梁横向振动的近似解法
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l p(x, t)ψi (x)dx 0
。此处在数值实现时，用到离散点上的数
值积分技术。 3、 计算刚度、质量矩阵的 ij 分量，组装矩阵。当由附加质量或弹性支承时，从动 能及势能角度理解 kij，mij 的计算公式，往其中添加附加项。 l 1 l Umax = EJ(Y ′′ )2 dx ，kij = EJψi ′′ ψj ′′ dx 2 0 0 Tmax = ω2 2
瑞利里兹法
对于横向位移： y(x, t) = Y(x)bsin(t + ) 假设振型函数 Y(x)为一系列(n 个)基础函数的线性组合：
n
Y x =
i=1
ai ψi (x)
(4)
代入(3)式，并取变分等于 0。得到 ������ − ω2 ������ ������ = 0 (5) 将无限多自由度系统转换为 n 自由度系统。由(4)式的的矩阵特征值问题可以解出 n 个特征 值及相应的特征向量������������ ，由 n 个特征向量，每个向量有 n 个分量。每一个特征向量中的 n 各分量代入(5)式可以确定一个主振型。 应用： 1、 确定基础函数，假设得来，或其他途径。 2、 计算刚度、质量矩阵的 ij 分量，组装矩阵。当由附加质量或弹性支承时，从动 能及势能角度理解 kij，mij 的计算公式，往其中添加附加项。 3、 计算(5)式。先后得到频率和特征向量。 4、 特征向量代入(4)式计算主振型。
梁横向振动的近似解法
弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。 从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近 似解容易。精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。 一方程的建立 假设： 梁的各截面中心主惯性轴在同一平面， 外载也在同一平面， 梁在该平面内的横向振动引 起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。 ∂2 ∂2 y EJ ∂x 2 ∂x 2 ∂2 y ∂ = p x, t − m x, t 2 ∂t ∂x
固有频率的变分式
命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值 2 及相应的特征函数 Y(x) 等价于下 列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件 P389。 ω = st
2 l EJ(Y′′ )2 dx 0 l ρAY 2 dx 0
(3)
证明： 1，(3)式各驻值及相应的函数 Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。 驻值时，一阶变分等于 0，(ω2 )=0 展开后，得到三个 item 相加得 0：
l 0 l 0 l
ρAψi ψj dx dx
，mij =
0
EJψi ′′ ψj ′′ dx
4、 求解常微分方程(5)，得到广义坐标。代入(4)可得挠度。
Galerkin 法
瑞利里兹法由泛函表达式出发，伽辽金法由泛函的变分式(*)出发。并且认为由于近似 的主振型导致第一项不等于 0 等价于梁上存在某种分布载荷， 且这种载荷在全梁上作的 虚功等于 0。伽辽金法中，Y(x)假设为：
+ ρA
(1)
p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。 假设： y(x, t) = Y(x)bsin(t + ) 代入(1)式的齐次形式，有： (EJY ′′ )′′ − 2 ρAY = 0 上式改写成： (EJY ′′ i )′′ = 2 ρAYi 上式两边同时乘以Yi 并在全梁上积分，i，j 互换得到两个式子并相减等于 0 可以得到主振型 的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率 p378。 (2)
n
Y x =
i=1
ai ψi (x)
由于伽辽金法基于(*)第一项的处理，要求基础函数同时满足位移边界条件和力边界条 件。瑞利里兹法中的基础函数仅要求满足位移边界条件。 经过一系列步骤。可以得到矩阵特征值问题： R − ω2 ������ ������ = 0 可得主振型和固有频率 伽辽金法直接有振动微分方程出发，不仅适用于保守系统，还适用于非保守系统。
l 0
EJY ′′
′′
− 2 ρAY Ydx − EJY ′′
′
Y︱0 + EJY ′′ Y ‘ ︱wk.baidu.com = 0 (∗)
l
l
由 Y 的任意性，第一个 item 等于 0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到 Y(x)的边 界条件。 2，(3)式加(2)式后反过来可以得到 (ω2 )=0。 从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。 另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。并且(3)式化成非分母形式时，说明的正式 机械能守恒。即第 i 阶振型的最大动能等于最大势能。
假设模态法：
瑞利-里兹法将振型函数展开，而假设模态法将挠度展开：
n
y x，t =
i=1
ψi (x)ηi (t)
(4)
ψi (x)为假设模态，ηi (t)为相应的广义坐标。 假设没有集中质量及弹性支承的情况下，先求动能、势能、广义力。再代入拉格朗日方 程。将弹性体的强迫振动转换为 n 自由度系统的强迫振动问题。 ������η + ������η = ������ t (5) 此常微分方程的特征值问题与瑞利里兹法的一致。 应用： 1、 确定假设模态，假设得来，或其他途径，比如 ANSYS 2、 求广义力，Qi t =
。此处在数值实现时，用到离散点上的数
值积分技术。 3、 计算刚度、质量矩阵的 ij 分量，组装矩阵。当由附加质量或弹性支承时，从动 能及势能角度理解 kij，mij 的计算公式，往其中添加附加项。 l 1 l Umax = EJ(Y ′′ )2 dx ，kij = EJψi ′′ ψj ′′ dx 2 0 0 Tmax = ω2 2
瑞利里兹法
对于横向位移： y(x, t) = Y(x)bsin(t + ) 假设振型函数 Y(x)为一系列(n 个)基础函数的线性组合：
n
Y x =
i=1
ai ψi (x)
(4)
代入(3)式，并取变分等于 0。得到 ������ − ω2 ������ ������ = 0 (5) 将无限多自由度系统转换为 n 自由度系统。由(4)式的的矩阵特征值问题可以解出 n 个特征 值及相应的特征向量������������ ，由 n 个特征向量，每个向量有 n 个分量。每一个特征向量中的 n 各分量代入(5)式可以确定一个主振型。 应用： 1、 确定基础函数，假设得来，或其他途径。 2、 计算刚度、质量矩阵的 ij 分量，组装矩阵。当由附加质量或弹性支承时，从动 能及势能角度理解 kij，mij 的计算公式，往其中添加附加项。 3、 计算(5)式。先后得到频率和特征向量。 4、 特征向量代入(4)式计算主振型。
梁横向振动的近似解法
弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。 从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近 似解容易。精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。 一方程的建立 假设： 梁的各截面中心主惯性轴在同一平面， 外载也在同一平面， 梁在该平面内的横向振动引 起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。 ∂2 ∂2 y EJ ∂x 2 ∂x 2 ∂2 y ∂ = p x, t − m x, t 2 ∂t ∂x
固有频率的变分式
命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值 2 及相应的特征函数 Y(x) 等价于下 列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件 P389。 ω = st
2 l EJ(Y′′ )2 dx 0 l ρAY 2 dx 0
(3)
证明： 1，(3)式各驻值及相应的函数 Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。 驻值时，一阶变分等于 0，(ω2 )=0 展开后，得到三个 item 相加得 0：
l 0 l 0 l
ρAψi ψj dx dx
，mij =
0
EJψi ′′ ψj ′′ dx
4、 求解常微分方程(5)，得到广义坐标。代入(4)可得挠度。
Galerkin 法
瑞利里兹法由泛函表达式出发，伽辽金法由泛函的变分式(*)出发。并且认为由于近似 的主振型导致第一项不等于 0 等价于梁上存在某种分布载荷， 且这种载荷在全梁上作的 虚功等于 0。伽辽金法中，Y(x)假设为：
+ ρA
(1)
p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。 假设： y(x, t) = Y(x)bsin(t + ) 代入(1)式的齐次形式，有： (EJY ′′ )′′ − 2 ρAY = 0 上式改写成： (EJY ′′ i )′′ = 2 ρAYi 上式两边同时乘以Yi 并在全梁上积分，i，j 互换得到两个式子并相减等于 0 可以得到主振型 的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率 p378。 (2)
n
Y x =
i=1
ai ψi (x)
由于伽辽金法基于(*)第一项的处理，要求基础函数同时满足位移边界条件和力边界条 件。瑞利里兹法中的基础函数仅要求满足位移边界条件。 经过一系列步骤。可以得到矩阵特征值问题： R − ω2 ������ ������ = 0 可得主振型和固有频率 伽辽金法直接有振动微分方程出发，不仅适用于保守系统，还适用于非保守系统。
l 0
EJY ′′
′′
− 2 ρAY Ydx − EJY ′′
′
Y︱0 + EJY ′′ Y ‘ ︱wk.baidu.com = 0 (∗)
l
l
由 Y 的任意性，第一个 item 等于 0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到 Y(x)的边 界条件。 2，(3)式加(2)式后反过来可以得到 (ω2 )=0。 从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。 另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。并且(3)式化成非分母形式时，说明的正式 机械能守恒。即第 i 阶振型的最大动能等于最大势能。
假设模态法：
瑞利-里兹法将振型函数展开，而假设模态法将挠度展开：
n
y x，t =
i=1
ψi (x)ηi (t)
(4)
ψi (x)为假设模态，ηi (t)为相应的广义坐标。 假设没有集中质量及弹性支承的情况下，先求动能、势能、广义力。再代入拉格朗日方 程。将弹性体的强迫振动转换为 n 自由度系统的强迫振动问题。 ������η + ������η = ������ t (5) 此常微分方程的特征值问题与瑞利里兹法的一致。 应用： 1、 确定假设模态，假设得来，或其他途径，比如 ANSYS 2、 求广义力，Qi t =