最新不等式的证明课件3人教A版选修4-5

2
2
2
只需证 lg abbcca＞lgabc
222
只需证 abbcca＞abc
222
∵a、b、c是正数
∴ ab≥
2
ab ＞0，b c ≥ 2
bc ＞0，c a
2
≥
ca ＞0
∵a、b、c不全相等
∴ abbcca＞ ab • bc • ca ＝abc
222
∴ lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
不等式的证明课件3人教A版 选修4-5
复习：
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最重
要的方法，用比较法证明不等式的步骤是： 作差—变形—定符号---下结论
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒
等变形。
例3.证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的
面积大。
证明：设周长为 L
, 依题意，圆的面积为
即 a 2 c 2 b 2 d 2 证 2 a a b 2 c 2 b 2 d c 2 a 2 d d 2 b 2 c 2
即 2 a证 b a 2 c d 2 d b 2 c 2即 a证 d b2 c 0
a c b da 2 b 2 c 2 d 2 成立
练习2 ：已知C＞1，求证：
(2)已知：a1，a2，b1，b2∈R+,求证： (a 1 b 1 )(a 2 b 2 )≥ a1a2b1b2
3求 证 1a a2 2 1 1 1
例3：若a、b、c是不全相等得正数
求证：lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
2
2
2
证明: 要证 lg a b ＋lg b c ＋lg c a ＞lga+lgb+lgc
c 1 c 1 2c 证明：∵C＞1 ∴C+1＞0 C-1＞0
要 证 原 不 等 式 只 需 证 C 1 C 1 2 2 C 2
即 C 证 1 2C 2 1 C 1 4 C
即证 C21C
即证-1＜0 而此式显然成立
原不等式
C 1 C 1 2 C 成立
练习3
1 求 6 证 7 2 2 5
ab
ab
பைடு நூலகம்
2
2
2
常用已证过的不等式：
1° a2 0（aR）
2° a 0（aR）
3°a2b22ab(a,bR) 及其变形
a a 22 b b2 2 1 2(a a b b )2 ,(2 a a b b )2 4 a2a 2b2
(ab)2 2
b
2
4°
ab 2
ab （a>0，b > 0）及其变形
b a 2 (a 0 b )b , a 2 (a 0 b )
4b
＝1
即 ( a b)2 ＜1＜ ( a b)2
4a
4b
∴ (a b)2 ＜ ab ab＜ (a b)2
8a
2
8b
练习1.求证：
a b c d a 2 b 2•c 2 d 2
证明： 若ac+bd≤0, a2b2 c2d20不等式显然成立 若 ac bd 0 a2b2 c2d20
原不等式即证 a b c 2 d a 2 b 2 c 2 d 2
8a
2
8b
证明：欲证 (a b)2 ＜ ab ab＜ (a b)2
8a
2
8b
只需证 (a b)2 ＜ ( a b)2＜ (a b)2
4a
4b
只需证 ( a b)2 ＜ 1 ＜ ( a b)2
4a
4b
∵ a＞b ＞0
∴
(
a b)2 4a
＜
(
a a)2 4a
＝1
(
a b)2 4b
＞ ( b b)2
L 2
2
,
正方形的面积为
L 4
2
所以本题只需证明
L
2
2
L2 4
为了证明上式成立，只需证明
L2 L2 4 2 16
即证 1 1 , 因此只需证明 4 上式是成立的，所以
4
2L
2
L2 4
这就证明了，如果周长相等，那么 圆的面积比正方形的面积大。
例4:已知a＞b ＞0，求证 (a b)2 ＜ ab ab＜ (a b)2