8《数学物理方法》第八讲留数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
------《数学物理方法》第八讲------
4.如何求留数? 单极点的求法和判定: 判定
z z0
求法
lim [( z z 0 ) f ( z )]
非零有限值
Re sf ( z 0 ) lim ( z z 0 ) f ( z )
z z0
m阶极点的求法和判定:
Re sf ( z 0 )
的回路积分
1
0 1
z 1
z
2
2z
------《数学物理方法》第八讲------
作业:P71第一大题1,2,6 第二大题的第2小题
Class is Over!
Thank
you!Байду номын сангаас
------《数学物理方法》第八讲------
例
题
例1. 求 f ( z ) 例2. 确定函数
z 1
n
1
1
在z0=1的留数. 的极点,求出函数在这些极点的留数.
5 3
f (z)
sin z
例3.确定函数 点的留数.
f ( z ) ( z 2 i ) /( z 4 z ) 的极点,并求出函数在这些极
例4.计算沿单位圆
z 1
l
1
2
n
于是我们得到留数定理: 设 f ( z ) 在回路 l 所包围的区域B上除有限个孤立奇点 b1 , b 2 , , b n 外解析,在闭区域 B 上除 b1 , b 2 , , b n 外连续,则:
l
f ( z ) dz 2 i Re sf ( b i )
i 1
n
留数定理就是将回路积分表示为被积函数在回路所围区域上各 奇点的留数之和.
P(z0 ) Q '(z0 )
f (z)
P(z) Q (z)
判定
z z0
lim [( z z 0 )
m
f ( z )]
非零有限值
求法
d Re sf ( z 0 ) lim ( m 1 )! z z 0 1
m 1
( z
dz
z0 )
m 1
m
f (z)
f ( z ) dz 0
单通区域上 复通区域上
f ( z ) dz
1
l
f ( z ) dz 0
li
留数: 洛朗级数中 ( z z
0
)
的系数
------《数学物理方法》第八讲------
对于某一洛朗级数
f (z)
k
ak (z z0 )
k
任意小正数 为半径的圆l 0 , 该圆与区域外境界线 l 共同构成洛朗级数的解 析区域.
1.解析延拓 2.孤立奇点的分类
孤立奇点 z 0 : f ( z ) 在 z 0 可导,但在其邻域内不可导,则称 z 0 为 f ( z ) 的孤立奇点 解析(正则)部分和主要部分:在孤立奇点 z 0 的邻域内展开的洛朗级数中,正幂部 分 叫 解 析 (正则 )部 分 ;负幂 部 分 叫 主要 (无 限 )部分 .特 别 将其中 的 负 一次幂
z 0 一定为 f ( z )的一个奇点,因而, f ( z ) 在 z 0 点不解析.作一个以 z 0 为圆心,以
利用柯西定理:
f ( z ) dz
l
f ( z ) dz
l0
l0
a k ( z z 0 ) dz
k
k
ak
k
l0
( z z 0 ) dz
------《数学物理方法》第八讲------
5.求极点留数的步骤 1).将 f ( z ) 写成 Q ( z ) 的形式;
P(z)
2).在复数范围内对 Q ( z ) 分解因式,使 Q ( z ) 0 的点 就是奇点;
3).若使 Q ( z ) 0的奇点构成一次式,则该极点称 为单极点,否则,成为m阶极点. 4).单极点,其留数为:
l2
f ( z ) dz
ln
把 f ( z ) 分别展开为以 b , b , , b 为中心的洛朗级数再代入上式逐项 积分得: f ( z ) dz [ 2 i Re sf ( b ) 2 i Re sf ( b ) 2 i Re sf ( b )]
1 2 n
(z z0 )
1
的系数 a 1 叫做留数.
按 z 0 邻域展开的洛朗级数中负幂项(主要部分)的有无,是有限项或是无限项可 以对孤立奇点进行分类:
可去奇点 极点 本性奇点
------《数学物理方法》第八讲------
3.留数定理 复习:
幂级数在收敛圆内解析
R
比值判别法
定理 设 f ( z ) 在 z 0 为圆心的圆 C 内解析，则对圆内的任意 z点 f ( z ) 可以展为幂级数。
Re sf ( z 0 ) lim ( z z 0 ) f ( z )
z z0
M阶极点,其留数为:
d Re sf ( z 0 ) lim ( m 1 )! z z 0 1
m 1
( z z
dz
0
)
m
m 1
f (z)
------《数学物理方法》第八讲------
------《数学物理方法》第八讲------
如果 l 包围着 f ( z ) 的n个孤立奇点b1,b2,…, bn,则需要做n个回路
l1 , l 2 , , l n
分别紧紧包围b1,b2,…, bn,按照柯西定理:
f ( z ) dz
l
f ( z ) dz
l1
f ( z )dz
k
所以
2 ia 1
2 i = 只有当k取-1时积分才不为0
f ( z0 )
即为 f ( z ) 在 z 0 点的留数 记为 Re s
l
f ( z ) dz 2 i Re sf ( z 0 )
以上讨论的是 f ( z ) 在区域境界线内只有一个奇点的情况,如果有N 个奇点又该如何处理?
f (z)
k 0
ak ( z z0 )
k
其中：
ak
1 2 i
f ( )
1
CR
( z 0 )
d k 1
f
(k )
( z0 )
k!
以z0为中心的泰勒级数 泰勒级数中的k取非负值,如果k取负数(或者说存在负幂项)的级数称为洛朗 级数.洛朗级数在某个收敛环内解析.
在解析区域,就可以用柯西定理,即 l
4.如何求留数? 单极点的求法和判定: 判定
z z0
求法
lim [( z z 0 ) f ( z )]
非零有限值
Re sf ( z 0 ) lim ( z z 0 ) f ( z )
z z0
m阶极点的求法和判定:
Re sf ( z 0 )
的回路积分
1
0 1
z 1
z
2
2z
------《数学物理方法》第八讲------
作业:P71第一大题1,2,6 第二大题的第2小题
Class is Over!
Thank
you!Байду номын сангаас
------《数学物理方法》第八讲------
例
题
例1. 求 f ( z ) 例2. 确定函数
z 1
n
1
1
在z0=1的留数. 的极点,求出函数在这些极点的留数.
5 3
f (z)
sin z
例3.确定函数 点的留数.
f ( z ) ( z 2 i ) /( z 4 z ) 的极点,并求出函数在这些极
例4.计算沿单位圆
z 1
l
1
2
n
于是我们得到留数定理: 设 f ( z ) 在回路 l 所包围的区域B上除有限个孤立奇点 b1 , b 2 , , b n 外解析,在闭区域 B 上除 b1 , b 2 , , b n 外连续,则:
l
f ( z ) dz 2 i Re sf ( b i )
i 1
n
留数定理就是将回路积分表示为被积函数在回路所围区域上各 奇点的留数之和.
P(z0 ) Q '(z0 )
f (z)
P(z) Q (z)
判定
z z0
lim [( z z 0 )
m
f ( z )]
非零有限值
求法
d Re sf ( z 0 ) lim ( m 1 )! z z 0 1
m 1
( z
dz
z0 )
m 1
m
f (z)
f ( z ) dz 0
单通区域上 复通区域上
f ( z ) dz
1
l
f ( z ) dz 0
li
留数: 洛朗级数中 ( z z
0
)
的系数
------《数学物理方法》第八讲------
对于某一洛朗级数
f (z)
k
ak (z z0 )
k
任意小正数 为半径的圆l 0 , 该圆与区域外境界线 l 共同构成洛朗级数的解 析区域.
1.解析延拓 2.孤立奇点的分类
孤立奇点 z 0 : f ( z ) 在 z 0 可导,但在其邻域内不可导,则称 z 0 为 f ( z ) 的孤立奇点 解析(正则)部分和主要部分:在孤立奇点 z 0 的邻域内展开的洛朗级数中,正幂部 分 叫 解 析 (正则 )部 分 ;负幂 部 分 叫 主要 (无 限 )部分 .特 别 将其中 的 负 一次幂
z 0 一定为 f ( z )的一个奇点,因而, f ( z ) 在 z 0 点不解析.作一个以 z 0 为圆心,以
利用柯西定理:
f ( z ) dz
l
f ( z ) dz
l0
l0
a k ( z z 0 ) dz
k
k
ak
k
l0
( z z 0 ) dz
------《数学物理方法》第八讲------
5.求极点留数的步骤 1).将 f ( z ) 写成 Q ( z ) 的形式;
P(z)
2).在复数范围内对 Q ( z ) 分解因式,使 Q ( z ) 0 的点 就是奇点;
3).若使 Q ( z ) 0的奇点构成一次式,则该极点称 为单极点,否则,成为m阶极点. 4).单极点,其留数为:
l2
f ( z ) dz
ln
把 f ( z ) 分别展开为以 b , b , , b 为中心的洛朗级数再代入上式逐项 积分得: f ( z ) dz [ 2 i Re sf ( b ) 2 i Re sf ( b ) 2 i Re sf ( b )]
1 2 n
(z z0 )
1
的系数 a 1 叫做留数.
按 z 0 邻域展开的洛朗级数中负幂项(主要部分)的有无,是有限项或是无限项可 以对孤立奇点进行分类:
可去奇点 极点 本性奇点
------《数学物理方法》第八讲------
3.留数定理 复习:
幂级数在收敛圆内解析
R
比值判别法
定理 设 f ( z ) 在 z 0 为圆心的圆 C 内解析，则对圆内的任意 z点 f ( z ) 可以展为幂级数。
Re sf ( z 0 ) lim ( z z 0 ) f ( z )
z z0
M阶极点,其留数为:
d Re sf ( z 0 ) lim ( m 1 )! z z 0 1
m 1
( z z
dz
0
)
m
m 1
f (z)
------《数学物理方法》第八讲------
------《数学物理方法》第八讲------
如果 l 包围着 f ( z ) 的n个孤立奇点b1,b2,…, bn,则需要做n个回路
l1 , l 2 , , l n
分别紧紧包围b1,b2,…, bn,按照柯西定理:
f ( z ) dz
l
f ( z ) dz
l1
f ( z )dz
k
所以
2 ia 1
2 i = 只有当k取-1时积分才不为0
f ( z0 )
即为 f ( z ) 在 z 0 点的留数 记为 Re s
l
f ( z ) dz 2 i Re sf ( z 0 )
以上讨论的是 f ( z ) 在区域境界线内只有一个奇点的情况,如果有N 个奇点又该如何处理?
f (z)
k 0
ak ( z z0 )
k
其中：
ak
1 2 i
f ( )
1
CR
( z 0 )
d k 1
f
(k )
( z0 )
k!
以z0为中心的泰勒级数 泰勒级数中的k取非负值,如果k取负数(或者说存在负幂项)的级数称为洛朗 级数.洛朗级数在某个收敛环内解析.
在解析区域,就可以用柯西定理,即 l