高数数学极限总结
高等数学极限总结
摘要高等数学教学中对于极限部分的要求很高,这主要是因为其特殊的地位决定的.然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘.本文立足教材的基本概念阐述,着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路.希望以此文能对学习者有所帮助.关键词高等数学极限技巧高等数学极限运算技巧高等数学的极限与连续是前几章的内容,对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节.是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段.一,极限的概念从概念上来讲的话,我们首先要掌握逼近的思想,所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势这种变化趋势是具有唯一性,那么函数的应变量同时具有一种趋势,而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性.通俗的来讲,函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值,我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限从数学式子上来讲,逼近是指函数的变化,表示为.这个问题不再赘述,大家可以参考教科书上的介绍.二,极限的运算技巧我在上课时,为了让学生好好参照我的结论,我夸过这样一个海口,我说,只要你认真的记住这些内容,高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决.现在想来这不是什么海口,数学再难也是基本的内容,基本的方法,关键是技巧性.我记得blog中我做过一道极限题,当时有网友惊呼说太讨巧了其实不是讨巧,是有规律可循的今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助我们看到一道数学题的时候,首先是审题,做极限题,首先是看它的基本形式,是属于什么形式采用什么方法.这基本上时可以直接套用的.1,连续函数的极限这个我不细说,两句话,首先看是不是连续函数,是连续函数的直接带入自变量.2,不定型我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性,确实.那么下面详细说明一些注意点以及技巧.第一,所有的含有无穷小的,首先要想到等价无穷小代换,因为这是最能简化运算的.等价代换的公式主要有六个：需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的,即：在含有加减运算的式子中不能直接代换,在部分式子的乘除因子也不能直接代换,那么如果一般方法解决不了问题的话,必须要等价代换的时候,必须拆项运算,不过,需要说明,拆项的时候要小心,必须要保证拆开的每一项极限都存在.此外等价无穷小代换的使用,可以变通一些其他形式,比如：等等.特别强调在运算的之前,检验形式,是无穷小的形式才能等价代换.当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换,即无穷大的倒数是无穷小.这需要变通的看问题.在无穷小的运算中,洛必答法则也是一种很重要的方法,但是洛必答法则适用条件比较单一,就是无穷小比无穷小.比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况.特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式,这根据做题的需要来进行.第二,在含有∞的极限式中,一般可分为下面几种情况：1,“∞/∞ ”形式如果是幂函数形式的包含幂函数四则运算形式,可以找高次项,提出高次项,这样其他一切项就都是无穷小了,只有高次项是常数.比如：,这道题中,可以看到提出最高次x注意不是其他项都是“0”,原来的x都是常数1了.当然如果分式形式中,只有分子中含有高次项,那么该极限式极限不存在是无穷大,如果只有分母中含有高次项,那么该极限式极限为0,如果分子分母都含有高次项,我们可以直接去看高次项的系数,基本原理其实就是上面所说的提高次项.比如上面的例子,可以直接写1/2.如果不是纯幂函数形式,无法用提高次项的方法提高次项是优先使用的方法,使用洛必达也是一种很好的方法.需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法,它的严格限制形式只有这两种,所以比较好观察.但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决,这主要是考虑运算量的问题.2,“∞-∞ ”形式“ ∞-∞”形式不能直接运算,需要转换形式,即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式,基本解法同上.比如：这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式,提高次项解.3“”形式这也是需要转换的一种基本形式.因为无穷大与无穷小之间的倒数关系,所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的.转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式.第三,“”这种形式的解决思路主要有两种.第一种是极限公式,这种形式也是比较直观的.比如：这道题的基本接替思路是,检验形式是“”,然后选用公式,再凑出公式的形式,最后直接套用公式.第二种是取对数消指数.简单来说,“ ”形式指数的存在是我们解题的主要困难.那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了.比如上面那道题用取对数消指数的方法来解,是这样的：可以看出尽管思路切入点不一样,但是这两种方法有异曲同工之妙.三,极限运算思维的培养极限运算考察的是一种基本能力,所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法.掌握一定的技巧可以使学习事半功倍.而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义.如何培养,一方面要立足概念,另一方面则需要在具体的运算中体会,多做题多总结.。
高等数学函数极限知识点总结
高等数学函数极限知识点总结《高等数学函数极限知识点总结：一场有趣的思维冒险》嘿呀，一提到高等数学里的函数极限知识点，那可真是像一场刺激又充满挑战的思维大冒险！咱先说说函数极限这个概念，它就好像是一个神奇的“边界探索者”。
想象一下函数就像个调皮的小精灵，在定义域里跑来跑去，而极限呢，就是要找出它跑到边缘时的那种趋势。
有时候它会偷偷靠近某个值，然后又突然拐弯，真像是在跟咱捉迷藏。
学习极限的计算法则，那真像是掌握了一套武林秘籍。
什么加减法法则啦，乘法法则啦，简直酷到不行！就像打游戏里的连招，一套接一套，把那些看起来很难缠的极限题目打得落花流水。
还有重要极限公式，那可是我们的秘密武器。
背熟了它们，遇到难题就像找到了通关密码，“刷刷”几下就能解出来，那感觉简直爽翻了。
比如那个sin x / x 在x 趋近于0 时的极限等于1，就像是隐藏在数学世界里的一把钥匙，找到了就能打开好多难题的大门。
不过，这可不容易啊！每次面对那些复杂的题目，感觉自己的脑袋都要转不过来了。
有时候会想，这数学咋这么难搞呢！但咱不能放弃呀，就跟打怪兽一样，一次不行再来一次。
自带函数极限在实际中有很多应用呢，像物理呀，工程呀，都少不了它。
感觉自己学会了这些知识点，就像掌握了超能力，能解决好多实际问题，超有成就感的。
最有趣的是和同学们一起讨论函数极限的时候，你有你的方法，我有我的思路，争得面红耳赤的，最后发现其实都对，哈哈！那感觉就像一起在数学的海洋里探险，找到了不同的宝藏。
总之，高等数学的函数极限知识点虽然有时候让人头疼，但也充满了乐趣和挑战。
它就像一个神秘的宝藏，等待我们去探索，去发现其中的奥秘。
只要我们坚持不懈，勇于挑战，就能在这场思维冒险中收获满满，成为数学世界里的英雄！加油吧，小伙伴们！让我们一起在函数极限的世界里尽情遨游！。
高数极限知识点
高数极限知识点高数极限是高等数学中的重要概念，也是十分复杂的概念。
极限描述的是某个量随着另一个量的变化而变化时，这两个量之间的关系会趋向于某个确定值。
极限本质上是一种抽象观念，它可以帮助我们理解函数给定一定语境下变化的趋势，以及它们接近某个特定值时的情况。
直观地，极限可以通过简单的图形来理解：如指定一定区域内函数f(x)的图象，当x趋近某个数字时，函数的值也会趋近于一定数值，它们也就是极限。
求解极限的常用方法有多种，包括定义域、一阶导数检验法、无穷小分析法、泰勒展开式法和函数等价法等方法，选择方法要视具体Resource情形而定，但都是以让某个量在另一个量取某个数时其值趋近于一定数值为目标实现的。
定义域是求取极限的基本方法，它的思路是：函数实际可以被表达成多个分段的函数的拼接，当x取某个值时它其可能落在不同段，因此首先要确定它的定义域，也就是确定x取多少时，函数的值取多少。
一阶导数检验法是建立在定义域的基础上的，它把求解极限看作是求某一函数的极值问题，通过对函数进行导数求值，给出了极值处x的取值，从而求得了极限值。
无穷小分析法是用来求解连续函数极限的一种方法，它应用了无穷小的概念，引进了增量eps让函数取某个值时离该值越来越近，当eps到一定程度时，函数值又取得精确值。
这种方法只适合求有限的极限，如果要求的极限是无限的，则不能用这种方法。
泰勒展开式法，即利用泰勒展开式来求解极限，它说明了任意一个函数在某个点附近的变化趋势，在某个无穷小范围内它的增量可以用下式表示：f(x) = f(p) + f'(p)(x-p) + R。
在这里f'(p)为函数在x=p处点导数，后面的R代表余项，当余项R趋近于0时，函数也趋近于先前求出的函数点导数，即f'(p)，因此可以求出函数的极限。
函数等价法是求极限的一种常用方法，它的思想是将函数进行等价转换，当函数在取得某个值时，这个函数可以转换为另一个函数，并用另一个函数来求解该极限，从而最终获得函数极限的值。
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
高数常用极限结论
高数常用极限结论高等数学中的极限是一个重要的概念，常常在各个数学领域中应用。
在学习高等数学时，我们经常会遇到一些常用的极限结论。
本文将介绍一些常见的高数极限结论，并对其应用做一些简单的说明。
1. 极限的唯一性：如果一个函数在某点存在极限，那么该极限是唯一的。
这个结论告诉我们，在计算极限时，我们可以放心地使用不同的方法，只要得到的极限是相同的，就可以认为是正确的。
2. 极限的四则运算：如果两个函数在某点都存在极限，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，并且可以通过已知函数的极限来计算。
这个结论在计算复杂函数的极限时非常有用，可以简化计算过程。
3. 极限的保号性：如果一个函数在某点存在极限，并且极限大于（或小于）零，那么在该点附近，函数的取值也大于（或小于）零。
这个结论在研究函数的正负性质时非常有用，可以帮助我们判断函数在某点附近的取值情况。
4. 极限的夹逼定理：如果一个函数在某点附近被两个函数夹住，并且这两个函数的极限相等，那么该函数在该点也存在极限，并且极限等于这两个函数的极限。
这个结论在计算一些复杂函数的极限时非常有用，可以将其转化为已知函数的极限来计算。
5. 无穷小的性质：如果一个函数在某点存在极限，并且极限等于零，那么该函数在该点附近的取值都非常接近零，可以看作是无穷小。
这个结论在研究函数在某点的光滑程度时非常有用，可以帮助我们判断函数在该点的变化情况。
6. 极限的收敛性：如果一个函数在某点附近有界，并且存在一个数列趋于该点，那么该函数在该点存在极限。
这个结论在研究一些复杂函数的极限时非常有用，可以通过找到趋于该点的数列来计算极限。
7. 极限的换元法：如果一个函数在某点存在极限，并且通过某个函数进行换元后，可以得到另一个函数的极限，那么原函数也存在极限，并且极限相等。
这个结论在计算复杂函数的极限时非常有用，可以通过换元简化计算过程。
8. 极限的级数展开：如果一个函数在某点附近可以展开成幂级数，那么该函数在该点存在极限，并且极限等于幂级数的和。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
大一高数极限函数知识点
大一高数极限函数知识点在大一的高数课程中，极限函数是一个重要的概念和知识点。
在学习和掌握这一知识点之前，我们首先需要了解什么是极限函数。
极限函数可以理解为在某一特定点上的函数值，当自变量趋于某个确定的值时，函数值的变化趋势和趋近于的值。
它描述了函数在接近某一点时的行为规律。
在理论上，我们使用符号 lim f(x)= L 或f(x) → L (x→a) 来表示当 x 趋于 a 时，函数 f(x) 的极限为 L。
接下来，我们来介绍一些关于极限函数的重要知识点。
1. 极限的定义极限的定义是我们理解和熟悉极限函数最基本的概念。
对于任意给定的数ε > 0，存在一个数δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有|f(x) - L| < ε 成立。
其中 a 是自变量 x 的某一值，L 是函数 f(x) 的极限值。
2. 极限的运算法则在计算极限函数时，我们可以借助一些常用的运算法则来简化问题。
常用的极限运算法则包括函数的四则运算、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
3. 极限的性质极限函数具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性、保序性和保号性等。
这些性质可以帮助我们更好地理解和分析极限函数。
4. 极限存在准则判断函数是否存在极限的方法有很多，常用的有夹逼准则、单调有界准则、零点夹逼准则等。
这些准则可以帮助我们在不计算极限的情况下得出结论。
5. 高阶极限除了一阶极限外，我们还需要了解高阶极限的概念。
高阶极限包括二阶极限、无穷极限等，它们在某些特殊函数的求解中起到了重要的作用。
6. 极限函数的应用极限函数在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在计算机科学、物理学、经济学等领域中，我们经常需要通过极限函数来描述和分析问题，帮助我们解决实际的数学问题。
总结：大一高数中的极限函数是一个重要的知识点，掌握极限函数的概念、定义、运算法则、性质、存在准则和应用，对于我们理解和应用数学知识都具有重要意义。
高等数学函数与极限知识点总结
高等数学函数与极限知识点总结高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。
函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。
本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。
1. 函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。
函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。
在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 函数的性质和分类函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。
函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。
周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。
根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。
多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。
当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。
极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。
函数的极限有以下性质：- 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。
- 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。
- 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。
- 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。
4. 极限的计算方法极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。
- 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。
- 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。
高数学习笔记总结,帮你快速复习数学知识
高数学习笔记总结，帮你快速复习数学知识高数学习笔记总结：
一、函数与极限
1. 函数的定义：函数是数学表达关系的符号，它表示两个变量之间的依赖关系。
函数的定义域和值域是函数的两个重要属性。
2. 极限的概念：极限是函数在某个点附近的变化趋势，它可以用来研究函数的特性。
极限的运算法则包括加减乘除和复合函数的极限运算法则。
3. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是指一个函数在某个点的值趋于0，而无穷大是指一个函数在某个点的值趋于无穷大。
无穷小和无穷大是研究函数的重要工具。
二、导数与微分
1. 导数的概念：导数是函数在某一点的切线的斜率，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等特性。
导数的运算法则包括求导法则和复合函数的导数法则。
2. 微分的概念：微分是函数在某一点附近的小增量，它可以用来近似计算函数的值。
微分的运算法则包括微分的基本公式和微分的链式法则。
3. 导数与微分的应用：导数和微分的应用非常广泛，例如求极值、求拐点、近似计算、优化问题等等。
三、积分与级数
1. 积分的概念：积分是定积分和不定积分的总称，它可以用来计算面积和体积等几何量。
定积分和不定积分的计算方法包括基本公式法和凑微分法等等。
2. 级数的概念：级数是无穷多个数的和，它可以用来研究函数的性质和行为。
级数的分类包括几何级数、调和级数、幂级数等等。
3. 积分与级数的应用：积分和级数的应用非常广泛，例如计算面积和体积、近似计算、信号处理等等。
高数大一上知识点极限
高数大一上知识点极限在大学数学课程中，高等数学是大多数学生必修的一门课程。
而高等数学的核心内容之一就是极限。
极限是数学分析中的重要概念，是理解微积分的基础。
在大一上学期，学生们会学习到一些关于极限的基础知识点，本文将概述这些知识点。
一、函数的极限在高数中，函数的极限是一个基本的概念。
函数的极限可以理解为自变量趋于某个值时，函数取值的趋势。
1. 无穷大与无穷小当自变量趋于正无穷或负无穷时，函数的极限可能会是无穷大或无穷小。
例如，对于函数f(x)=1/x，在x趋于正无穷时，函数的极限是0；而在x趋于0时，极限是正无穷。
函数的无穷大与无穷小的概念对于后续的微积分学习非常重要。
2. 函数的左极限和右极限对于一些特殊函数，比如分段函数，函数的极限可能存在左极限和右极限。
左极限指的是自变量趋于某个值时，函数的极限值从左侧逼近；右极限则相反。
例如，对于函数g(x)=|x|，在x=0这个点，左极限是0，右极限也是0。
3. 基本极限公式在计算极限时，有一些基本的公式可以借助。
例如，当函数中含有多项式时，可以利用多项式的最高次项来确定极限的值。
另外还有三角函数的极限公式等等。
二、极限的性质极限具有一些基本的性质，这些性质对于理解和计算极限非常有帮助。
1. 唯一性函数的极限值在一定条件下是唯一确定的。
也就是说，如果函数在某个点有极限，那么这个极限是唯一的。
2. 有界性如果函数在某个点有极限，那么在某个邻域内，函数的取值是有界的。
这个性质可以通过极限的定义推导出来。
3. 保序性如果函数在某个点的极限存在，那么在该点的邻域内，函数的取值保持一定的顺序关系。
也就是说，如果两个函数f(x)和g(x)在某个点的极限存在，并且在该点的邻域内f(x)≤g(x)，那么在该邻域内任意点f(x)≤g(x)。
三、极限的计算方法计算函数的极限是高等数学中的一项重要任务，针对不同的函数，有不同的计算方法。
1. 代入法当函数在某个点的极限存在时，可以直接将自变量代入函数，计算函数的值。
高数求极限的常用公式
高数求极限的常用公式求极限是高等数学中的一个重要概念，它在许多数学和科学领域中都有着重要的应用。
在求极限的过程中，我们可以利用一些常用的公式来简化计算，提高求解效率。
下面我们将介绍一些常用的求极限公式。
1. 常数的极限公式：当n趋向于无穷大时，常数a的极限为a，即lim(a) = a。
2. 幂函数的极限公式：当n趋向于无穷大时，幂函数x^n的极限为：若n>0，则lim(x^n) = ∞或lim(x^n) = -∞，具体取决于x的正负；若n=0，则lim(x^n) = 1；若0<n<1，则lim(x^n) = 0。
3. 指数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，指数函数a^x的极限为：若a>1，则lim(a^x) = ∞；若0<a<1，则lim(a^x) = 0。
4. 对数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，对数函数log_a(x)的极限为：若a>1，则lim(log_a(x)) = ∞；若0<a<1，则lim(log_a(x)) = -∞。
5. 三角函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，三角函数的极限为：lim(sin(x)) = 不存在；lim(cos(x)) = 不存在；lim(tan(x)) = 不存在。
6. 指数与对数函数的极限公式：当x趋向于无穷大时，指数与对数函数的极限为：lim(e^x) = ∞；lim(ln(x)) = ∞。
通过以上常用的求极限公式，我们可以简化极限的计算过程，提高求解的效率。
在实际应用中，我们还可以根据具体问题，灵活运用这些公式，并结合其他数学知识来求解更复杂的极限问题。
求极限是高等数学中的重要内容，掌握这些常用公式对于深入理解极限概念和解决实际问题都具有重要意义。
高数极限_精品文档
高数极限在数学中，极限是一个重要的概念，尤其在高等数学中，极限被广泛地运用于函数的研究和计算、微积分以及数列和级数等各个领域。
本文将着重介绍高数中的极限概念及其相关性质。
首先，我们来了解一下极限的定义。
在数学中，对于一个函数f(x)，当x无限接近某个数a时，如果f(x)的取值也无限接近于一个特定的数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a的过程中有极限，并且这个极限的值就是L。
这种表述可以用数学符号表示为：lim{ x -> a } f(x) = L。
在极限的定义中有一个重要的条件就是当x无限接近于a 时，f(x)的取值也无限接近于L，这意味着我们可以通过取极限来得到函数在某一点的近似值。
在高数中，极限常常以以下三种形式出现：1. 函数趋向于一个常数当函数f(x)在x趋向于无穷大或无穷小的过程中，其极限是一个常数时，这种情况称为函数的无穷极限。
例如，当x趋向于无穷大时，函数f(x)=1/x的极限是0。
这种情况下，我们可以将函数f(x)看作一个越来越接近于0的数列。
2. 函数趋向于无穷大或无穷小当函数f(x)在x趋向于某个数a的过程中，其极限是无穷大或无穷小时，这种情况称为函数的无穷大极限或无穷小极限。
例如，当x趋向于0时，函数f(x)=1/x的极限是无穷大（或无穷小）。
这种情况下，我们可以将函数f(x)看作一个越来越远离0的数列。
3. 极限不存在当函数f(x)在x趋向于某个数a的过程中，其极限不存在时，这种情况称为函数的极限不存在。
例如，当x趋向于0时，函数f(x)=sin(1/x)的极限不存在。
在这种情况下，函数f(x)在x趋向于a 的过程中，无法找到一个确定的数L使得f(x)的取值无限接近于L。
除了上述基本的极限形式外，高数中还涉及到极限的一些重要性质，包括极限的唯一性、四则运算法则以及复合函数的极限等。
这些性质在计算和证明中起到了重要的作用。
首先，极限的唯一性是指如果一个函数的极限存在，那么这个极限是唯一的。
期末高数常用结论总结
期末高数常用结论总结1. 极限：极限是高等数学中最基本的概念之一。
极限可以用来描述函数在某点附近的性质。
常用结论有：- 函数极限的基本性质：唯一性、局部有界性、保号性等。
- 极限的四则运算法则：和、差、积、商等。
- 夹逼定理：如果有两个函数和一个数，满足在某点附近，一个函数小于等于这个数，另一个函数大于等于这个数，并且这两个函数的极限都为这个数，那么这两个函数的极限都为这个数。
2. 导数与微分：导数是描述函数变化率的概念，微分是导数的一个应用。
常用结论有：- 导数的四则运算法则：和、差、积、商等。
- 高阶导数的定义和性质：例如，二阶导数的性质、洛必达法则等。
- 高阶微分的定义和性质：例如，微分的和差中值定理等。
3. 积分与定积分：积分是某个函数的反函数，定积分是对一个函数在一个区间上的积分。
常用结论有：- 积分的基本性质：线性性、可积性等。
- 定积分的性质：例如，区间可加性、保号性等。
- 牛顿—莱布尼兹公式：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续并可微，则有∫[a,b] f'(x)dx = f(b) - f(a)。
4. 微分方程：微分方程是描述自然界现象的一种数学模型。
常用结论有：- 一阶线性微分方程的求解方法：分离变量法、齐次法、定积分法等。
- 二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法：特征方程法、常数变易法、欧拉方程等。
- 非齐次线性微分方程的求解方法：待定系数法、常数变易法等。
5. 级数：级数是数项级数的部分和无限求和。
常用结论有：- 级数的基本性质：和的唯一性、和的有界性等。
- 等比级数的求和公式：如果 |q| < 1，那么等比级数∑(n从0到∞)(a*q^n) 的和为 a / (1-q)。
- 幂级数的求和公式：如果幂级数的收敛半径 R > 0，则幂级数在收敛范围内可以逐项求和。
以上只是高等数学中的一部分常用结论，还有很多其他重要的结论无法一一列举。
这些常用结论在解题和应用中起到了非常重要的作用，帮助我们理解和掌握高等数学的知识。
极限高数知识点总结
极限高数知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数趋于某个趋势或者某个值时的性质的一种方法。
极限的研究对于理解函数的性质、求解微积分的各种问题具有非常重要的意义。
在高等数学中，极限被广泛应用于各个领域，是数学分析的基础和核心之一。
下面我们来系统地总结一下极限的相关知识点。
一、极限概念1.1 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一值时，因变量的值趋于某一值。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义时，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，对应的f(x)都满足|f(x)-A|<ε。
那么称当x趋于a时，f(x)的极限为A，记作lim(f(x))=A，或者x→a时f(x)趋于A。
1.2 无穷大与无穷小当x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷大，记作lim(f(x))=∞。
当x趋于无穷小时，函数f(x)的极限称为无穷小，记作lim(f(x))=0。
1.3 极限运算法则函数极限的运算法则包括加减乘除四则运算法则、乘积的极限法则、商的极限法则等。
二、极限存在性2.1 极限的必要条件与充分条件函数极限存在的充分必要条件是明确的，但是对于不同类型的函数，其极限存在的条件也有所不同。
比如对于无穷大级数，其收敛的充分必要条件为级数通项趋于0。
2.2 极限存在的判定方法判定极限是否存在的方法包括夹逼准则、单调有界法、变量代换法、洛必达法则、泰勒展开法等。
三、极限计算3.1 无穷小量的性质无穷小量有许多性质，包括有限个无穷小的和、积仍是无穷小，无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小，无穷小的高阶无穷小、低阶无穷小、等阶无穷小等。
3.2 无穷大量的性质无穷大量也有一些性质，包括有限个无穷大的和、积仍是无穷大，无穷大的倒数为无穷小等。
3.3 极限的计算方法极限的计算方法包括利用极限的基本性质和极限的等价无穷小、等价无穷大的性质，还有利用洛必达法则或者泰勒展开法则进行计算。
高数常用极限公式大全
高数常用极限公式大全极限公式：1、e^x-1～x (x→0)2、e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)6、tanx~x (x→0)7、arcsinx~x (x→0)8、arctanx~x (x→0)9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)11、e^x-1~x (x→0)12、ln(1+x)~x (x→0)13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)扩展资料：高等数学极限中有“两个重要极限”的说法，指的是：sinX/x →1（x→0 ），与(1+1/x)^x→e^x（x→∞）。
另外，关于等价无穷小，有：sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（x→0），1-cosx ~ x^2/2（x→0）。
你是说求极限的方法吧？求极限没有固定的方法，必须是具体问题具体分析，没有哪个方法是通用的，大学里用到的方法如下：1、四则运算法则（包括有理化、约分等简单运算）；2、两个重要极限（第二个重要极限是重点）；3、夹逼准则，单调有界准则；4、等价无穷小代换（重点）；5、利用导数定义；6、洛必达法则（重点）；7、泰勒公式（考研数学1需要，其它考试不需要这个方法）；8、定积分定义（考研）；9、利用收敛级数（考研）每个方法中可能都会有相应的公式，全总结就太多了，你自己去看吧。
希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。
等价无穷小代换罗必塔法则泰勒展开转化成定积分转化成求导夹逼定理。
高数之数列极限的方法总结(推荐8篇)
《数列极限》优秀说课稿一、关于教学目的的确定：众所周知，对数列极限这个概念的理解可为今后高等数学的学习奠定基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。
1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。
体验“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程；3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。
二、关于教学过程的设计：为了达到以上教学目的，根据北大附中教学传统把这次课连排两节。
在具体教学中，根据“循序渐进原则”，我把这次课分为三个阶段：“概念探索阶段” ；“概念建立阶段” ；“概念巩固阶段”。
下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。
（一） “概念探索阶段”这一阶段要解决的主要问题在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；②使学生形成对数列极限的初步认识；③使学生了解学习数列极限概念的'必要性。
2．本阶段教学安排我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。
①温故知新由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
高等数学极限3篇
高等数学极限【高等数学极限】第一篇：极限的定义和性质一、前言极限是高等数学中极为重要的概念，在微积分中占据着核心地位。
它是许多数学定理和公式的基础，也是数学中最抽象的概念之一。
因此，对于学习高数的同学来说，理解极限的定义和性质，掌握其基本的计算方法和运用技巧，是非常必要的。
二、极限的定义在高等数学中，极限的定义是相对复杂的。
在此我们可以从直观的角度出发，来理解何为极限。
设有一个函数f(x)，当x趋近于某一点a时，f(x)的值越来越接近于一个常数L，如果说L存在，则称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记为：lim{ x→a } f(x)=L读作“x趋近于a时f(x)的极限等于L”。
其中，“lim”表示极限的符号，x→a表示x趋近于a，f(x)为被极限运算的函数，L为极限。
三、极限的性质1.极限的唯一性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限L存在，那么L是唯一的。
2.收敛性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限L存在，那么称函数f(x)是收敛于L的。
3.无界性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限不存在或无穷大，那么称函数f(x)是无界的。
4.夹逼定理：设函数g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim{ x→a } g(x)=lim{ x→a } h(x)=L，那么函数f(x)当x趋近于a时的极限也存在且为L。
5.四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)分别在点a附近有极限L和M，则：(1)lim{ x→a } (f(x)+g(x))=L+M(2)lim{ x→a } (f(x)-g(x))=L-M(3)lim{ x→a } g(x)f(x)=LM(4)如果M≠0，那么lim{ x→a } f(x)/g(x)=L/M四、常用极限1.常数函数的极限：lim{ x→a } c=c (c为常数)2.多项式函数的极限：lim{ x→a }(a0+a1x+a2x²+...+anxⁿ)=aⁿ3.指数函数的极限：lim{ x→0 } (1+x)⁽¹/ˣ⁾=e4.三角函数的极限：(1)lim{ x→0 } sinx/x=1(2)lim{ x→0 } cosx-1/x=0(3)lim{ x→0 } (1+1/x)⁽x/π⁾=e²五、极限的计算方法1.代入法：直接将x的值代入函数中计算出函数值，得到极限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。
但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。
[1]
二．极限知识点总结
1. 极限定义
函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式
δ<<|x -x |00时，对应的函数值 都满足不等式：ε
<-|)(|A x f 那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作A
x f x x =→)(lim 0。
[2]
单侧极限：✍.左极限：A
x f x x =-
→)(lim 或)()(左→→x A x f ✍.右极限：A
x f x x =+→)(lim 或)()(右→→x A x f 定理：
A x f x f A x f x x ==⇔=+
-→)()()(lim
)
()()()()(000
lim
x f x f x
f x f x f x x ==⇔=+
-
→
函数)(x f 当0x x →时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等 即
)
()()(lim 0
00x f x f x f x x →+-==。
2. 极限概念
函数极限可以分成0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→以0x x →的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不等
式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。
时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。
下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列{}n x ，{}n y 及{}n z 满足以下条件： （1）从某项起，即+∈∃N n 0，当0n n >时，有n n n z x y ≤≤；
（2）a y n x =∞
→lim ；a z n x =∞→lim ， 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n x =∞
→lim 准则Ⅰ＇如果（1）当),(0r x U x
∈（或M x >||）时，)()()(x h x f x g ≤≤
（2）A x g x x x =∞→→)(lim )
(0
，A x h x x x o
=∞→→)(lim )
(，
那么)(lim )
(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
夹逼定理：（1）当),(x 0r x U
∉时，有 成立
（2）
,那么，()0x f 极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ´合称夹逼定理】
准则Ⅱ： 单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇ ：设函数)(x f 在点0x 的某个左(右)邻域内单调并且有界，则)(x f 在
0x 的左(右)极限)(-x f ()[]
+x f 必定存在[3]
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给o >ε,存在)(εN ,使得当
N >n ,N >m 时，有ε<-||m n x x 成立。
[2]
极限运算相关法则、定理及推论
计算极限方法总结 （1）直接带入求极限
例1.)138(2
1
lim
+-→x x x 【解】
()
6
1381
381
381
382
11
21
1
1
21
2
1lim lim lim lim lim lim lim =+-⎪⎭⎫
⎝⎛=+-=+-=+-→→→→→→→x x x x x x x
x x x x x x x
（2）约零因子求极限
(5)应用两个重要极限求极限
(6)用等价无穷小两代换求极限
(7)用洛必达法则求极限
四．参考文献
[1]极限理论
https://baike.baidu./item/%E6%9E%81%E9%99%90%E7%90%86
%E8%AE%BA/5081808?fr=aladdin 2017.11.24
[2]函数极限https://baike.baidu./item/函数极限/727083?fr=aladdin 2017.11.24
[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》高等教育出版社1987年
[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理。