一阶线性微分方程及其解法

y′ = u′( x)e
∫ P( x)dx
+ u( x)e
∫ P( x)dx
(P( x))
将 y, y′ 代入原方程有
[u′( x)e
∫ P( x)dx
+ u( x)e
∫ P( x)dx
(P( x))] + P( x)u( x)e
∫ P( x)dx
= Q( x)
即 u′( x)e
∫ P( x)dx
= Q( x)
y=
1 ∫ dx e x
=e
ln x
(∫ x
x2 e ∫
2
∫
1 dx x dx
+C
e
ln x
dx + C
)
1 = ∫ x 3 dx + C x 1 3 C = x + 4 x
(
)
. 求 x2dy + (2xy x + 1)dx = 0 满足 y x=1 = 0 的特解 例4
解
dy 2 x 1 , 其中 + y= 原方程变形为 2 dx x x 2 x 1 P ( x ) = , Q( x ) = 则通解为 2 x x
∫ P( x)dx + C) (∫ Q( x)e
dy + P( x) y = Q( x) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
当 分方程。 分方程。 当
(1)
方程（ ）称为一阶线性齐次 齐次微 Q ( x ) ≡ 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
方程（ ）称为一阶线性非齐次 Q ( x ) ≠ 0 时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。 微分方程。
y =e ∫
= Ce
P( x)dx
∫ P( x)dxdx + C] [∫ Q( x)e
+e
∫ P( x)dx
∫ P( x)dx
∫ P( x)dxdx ∫ Q( x)e
非齐次 的特解
齐次的 通解
4）常Baidu Nhomakorabea变易法 ） ∫ P( x)dx 为非齐次线性方程的解， 为非齐次线性方程的解，则 设 y = u( x)e
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 应用微分方程解决实际问题的步骤 1. 分析问题 设出所求未知函数,确定初始条件。 分析问题,设出所求未知函数 确定初始条件 设出所求未知函数 确定初始条件。 2. 建立微分方程。 建立微分方程。 3. 确定方程类型 求其通解. 确定方程类型,求其通解 求其通解 4. 代入初始条件求特解. 代入初始条件求特解
t
的函数关系。 的函数关系。
设速度与时间的函数关系为： 解 设速度与时间的函数关系为： v
= v (t ) ,
则依题有 v t = 0 = 0 , 由牛顿第二定律知： 由牛顿第二定律知：
mg kv = ma = m v ′ k k v ′ + v = g 其中 P ( t ) = , Q( t ) = g 即 m m k k ∫ dt ∫ m dt 则通解为= e m ∫ g e v dt + C
例5 求过原点平且在点 x,y) 处的切线斜率等于 (
3x + y 的曲线方程。 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 y = f ( x ) , 则依题有 y =0, x =0 从而 即 y′ y = 3 x 则通解为 y = e
y′ = 3 x + y
其中 P ( x ) = 1 ,
∫ dx
y = Ce
∫ P( x)dx
例2 解
2 . 求 y′ y = 0 的通解 x
2 P( x) = 则通解 x
y = Ce
=
∫ P( x)dx
2 ∫ dx Ce x
= Ce = Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 ） dy + P ( x ) y = Q( x ) 1）一般式 ） dx 2）解法 常数变易法 ） 3）通解公式 ）
§6.2 一阶线性微分方程
一、 一阶线性微分方程及其解法 二、 一阶线性微分方程的简单应用 三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中， 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一阶线性微分方程。 则称其为一阶线性微分方程。 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： 例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
∫ P( x)dx u′( x) = Q( x)e
∫ P( x)dxdx + C u( x) = ∫ Q( x)e
通解
y =e ∫
P( x)dx
∫ P( x)dxdx + C] [∫ Q( x)e
例3 解
1 ′ + y = x2 的通解 . 求 y x
1 P( x) = , x
Q( x ) = x 2 , 则通解为
4.
一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程 ） dy + P( x) y = 0 1）一般式 ） dx
分离变量 2）解法 分离变量法 两边积分 ） 通解 1 dy = P( x)dx y ln y = ∫ P( x)dx + ln C
P( x)dx y = Ce ∫
3）通解公式 ）
Q( x ) = 3 x
= e x 3 ∫ xe x dx + C
= ex
x
( ( 3∫ xde
∫ dx dx + C ∫ 3x e
) + C)
= e x 3( xe x ∫ e x dx ) + C
= ex =e
x x x
( ( 3( xe ( 3( xe
+ ex ) + C +e
=
k t e m
∫
k t g e m dt
+C =
k t e m
m g ∫ k
k t m
k t d (e m
)+C
=
k t e m (g
m k
k t m e
mg + Ce + C) = k
由 v t =0 = 0 得
mg c= k
k t m
因此所求速度与时间的函数关系为
y=
2 ∫ dx e x
∫
x 1 x
2
e
∫
2 dx x dx
=e
2 ln x
(∫ ( x 1)dx + C )
+C
1 1 C 1 x2 = 2 x +C = + 2 2 x x x 2
1 , x =1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
=0得 C =
1 1 1 y= + 2 x 2x2
mg v= (1 e k
)
三、小结 1. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 ） （2）通解公式 ）
dy + P( x) y = 0 dx
y = Ce
∫ P( x)dx
2. 一阶线性非齐次微分方程
（1）一般式 ） （2）通解公式 ）
dy + P( x) y = Q( x) dx
y=e
∫ P( x)dx
x
) ) + C)
)
= 3( x + 1) + Ce x
由 y x =0 = 0 得
因此所求曲线方程为
C = 3,
y = 3(e x x 1)
例6 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落 的速度成正比(比例系数 起跳时的速度为0， 的速度成正比 比例系数 k > 0) ，起跳时的速度为 ， 求下落的速度与时间
′ + 2y = x2 (1) 3 y
( 3) y ′ = y + x
2 2
( 2) ( y ′ ) 3 + xy = sin( 2 x + 1)
dy 1 2 ( 4) y = sin x dx x
(6) y ′ + x sin y = x 2 + 1
(5) y y ′ + y = x
解 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的. ）、（4 是一阶线性的，其余的是非线性的 2. 一阶线性微分方程的一般式