1、3、5、7、9、11，而暗环半径的平方值是由偶数构成的算术级数，即2、4、6、8、10、12。
例凸透镜与平板玻璃在接触点附近的横断面，水平轴画出了用整数平方根标的距离：√1=1√2=1.41,√3=1.73,√4=2,√5=2.24等等。
13.1.3-4 光程和光程差 薄膜干涉(等倾干涉)解析
n 短 n
n 2n n 2
2
c u n
慢
n
2
光程相等
13.1.3、4 光程 薄膜干涉（等倾）
(2)光程差 (两光程之差) S 1 波程差 r r2 r 1 光程差 Δ n2r2 n1r1
S 2
r1 r2
n1 n2
相位差
2π
Δ (2k 1) , k 0,1,2, 2 干涉减弱 (2k 1)π , k 0,1,2,
第十三章 波动光学
5
二 透镜不引起附加的光程差
问题
A B C
不同光线通过透镜要改变传播方向， 会不会引起附加光程差？
b
a
c
F
A、B、C 的位相相同， 在F点会聚，干涉加强 F '
第十三章 波动光学
14
13.1.3、4 光程 薄膜干涉（等倾）
已知
n1=1.20
解 (1)Δr 2dn1 k
n2=1.30
d=460 nm
2n1d , k 1,2, k k 1, 2n1d 1104nm
k 2,
k 3,
n2
n1
n1d 552nm
transmission
第十三章 波动光学
11
13.1.3、4 光程 薄膜干涉（等倾）
当光线垂直入射时 i 0
23
Δr 2n2 d
2
n1 n2 n1
(k 1, 2,)
2
k
加强
减弱
(2k 1)
(k 0,1, 2,)
第十三章 波动光学
12
大学物理 光的干涉2 (薄膜干涉)
照像机对此波长反射小，可在照像机镜头上镀一层氟化镁MgF2 薄膜，已知氟化镁的折射率 n=1.38 ，玻璃的折射率n=1.55.
求:氟化镁薄膜的最小厚度. 解:两条反射光干涉减弱条件
r1
r2
2nd (2k 1) 2
增透膜的最小厚度
k 1,2,
d
550 d 100nm 4n 4 1.38
光线垂直入射
i 0
入射光
反射光1 反射光2
d
2k 2 2n2 d 2 （2k 1 ） 2
k 1,2, 相长干涉 k 1,2, 相消干涉
2
2k k 1,2, 相长干涉 2 2 2d n2 n12 sin 2 i 2 （2k 1 ） k 1,2, 相消干涉 2
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
例1(教材P19
例22.5)为测量一细金属丝的直径d，按
图办法形成空气劈尖，用单色光照射形成等厚干涉条纹， 用读数显微镜测出干涉明条纹的间距，就可以算出d。
已知单色光波长为589.3 nm，测量结果是：金属丝与劈
解:设空气的折射率为 n1 1.00 油膜和玻璃的折射率分别为 n2 1.30 和 n3 1.50
在油膜上下表面的反射光都有相位突变,所以, 0
反射光光程差干涉极小时,应有:
1 2en2 2k 1 k 2 2
7
设 1 500 nm 对应 k 级干涉极小,
薄膜干涉光程差公式高中
薄膜干涉光程差公式高中摘要：1.薄膜干涉现象的简介2.光程差的定义及其影响因素3.薄膜干涉光程差公式的推导4.公式的应用实例5.总结与展望正文：薄膜干涉现象是指当光线穿过两个介质时，由于介质折射率的差异，导致光程发生变化，从而产生干涉现象。
这种现象在薄膜、光纤等领域具有广泛的应用。
本篇文章将介绍薄膜干涉光程差公式，并分析其影响因素、应用实例等。
光程差是指光线在两个介质中传播时的路径长度差异。
光程差ΔL可以通过以下公式表示：ΔL = n1d1 - n2d2其中，n1和n2分别为第一个介质和第二个介质的折射率，d1和d2分别为两个介质之间的厚度。
薄膜干涉光程差公式推导：假设光线从空气中垂直射入第一个介质（如薄膜），并在介质内部发生反射。
根据光程差公式，可以得到第一个介质中的光程差：ΔL1 = 2n1d1同理，当光线在第一个介质中传播后，进入第二个介质并发生反射，可以得到第二个介质中的光程差：ΔL2 = 2n2d2将上述两个光程差相减，可以得到薄膜干涉光程差：ΔL = 2n1d1 - 2n2d2根据薄膜干涉光程差公式，我们可以发现，光程差与折射率、厚度有关。
在实际应用中，通过改变折射率或厚度，可以实现对光程差的调控，从而实现不同功能的光学器件。
应用实例：1.光学薄膜：光学薄膜是利用薄膜干涉原理制备的一种光学元件，具有低反射、高透光等特点。
光学薄膜广泛应用于眼镜、太阳能电池、LED等领域。
2.光纤通信：光纤通信利用光纤中的薄膜干涉现象实现信号的传输和放大。
通过在光纤中加入掺铒光纤放大器（EDFA），可以实现数百公里的信号传输距离。
总结与展望：薄膜干涉光程差公式为研究和应用薄膜干涉现象提供了理论依据。
在实际应用中，薄膜干涉技术不断发展和创新，如超精密光学制造、自适应光学、生物医学成像等领域。
楔形薄膜干涉公式推导
楔形薄膜干涉公式推导楔形薄膜干涉是光学中的一个重要概念，对于理解光的波动性具有关键作用。
咱们先来了解一下啥是楔形薄膜。
想象一下，你有一块透明的玻璃板，然后在一端垫上一个小薄片，这样就形成了一个楔形的空气薄膜。
当一束光照射到这个楔形薄膜上时，就会发生神奇的干涉现象。
那楔形薄膜干涉的公式是咋推导出来的呢？咱们一步步来。
先说说光程差。
光程差可是干涉现象的核心概念。
对于楔形薄膜来说，光在不同的路径上传播，走过的距离是不一样的。
就好比你从学校回家，走不同的路，路程长度可能就不同。
假设入射光的波长是λ，楔形薄膜的厚度是 d，折射率是 n。
那么两条相干光线之间的光程差可以表示为：ΔL = 2nd - λ/2 。
为啥会有这个式子呢？咱来仔细琢磨琢磨。
光线在薄膜中传播，经过的实际路程要乘以折射率才是光程。
所以在楔形薄膜中，一条光线从上面表面反射，另一条光线从下面表面反射。
这两条光线的光程差，一部分是因为在薄膜中传播的距离不同，这就是 2nd 这一项；另一部分是因为半波损失，所以要减去λ/2 。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个学生特别可爱。
他瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这半波损失到底是咋回事啊？”我就跟他解释说：“你就想象光像个调皮的孩子，在反射的时候有时候会摔一跤，这一跤就导致它损失了半个波长。
”他听完恍然大悟，那表情别提多有意思了。
咱们接着说公式推导。
通过这个光程差的式子，再根据干涉加强和减弱的条件，就能得出一系列有趣的结论。
当光程差等于波长的整数倍时，也就是ΔL = kλ （k 为整数），就会出现干涉加强，也就是亮条纹。
当光程差等于半波长的奇数倍时，也就是ΔL = (2k + 1)λ/2 ，就会出现干涉减弱，也就是暗条纹。
有了这些结论，我们就能解释很多生活中的光学现象啦。
比如夏天柏油马路上看起来好像有一层水，这其实就是光在空气薄层中发生干涉的结果。
总之，楔形薄膜干涉公式的推导虽然有点复杂，但只要咱们一步步理清思路，还是能轻松掌握的。
光程差薄膜干涉
光程差 薄膜干涉
1
一、光程与光程差
1.光程∆ 1.光程∆ 光程 光源的频率不变，光在传播过程中频率保持不变。 光源的频率不变，光在传播过程中频率保持不变。 在真空中光的波长为 λ，光速为 C，进入折射率 ， 的介质中后， 则有： 为 n 的介质中后，波长λn , 光速为 v ,则有： 则有 λ C λ C = ∴ λn = 而 n= v λn v n 同一频率的光在不同介质中波长不相同。 同一频率的光在不同介质中波长不相同。 处理方法： 光在介质中的波长折合成它在真空中的 处理方法：把光在介质中的波长折合成它在真空中的 折合成它在 波长作为测量距离的标尺 作为测量距离的标尺， 波长作为测量距离的标尺，并进一步把光在介质中传 播的距离折合成光在真空中传播的距离。 播的距离折合成光在真空中传播的距离。
n3
= 2n2d 1 − sin r = 2d n − n sin i
2
2 2
2 1
2
14
未考虑半波损失时
①
2 ′ = 2d n2 − n12 sin 2 i δ
i波损失： 考虑半波损失：
λ 2 光程差 δ = δ '+ = 2d n2 − n12 sin 2 i + λ
光程差不 n1 > n2 > n3 附加 λ 2 干涉的加强减弱条件: 干涉的加强减弱条件
2 2 2 1 2
n3
n1 < n2 < n3
2
n1 < n2 > n3
2
n1 > n2 < n3
光程差 附加 λ 2
15
λ δ = 2d n − n sin i + = λ 2 (2k − 1) (k = 1,2 L) 减弱 2
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∑一∑（Ｅ，Ｖ，Ｎ）是相空间中能量表面Ｈ—Ｅ的面
三（Ｅ，Ｖ，Ｎ）一ｆ艿（Ｅ（订）一Ｈ）ｄ３”ｐｄ３Ｎｑ（１。）
证明如下：对于经典理想气体，积分式（１０）变为
∑一Ｖ“』占（嘉一去薹ｐ；）∥ｐ —Ｖ～警Ｍ一善３Ｎ（学）２ —Ｖｗ半（甜ＮＭ一∑３Ｎ ｚ；）∥ｚ
ｄ州ｐ
参 ［１］Ｌａｎｄａｕ
考
文
献
Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｐａｒｔ Ｉ（３ ｒｄ
４结论和讨论
本文不引入任何参量，直接在能量曲面Ｈ
（一ｈ接第５８页） ＡＥ—ｓｉｎｌ。×２×１０ ６×８．７×１０ —３×１０
２
是一个很小的量． ９（ｍ）一３ｎｍ《Ａ
２００６．２８２～２８４
参
考
文
献
于是在ＳＡ≈ＳＤ（即ＳＡ—ＳＤ＜＜Ａ）和忽略ＡＥ（即
［１］金钟辉，梁德余．大学基础物理学［Ｍ］．北京：科学ｆｆ｛版社，
先讨论一个平行薄膜，在图３所示情况下，计 算两反射光线①、②之间的光程差（不计及半波损 失）．由于薄膜很薄以及通常观察条件下，可以认为
图３中的ＳＤ≈ＳＡ．即ＳＤ
ＳＡ＜＜Ａ，其中Ａ为可见
光波长．现在来估算，看看ＳＤ—ＳＡ《Ａ是否成立！
Ｂ
图４
再来讨论劈形薄膜的情况，如图４所示．图中
ＳＤ—ＳＡ
基金项目
ＣＥ平行于劈形膜的底面ＭＮ．在以上讨论中，我
ＡＬ一２ｎｈ ｃｏｓ）＇ （１）
由于ＡＤ《ＳＤ，所以有［１一（笫）２］言≈１一 ÷（Ａ面Ｄ）２，于是有 ＳＤ—ＬｓＡ—ＳＤ—ｓＤ『，一（等）２］专
１ ＡＤ
２
但在许多教材【１“ｏ里仅对图１的薄膜等倾干涉的 光程差公式作了详细的推导，得出式（１）．然后只 作粗略的说明，就将上述结论推广至图２所示的 劈形膜的等厚干涉中，未作详细的推导．以下我们 将作详细的推导．
Ｉ。Ｄ ａｎｄ Ｌｉｆｓｈｉｔｚ Ｅ
Ｍ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
ｃｄ．）．Ｏｘｆｏｒｄ：Ｂｕｔｔｅｒｗｏｒｔｈ—Ｈｅｉｎｅｍａｎｎ，１ ９９７．１ ３
［２］Ｇａｒｒｏｄ
Ｃ．．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
ａｎｄ Ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｏｘ
ｆｏｒｄ：（）ｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９５
７
从以上讨论可以看出，将薄膜等倾干涉的光 程差公式，直接推广至薄膜等厚干涉，从教学观点 来看，是不够严谨的；在光程差的计算中采用近似 要特别小心，因为我们处理的物理量可见光波长
光学
［Ｍ］．北京：高等教育ｊｊ｛
万方数据
Ｂ
图
３
们已证明图４中的ＳＡ≈ＳＤ，现在来证明图４中 的ＡＥ《Ａ！
ＡＥ≈ｓｉｎａ・ＡＣ—ｓｉｎａ・２ｈｔａｎ７
（３）
ＳＤ
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中央高校基本科研业务费穹项资助（２００９—２
０５）
若ａ一１。，），一５。，ｈ一１／，ｍ，则
（下转第６１页）
万方数据
物理与工程Ｖ０１．２０
ＡＥ《Ａ）的情况下，采用许多教材的方法，可得ｍ 图４中的两反射光线②、①之间的光程差为△Ｌ
一２ｎｈｃｏｓｙ． ［２］
陆果．基础物理学［下］［Ｍ］．北京：高等教育出版社，
１ ９９７．５２０
［３］梁绍荣，管靖．基础物理学［上］［Ｍ］．北京：高等教育出版 社，２００２．２４３ ［４］赵凯华．新概念物理教程 版社，２００４．１１
一型ｎ（押，Ｎ）
其中进行了变量代换五一ｐ：Ｌ／ｈ．．关系式（１１）表明对 于立方体盒子中的经典理想气体，能量曲面Ｈ—Ｅ 上计算能量超面的表面积，正比于该体系的微观状 态数．物理上，由于到能壳厚度ｅ。，是个极小的量， 相空间中能量超面Ｈ—Ｅ附近的能壳Ｅ—ｅ。／２≤
厂
［３３汗志诚．热力学・统汁物理（第３版）［Ｊ］．北京：高等教育 Ｉｔｊ版社，２００３．３４６ Ｅ４］Ｈｕａｎｇ
［６］Ｔｏｄａ Ｍ，Ｋｕｂｏ
Ｒ，ａｎｄ Ｓａｉｔｏ
Ｎ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ
ｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１
９９２．３０～３２
ｉｓ ｔｈｅ Ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ Ｉ．ｍ
［７］ ｄ“ｐｄ３Ｎｑ，
Ｓｔｙｅｒ
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Ｆ．ｗｈａｔ
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Ｈ≤Ｅ＋￡。／２中的体积
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Ｊ．Ｐｈｙｓ．，２００４，７２（１）：２５～２９
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ＳＤ—ＳＡ一５×１０∞（ｍ）《Ａ 在ＳＡ～．ＳＤ情况下，我们采用许多教材中的方法，得 ｍ图３中的两反射光线的光程差为世，一２ｎｈｃｏｓｙ．
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Ｙｏｒｋ：
Ｓｐｒｉｎｇｅｒ～Ｖｅｒｌａｇ，１９９５．１４２
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ｔｉｓｔｉｃａｌ
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Ｄ．Ｐｒｏｂｌｅｍｓ
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Ｓｔａ—Biblioteka Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｂｒｉｓｔｏｌ：Ｉ（）Ｐ，１９９６．３４～３５，４１～５０
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［８］Ｇｒｅｉｎｅｒ Ｗ，Ｈｅｉｓｅ
Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
Ｉ。，ａｎｄ Ｓｔｏｅｃｋｅｒ ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ
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近似等于球表面积和厚度的乘积￡。∑．考虑到每个 微观状态占据相空间体积元为ｈ训，于是得到
￡。∑／＾３～≈ｎ（卵，Ｎ）．
Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
Ｋ．．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
ｔｏ
Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
Ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｌｏｎｄｏｎ：
Ｔａｙｌｏｒ ａｎｄ
Ｆｒａｎｃｉｓ，２００１．６６
ｒ ５］Ｐａｔｈｒｉａ
Ｒ Ｋ．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ
Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ（２ｎｄ
ｅｄ．）．Ｏｘｆｏｒｄ：Ｂｕｔ— ５０４ Ｉ．Ｂｅｒ—
ｔｅｒｗｏｒｔｈ—Ｉ－Ｉｅｉｎｅｍａｎｎ，１９９７．２０．２８，ａｎｄ
物理与Ｔ程Ｖ０１．２０
Ｎｏ．６
２０１０
薄膜干涉光程差公式推导过程中的近似问题
王家慧 祁
铮金钟辉
１０００８３）
（中国农业大学应用物理系，北京
（收稿日期：２０１
ｏ（）５ １１）
摘
要
给出等倾干涉的光程差公式可推广至等厚干涉的证明 等倾干涉；等厚干涉；光程差
关键词
薄膜等倾干涉（图１）和等厚干涉（图２）ｒｔ７，经 薄膜两个界面反射后的①、②两束光线之问的光 程差（不计及半波损失）均为
Ｎｏ．６
２０１０
冥中ｅ ｃ，是由方程（１）『ｆ玎得的糸统能量单位，
Ｅ上研究立方体盒子中的量子自由粒子气的微观
（９）
ｅ。一羔
积，定义为
状态数．通过取连续化近似，得到这个问题的近似 解．经过数值验算发现这个近似解当粒子数较多 的时候是个近似程度极高的渐近解．也就是本质 上等同于在热力学极限下讨论这个问题．从这个 解出发，我们发现能量薄层技术本质上是一种数 学的便利手段，不过薄层的厚度不能随意选取，而 要取系统能量的最小能量单位．