8《数学物理方法》第八讲留数

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数学物理方法-留数

2
2
sin ei ei 1 z z1 2i 2i
2. 把原积分变成：
２ R(cos,sin ) d f (z) d z
０
|z|1
2 i f (z)在单位元内孤立奇点的留数之和
5.2 利用留数定理计算实函数积分
１
2 i
C
f
( z )dz

Resf
()
C
１
n
2 i C f (z)dz k1 Resf (bk )
x
二者相加，并注意到右边两个积分的围道的方向
相反，其和为零，得到右边所有有限孤立奇点和
无穷远点的留数之和为0。
5.1 留数及其留数定理
6.所有奇点留数之和：应用
例题：求积分
1
zk

e2 ki/4

i 1
i
k 0 k 1 k 2 k 3
都是一阶极点，且都在 z 2内。
y | z | 2
x
例题
5.1 留数及其留数定理
例4
ez
计算积分 |z|2 z(z 1)2 dz
5.2 利用留数定理计算实函数积分
5.2 利用留数定理计算实函数积分
2.留数定理:证明
如图，在每个孤立奇点bk，以bk为中心，做一个小圆 k ,使得每个 k中只包含一个孤立奇点bk。则根据多联通区域的柯西积分公式
有
m
C
f
z dz
k 1 k
f
z dz
其中
也是逆时针方向的。
k
将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数

f
因此

数学物理方法留数定理实积分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

z0 为 Q(z) 旳一级极点.
11
所以 1 = 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) = 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
所以 z0 为 f (z) 旳一级极点,
Res[
f
(z), z0] =
平面上包括回路旳一种区域中，而实积提成为回路
积分旳一部分：
l2
a 0 l1 b
b
f (z)dz = f ( x)dx + f (z)dz
l a
l2
左边能够利用留数定理，右边对l2 旳积分在解析延拓
允许旳情况下，能够自由选择，一般选择l2 使积分最
易完毕。
29
一、形如
2π
0
R(cos
,
sin
)d
孤立奇点, 那么 f (z) 在全部旳奇点 (涉及点)
旳留数旳总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
.zk .
. C (绕原点旳并将 zk包括在 . 内部旳正向简朴闭曲线)
由留数定义有:
n
Res[ f (z),] + Res[ f (z), zk ]
k =1
1
1
=
f
2i C 1
( z )dz
+
2i
C
留数定理旳主要应用之一：计算某些实变函数定积分
原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联络起来。
留数定理是复变函数旳定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓旳概念。
28
b
如图，对于实积分 f ( x)dx，变量 x 定义在闭区间 a

留数定理及其应用

式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式为 f (z) = e1/z = 1 + 1/z + . . . + 1/n!zn + . . .，故 Res f (0) =
n=−∞
则
cn
=
1 2πi
Γρ
(z
f (z) − a)n+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γρ
与式 (1) 比较，即得
Res f (a) = c−1.
(2)
由此可知，可去奇点处的留数为 0．注有些书上直接用式 (2) 作为留数的定义，这与式 (1) 的定义显然是等价的．
数的问题．由上节可以看到，计算极点的留数主要涉及微分运算．对于本性奇点，必须作
Laurent 展开来计算其留数．作 Laurent 展开，通常归结为 Taylor 展开，而计算 Taylor 展
开式的系数也是微分运算问题．所以可以说，留数定理把积分运算转化成了比较容易的微分
运算，因此它为积分的计算提供了一项非常有用的技术．
§3 用留数定理计算围线积分
4
推论一（单极点的留数，第一公式）若 a 是 f (z) 的单极点，则
Res f (a) = [(z − a)f (z)]|z=a.
(5)
推论二（二阶极点的留数）若 a 是 f (z) 的二阶极点，则
Res f (a) = [(z − a)2f (z)] |z=a.

留数的应用

i 2 5 5 2 iRes[ f ( z ), ] 2 i 3 i 256 64
2. 形如 R( x)d x的积分当被积函数 R(x)是 x 的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
不失一般性, 设 z n a1 z n 1 an R( z ) m ,m n 2 m 1 z b1 z bm
y
z3 CR

z2
为一已约分式. O R x R 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.
此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.
y CR z2
R
O
z3 z1
可以证明
R x
C Rz e
R
iaz
dz 0.
R
因此
也可写为

-
2 π i Res[ R( z )eiaz , zk ] R x e dx
iax

2 π i Res[ R ( z )e aiz , zk ] A iB
例3
计算

1 2 5 3 sin
2 0
2
0
d
解： q 令 2
2 令z e i
iq
2
5 3 sinq
1
2
dq
z z 1 (3z i) 2 ( z 3i) 2 dz
i 被积函数在 z 1 内只有一个二阶极点：z 3
1 2 dq 1 I 2 0 1 cos q 2

留数的计算

在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 定理二如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在所有各奇点(包括的留数总和必等于零. 那末 f (z)在所有各奇点包括∞点)的留数总和必等于零在所有各奇点包括∞ 的留数总和必等于零证：除∞点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有
1. 留数的计算规则规则1 规则如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z)
z→z0
规则2 规则如果z0为f(z)的m级极点, 则 1 dm−1 Res[ f (z), z0 ] = lim m−1 {(z − z0 )m f (z)} (m −1)! z→z0 d z 事实上, 由于 f (z)=c−m(z−z0)−m+...+c−2(z−z0)−2+c−1(z−z0)−1+c0+c1(z−z0)+..., (z−z0)m f (z)=c−m+c−m+1(z−z0)+...+c−1(z−z0)m−1+c0(z−z0)m+...,
根据规则1,Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z),而 Q(z0)=0.
z→z0
P( z0 ) P(z) 所 lim(z − z0 ) f (z) = lim 以 , = z→z0 z→z0 Q(z) − Q(z ) Q′( z0 ) 0 z − z0 即得规则规则3。
⇒ Ι = −2π i

数学物理方法留数定理及其应用

1 dx , cosh x 1 dx 3 cosh x
对于条件(1)

奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节应用留数定理计算实函数的积分
计算积分设 f ( z)

1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R

0
O
R
R

eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节应用留数定理计算实函数的积分
计算积分设 f ( z)

eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0

z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数

留数

所以
例2 计算积分 [解] 被积函数都在圆周|z|=2内，所以
，C为正向圆周|z|=2。有四个一级极点
由规则III，
，故
例3 计算积分
，C为正向圆周|z|=2。
[解] z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而
所以
例
3.在无穷远点的留数
设函数 f (z)在圆环域 R<|z|<+ 内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分
46

CR

R( x)dx
C 1 C dz C 2 R 0 2 z R R
R( z )dz
CR
从而
如果R(x)为偶函数，
47
例2 计算积分 [解] 这里
的值. ，并且实轴上R(z)没有
孤立奇点，因此积分是存在的。函数
的一级极点为
，其中ai与bi在上半平面内。由于
例4 计算积分
的值。
y
令x=－t，则有
R r O
CR
r
Rx
所以
即
例4 计算积分
的值。
因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限
与
下面将证明
由于
其中
解析.
i
0
61
例4 计算积分
的值。
所以可得
即
这个积分在研究阻尼振动中有用。
例计算泊松积分(Possion) [解]：记
则
所以另外所以
2
洛朗级数的应用 —— 计算积分在洛朗级数的系数公式
中取
时，有
c1
2 i
1
C
f ( z )dz

留数

注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。
(非也!)
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
三、留数定理
定理设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P113 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续，则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
k 1
n
z1
C
c1
D
c2 z 2
…
证明如图，将孤立奇点用含于 D 内且互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有
zn c1
C
f (z) d z
c k 1
n
k
f ( z ) dz 2π i Res [ f ( z ) , z k ] .
sin z 1 2 sin z lim Res [ f 2 ( z ) , 0 ] lim z 3 z 0 z 0 4 z 1! 4z
z cos z sin z sin z lim lim ( 罗比达法则 ) 0. 2 z 0 z 0 8 4z
§5.2 留数
一、留数的概念二、留数的计算方法三、留数定理四、函数在无穷远点的留数
1
一、留数的概念
定义设 z0 为函数 f ( z ) 的孤立奇点，将 f ( z ) 在 z0 的去心邻域
P112 定义 5.4
内展开成洛朗级数：
a 1 a0 a1 ( z z0 ) , f ( z ) a n ( z z0 ) z z0 n

数学物理方法留数定理

[( z z 0 ) P( z )]' P( z 0 ) = lim = . z z0 Q( z )' Q( z 0 )
12
三、在无穷远点的留数
1.定义设函数 f (z )在圆环域 R z +内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
1 则称此定值那末积分 1 f ( z)dz 的值与C无关， 2 i C
1 z z = 6[ + L], z 3! 5!
1 z sin z Res ,0 = c1 = . 6 5! z
3
5
19
说明:在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开罗朗级数求 c1 来计算留数 .
23
z dz , C为正向圆周: z = 2 . 例5 计算积分 4 z 1 C z 在 z = 2 的外部, 除点外没有解函数 4 z 1
其他奇点. z z 4 1 dz = 2iRes f ( z ), C
z z 1
4
=z
3
1 1 1 4 z
=z
3
+ a0 ( z z0 )m + a1 ( z z0 )m +1 + L
9
两边求 m 1 阶导数,
d m 1 m 得 m 1 [( z z0 ) f ( z )] dz
= ( m 1)!a1 +(含有 z z0 正幂的项) d lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] = ( m 1)!a1 , z z0 dz 所以 Res[ f ( z ), z0 ] = a1

留数

[证] 因为 Qz0 0, Qz0 0, 所以z 为Q(z)的一级零点， 0
P z 1 g z 其中 z 在 zo点解析，且 zo 0。由此得 f z Q z z z0
其中gz z Pz 在 zo解析，且 gz0 z0 P z0 0
5!c1 6 52c0 z 因此

1 d5 6 1 d 5 6 z sin z 1 5 c1 lim 5 z f z lim 5 z lim z sin z 6 5! z 0 dz 5! z 0 dz z 5! z 0
n C k 1
Cn
C zn
z2 C 2
D
z1
C1
z3
C3
f z dz 2 i Re s f z , z k
[证 ]
f z dz f z dz f z dz f z dz
C C1 C2 Cn
把在C内的孤立奇点 zk k 1,2,, n 用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来，那末根据复合闭路定理有
2 i Re s f z , z1 2 i Re s f z , z2 2 i Re s f z , zn
2 i Re s f z , z k
n k 1
利用留数定理,求沿封闭曲线C的积分,就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。一般来说,求函数在孤立奇点z0处的留数只需求出函数在以z0为中心的圆环域内的洛朗级数,从而得到负一次项的系数C-1即可。为此,最好先判断孤立奇点z0的类型。如果z0是可去奇点,那末一定有
法三:虽然z=0不是f(z)的六级极点,但也可按六级极点计算留数. 如果设

数学物理方法权威讲解(留数定理)

§5.2 留数
一、留数的引入二、留数定理及留数的求法
三、无穷远点的留数
一、有限远处孤立奇点的留数
1、引入
设 z 0 为 f (z ) 的一个孤立奇点，f (z )
在z0的某去心邻域 z z0 R内解析，C 0
.z
0
C为该邻域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线．
f (z ) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数为:

c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 )
( z z0 )m f ( z ) cm cm 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1
c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1
f ( z ) c n ( z z0 ) n c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n
积分 f ( z )dz
C
c n ( z z0 ) n dz c1 ( z z0 )1 dz
三、无穷远点的留数
1.定义如果函数f ( z )在无穷远点z 的去心邻域
R z 内解析, 则可将f ( z )在R z 内展成洛朗级数，令f ( z )= cn z
n n
则定义 f ( z ) 在 z 的留数为： 1 Res[f ( z ), ]= f ( z)dz = c1 2 i C
2、定义
f ( z) 在 z0 处的留数为：
1 Res[f ( z ), z0 ]= f ( z)dz =c1 2 i C
C为 z0 的去心邻域 0 z z0 内包围z0的任意一条正向简单闭曲线.

留数定理的计算及应用

留数及其应用摘要留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词留数定理；留数计算；应用引言对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理）设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．（1）证明以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=．推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-，则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-，则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数．解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数．解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。

§1留数定理

=
nπ
+
π 2
是
1 cos
z
的单极点。
由推论 1：
Re s
1
=
lim
z
−
1 2
(2n
+ 1) π
洛毕达法则
=−
lim
1 = ( ) −1 n+1 。
( ) cos 1 2n +1 π
z→ 1 (2n+1)π
2
cos z
z→1(2n s
1
=1
=− 1
= ( ) −1 n+1 。
域 0 < z − z0 < R 内，将 f ( z) 作罗朗展开
f (z) =
+
(z
a−2
− z0 )2
+
a−1 z − z0
+
a0
+
a1
(z
−
z0
)
+
a2
(z
−
z0
)2
+
，将 f ( z) 沿着完全在
0 < z − z0 < R 内且包围 z0 的围线 l 的积分，得 ∫l f ( z) dz = a−12π i ，
∫lk f ( z) dz = 2π i Re sf ( zk ) ，
n
∴
∫l
f
( z) dz
=
2π i∑ Re sf k =1
( zk
)
（留数定理）
复变函数的围线积分等于被积函数在围线所围区域内各孤立奇点处的留数
之和的 2πi 倍。以上的留数均是对有限远的奇点而言的，对于无穷远点处也可同样定义它

留数

chz 0 e e
z
z
z k i(k 0,1,2,...) 2 仅z i在 | z | 2内 2
Re s[ f ( z ),
2
0, e 2 z 1

2
shz i]
z i 2

1
(chz )
z i 2

例5
z 计算 dz | z| 2 sin z
(1)
C为在z0解析的去心邻域内绕0的正向简单闭曲线 z
e 例求在0点的留数. z
z z n1 e z 1 z n z n1 1 1 z n0 n! n0 n! z 2! n! z
Res [f (z), 0]=1
z
2. 留数定理
定理
设f ( z )在区域D内除有限个孤立奇点 1 , z2 ,, zn外处处解析 z , C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线则有 ,
z z0
规则II
若z0是f ( z )的m级极点
1 d m1 m Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) z z0 dzm 1 (m 1)!

注：
当m=1时，规则（I)即为规则(II).
P( z ) P( z ), Q( z )在z0处解析, 规则III 设f ( z ) Q( z ) P( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0 P( z0 ) z0是f ( z )的一级极点, 且 Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z0 ) 证明： Q( z 0 ) 0及Q' ( z 0 ) 0

留数——精选推荐

留数5. 留数⽬录⾸先说明⼀下为什么会有留数？对于图中的这样⼀个积分路径，由于内部区域不完全解析。

所以根据柯西积分定理，我们可以将其转化为下图的积分路径：当通往奇点的两条路线⽆限接近时，就可以得到下图：即对于⼤回路的积分等于对所有奇点的路径的积分之和的相反数。

即：∮L=∮L−1+L−2+L−3所以问题变成了如何求对于奇点的路径的积分∮L f(z)dz由上⼀章的洛朗级数知，洛朗级数在幂次为-1项的系数为c−1=12πi∮Cf(ζ)(ζ−z0)−1+1dζ=12πi∮C f(ζ)dζ由于这个系数很有⽤，所以专门称复变函数在某⼀点的洛朗级数展开式的幂次为-1的项的系数为留数。

记作Res[f(z),z0]所以就可以提前给出留数定理，对于正向闭合路径C，如果其所围区域内除了有限个孤⽴奇点z1,z2,⋯,z k 外处处解析，则有∮C f(z)dz=2πin∑k=1Res[f(z),z k]所以留数定理本质上是对于柯西积分定理的应⽤。

5.1 孤⽴奇点5.1.1 解析函数的孤⽴奇点及分类若函数f(z)在z0的邻域内除z0外处处解析，则称z0为f(z)的⼀个孤⽴奇点。

根据洛朗级数的定理，我们可以将f(z)展开成洛朗级数f(z)=⋯+a−m(z−z0)−m+⋯+a0+a1(z−z0)+⋯+a n(z−z0)n,z∈D如果上式中的负幂项系数均为零，若记剩下的幂级数的和函数为F(z)，则F(z)是在z0处解析的函数。

且当z∈D时，F(z)=f(z)，当z=z0时，F(z)=a0。

于是令f(z0)=a0，所以f(z)在z0处就是解析的了，所以点z0被称为可去奇点。

如果上式只有有限个(z−z0)的负幂项的系数不为零，那么孤⽴奇点z0称为函数f(z)的极点。

如果负幂项的最⾼次幂为(z−z0)−m，则称z0为函数f(z)的m阶极点。

如果(z−z0)的负幂项系数有⽆穷多个不为零，那么孤⽴奇点z0称之为f(z)的本性奇点。

5.1.2 解析函数在有限孤⽴奇点的性质定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的可去奇点的充要条件为：存在着有限极限lim z→zf(z).定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的极点的充要条件为：lim z→zf(z)=∞.定理：设函数f(z)在0<|z−z0|<δ内解析，则z0是f(z)的本性奇点的充要条件为：不存在有限或⽆穷的极限lim z →z 0f (z ).如e 1z在z=0处为本性奇点，因为其展开成洛朗级数后有⽆穷多个负幂项不为05.1.3 函数的零点与极点的关系设函数f(z)在z 0的邻域N (z 0,δ)={z :|z −z 0|<δ}内解析，并且f (z 0)=0，则点z 0称为f(z)的⼀个零点。

留数及留数定理

22
e Re s [ f 2 ( z ), i ] lim[(z i ) 2 2 ] z i z ( z 1) e sin z 1 sin(-i) - i -ish1 lim[ 2 ] e e z i z ( z i ) 2i 2
最后由留数定理得其积分值为
sin z
4
积分 f ( z )dz
c n ( z z 0 ) n d z c 1 ( z z 0 ) 1 d z
C C
C
0 (高阶导数公式)
C C C
2i
c0dz c1 ( z z0 )dz cn ( z z0 )n dz
mn
1 dm-1 Res f(z), z 0 = lim m-1 [(z - z 0 )m f(z)] (m -1)! z z0 dz ( z) 由于f(z)= ，由高阶导数定理可得 n (z z 0 )
(n-1)
有
φ (z0 ) 1 φ(z) Res[ f(z), z0 ] = dz = n 2πi C (z - z 0 ) (n - 1)!
3.求c1
1
留数和留数定理
一Δ、留数的定义和计算二、留数定理三*、函数在无穷远点的留数
2
Байду номын сангаас
一Δ 、留数的定义和计算
设 z 0 为 f ( z ) 的一个孤立奇点;
C
.z
0
z0 的某去心邻域 0 z z0 R
包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
定义若f(z)在z0的去心邻域0<|z-z0 |<R内解析
1 d 1 z Re s [ f1 ( z ),0] lim 4 (e 1) 4! z 0 dz 4!