高一数学《平面向量基本定理》(课件)

有且只有一对实数1, 2 , 使 a 1e1 2 e2 .
其中e1，e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底.
4. 由表及里，分析定理:
问1：在刚才我们总结的定理中， 基底 e1，e2 是不是唯一的呢？
问
2：向给量定a基的底表e示1，是 e2
之后，任意一个 不是唯一的呢？
三、展示定理应用, 形成技能技巧
C
N
a B' e2
A
e1
e1
O A'
M
e2
B
C
a
A
e1
a
O
C'
e2B
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
C
N
a B' e2
A
e1
e1
O A'
M
e2
B
C
M
a
A
e1
a
O
C'
e2B
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
C
N
a B' e2
A
e1
e1
O A'
e1 e1O
A'
A
e2B
a
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
怎样构造平行四边形 ？
C
M
a e1 A
e1 e1O
A'
A
e2B
a
N B' e2 O e2 B M
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
怎样构造平行四边形 ？
C
M
a e1 A
e1 e1O
A'
A
e2B
a
N
N B' e2 O e2 B M
e2 B
2. 动手操作，探测命题:
将三个向量的起点移到同一点：
e1
M
e1 A a
O
C
e2
e2 B
2. 动手操作，探测命题:
将三个向量的起点移到同一点：
e1
M
e1 A a
O
C
e2
e2 B N
显然：a OM ON
M
e1A a
O
C
e2 B N
显然：a OM ON 根 据 向 量 共 线 的 充 要 条件, 存 在 唯 一
综合应用：
例5 用平面向量基本定理证明几何问题 用向量证明：三角形三条边上的中
线共点。
五、小结课堂内容, 系统消化知识
五、小结课堂内容, 系统消化知识
1. 本节课堂我们通过观察、联想、不 断探索, 获得了一个重要的定理— —平面向量基本定理.
五、小结课堂内容, 系统消化知识
1. 本节课堂我们通过观察、联想、不 断探索, 获得了一个重要的定理— —平面向量基本定理.
1. 向量的夹角
已知非零向量a和b，
b
a
作OA
a，OB
b，
则AOB (0 180)
叫做向量a和b的夹角. O
B b a
A
注：(1) 0时，a与b同向；
0
O
b
B
aA
注：(1) 0时，a与b同向；
0
(2)
O
18b0时B，aa与A b反向；
B bO180aA
(3)
90时，a
它们之间会有
e1 a
怎样的关系呢？ e2
2. 动手操作，探测命题:
2. 动手操作，探测命题:
将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
a C
e2
2. 动手操作，探测命题:
将三个向量的起点移到同一点：
e1
e1 A a
O
C
e2
2. 动手操作，探测命题:
将三个向量的起点移到同一点：
e1
e1 A a
O
C
e2
怎样构造平行四边形 ？
C
M
a e1 A
Βιβλιοθήκη Baidu
B' e2 O e2 B
e1
O
A
e2B
a
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
怎样构造平行四边形 ？
C
M
a e1 A
N B' e2 O e2 B
e1
O
A
e2B
a
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
怎样构造平行四边形 ？
C
M
a e1 A
N B' e2 O e2 B
其逆命题是否成立?
即：已知O、A、B三点不共线， 若OP mOA nOB且m n 1， 则A、P、B三点共线.
平面内三点共线的一个等价条件
若O、A、B三点不共线，则 P、A、B三点共线的等价条件为：
OP mOA nOB m, n R且m n 1.
3. 学生练习，熟悉定理:
练习： 如图，在平行四边形ABCD
a
.
一、复习旧知，以旧悟新:
如图，有非零向量a, 怎样判定
b与
a共线？
a
b
向量b与非零向量a共线,
当且仅当有唯一一个实数，使b
a
.
二、揭示定理形成, 激发追求新知
二、揭示定理形成, 激发追求新知 1. 设问置疑，导入课题:
二、揭示定理形成, 激发追求新知
1. 设问置疑，导入课题:
观察如图三个不共线向量e1、a、e2 ,
2. 通过定理的应用，我们又得到了平 面内三点共线的一个充要条件.
作业布置
学法大视野 第18课时
e1
e2
例1 解：
e1
e2
例1 解：
e1
e2
3e2
例1 解：
e1
2e1
e2
3e2
例1 解：
e1
2e1 a
e2
3e2
2. 纵横联系，综合应用:
例2 如图，OA、OB 不共线,
且 AP t AB (t R), 用 OA，
OB 表示 OP .
O
P B A
解题反思:
本题的实质是：已知O、A、B 三点不共线，若点 P 在直线 AB 上， 则 OP mOA nOB, 且 m n 1.
中，点M是AB的中点，点N在 BD
D
C
上，BN 1 BD，
N
3
M
A
B
求证：M，N，C三点共线.
四、新课讲授
四、新课讲授
1. 向量的夹角
四、新课讲授
1. 向量的夹角
已知非零向量a和b，
b
a
四、新课讲授
1. 向量的夹角
已知非零向量a和b，
作OA
a，OB
b，
b
a
B O b a A
四、新课讲授
三、展示定理应用, 形成技能技巧 1. 顺水推舟，直接应用:
三、展示定理应用, 形成技能技巧
1. 顺水推舟，直接应用:
例1 如图，已知向量
e1、e2 , 求作向量 a， e1
使 a 2e1 3e2 .
e2
例1 解：
e1
e2
例1 解：
e1
e2
例1 解：
e1
e2
例1 解：
e1
e2
例1 解：
的一对实数1 , 2 , 使得：OM 1 e1 ,
M
ON 2 e2 ,故
e1A a
O
C
a 1 e1 2 e2 .
e2 B N
3. 寻找方法，证明定理:
3. 寻找方法，证明定理: 确定一对不共线向量e1，e2 后，
是否平面内任意一个向量都可以用
1 e1 2 e2来表示呢？
(1) 当a与e1或e2共线时，可令
C
a B' e2
A
e1
e1
O A'
M
e2
B
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
C
N
a B' e2
A
e1
e1
O A'
M
e2
B
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
C
N
a B' e2
A
e1
e1
O A'
M
e2
B
C
A
a e1
O
e2B
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
1或2为0即可使结论成立 .
a
e1
e1
a
e2
e2
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
怎样构造平行四边形 ？
C
a e1 A
O e2 B
e1
O
A
e2B
a
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
怎样构造平行四边形 ？
C
a e1 A
B' e2 O e2 B
e1
O
A
e2B
a
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
一、复习旧知，以旧悟新:
一、复习旧知，以旧悟新:
如图，有非零向量a, 怎样判定
b与
a共线？
a
b
一、复习旧知，以旧悟新:
如图，有非零向量a, 怎样判定
b与
a共线？
a
b
一、复习旧知，以旧悟新:
如图，有非零向量a, 怎样判定
b与
a共线？
a
b
向量b与非零向量a共线,
当且仅当有唯一一个实数，使b
b；
B
b 90 O a A
a
b
(4) 判断两向量的夹角，应使
两向量是一个起点 .
a
O
B
A b
顺水推舟，直接应用:
例3 求向量的夹角 已知| a || b | 2,且a与b的夹角为60,
若a b与a的夹角为 , a b与a的夹角 为 ,求 .
综合应用：
例4： e1、e2是两个不共线的向量, 且 AB 2e1 ke2 ,CB e1 3e2 ,CD 2e1 e2 , 若A, B, D三点共线,求k的值.
C
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
A
C
a
e1
OB
e2
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
A
C
a
e1
e1
OB
A' e2
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
C
a B' e2
A
e1
e1
OB
A' e2
(3) 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
M
e2
B
C
M
a
A
e1
a
O
C'
e2B
N
平面向量基本定理：
平面向量基本定理：
如果 e1, e2是同一平面内两个不共线的 向量，那么对这一平面内任意一个向量 a,
有且只有一对实数1, 2 , 使 a 1e1 2 e2 .
平面向量基本定理：
如果 e1, e2是同一平面内两个不共线的 向量，那么对这一平面内任意一个向量 a,