对称性与群论基础
合集下载
第6章 对称性与群论
各种正棱往体的几何构型也都具有Dnh对称性．
Dnh点群
化学中的重要点群
Dnd点群
对称元素: Cn C2(在主轴的垂面方向上) σd (一套平分每一对C2轴间夹角的垂直镜面) 例:
化学中的重要点群
Dh 点群 对称元素:
C
σv σh C2
(和键轴方向一致) (无穷多个,通过键轴的垂直镜面) (水平镜面) (无穷多个,垂直于 C )
群元素可以是数字、矩阵、算符或
对称操作等（数学对象、物理动作、 理化性质等）。 只要满足前述四 个条件的集合即为群（G）： G { A, B, C, D ,…}
对称操作群
定义：对称操作的集合构成的群称
为对称操作群，简称对称群 (symmetry group)
对称操作群也必具有数学上群的四 条基本性质．连续两个对称操作和两个 元素相乘对应。
旋转Cnm的逆操作是Cnn-m，因为
Cnm Cnn-m = Cnn = E
旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关
n=是偶数，不论M是偶或奇数，它的逆操作都是Snn-m
n=是奇数，m=偶数，则Snm = Cnm ，因而它的逆操作是Cnn-m n=是奇数，m=奇数，则Snm = Cnm σ，它的逆操作应为Cnn-m σ 的 乘积，且等于Cn2n-m σ ，因而可写成单一的操作Sn2n-m
对称操作群---分子点群
分子点群有二层解释含义：
1）这些对称操作都是点操作，操作
时分子中至少有一点不动。
2）分子中全部对称元素至少通过一
个公共点，若不交于一点，分子就不能维
持有限性质。
一个分子所具有的对称操作的完全集合构成一个点群 每个点群有一个特定的符号 C2v 点群 C2v {C2 , yz , xz , E} 封闭性： C2 xz yz 元素相乘符合结合律 ：
分子的对称性与群论基础群与分子点群
群与分子点群
3、分子点群
立方群
3）、 Ih 点群
对称元素: 6个 C5 轴(相对顶点)、 10个 C3 轴(相对面心)、 15个 C2 轴(相对棱心)、 对称中心.
120个对称操作,分为10个共轭类:
Eˆ , 6 Cˆ5 ,Cˆ54 , 6 Cˆ52,Cˆ53 , 10 Cˆ3 , Cˆ32 , iˆ , 6 Sˆ10 , Sˆ190 , 6 Sˆ130 , Sˆ170 , 10 Sˆ6 , Sˆ65 ,
24
群与分子点群
4、子群与类
如果群的某个元素与其他元素的乘积都可交换，则该元素
自成一类（不与其他元素共轭）。
若：
PA = AP ,
PB =
BP , … ...
必有：
A-1PA = P , B-1PB =
P , …… 即:对元于素分子P 点不群与：其他元素共轭。 恒等操作自成一类； 反演操作自成一类。
O2 , CO2 , C2 H 2
13
群与分子点群
3、分子点群
立方群
具有多于一个高次轴(Cn，n>2)的群，对应于凸正 多面体
4个 C3 轴 3个 C2 轴
T
Th (i)
Td (6d)
正四面体
3个 C4 轴 4个 C3 轴 6个 C2 轴
O Oh (i)
正八面体 正六面体
6个 C5 轴 10个 C3 轴
27
群与分子点群
5、同构与同态
2)、同态 定义：考虑群G与群H，若G的一组元素对应与H的一个元 素，且群G的元素的乘积对应于群H的相应元素的乘积， 则称群H 是群G的一个同态映像。
群G： …., {Aik} , …, {Aj l }, …., {AikAjl} , ….
数学中的群论与对称性
数学中的群论与对称性数学是一门充满美感和逻辑思维的学科，而群论是数学中非常重要的一个分支，关于对称性的研究也是群论中的一个重要内容。
本文将介绍群论的基本概念和对称性的数学表述，以及它们在实际问题中的应用。
一、群论的基本概念群论研究的是一种代数结构，称为群。
群是由一组元素和一个二元运算构成的，满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
其中，封闭性指的是群中的任意两个元素进行运算得到的结果仍然在群中；结合律指的是在群中进行的运算满足结合律；单位元是群中的一个特殊元素，将它与群中的任意元素进行运算得到的结果不变；逆元是指对于群中的每一个元素，都存在一个与之相结合后得到单位元的元素。
群的例子非常丰富，比较常见的有整数加法群、整数乘法群、置换群等。
在群论中，有一些重要的概念，比如子群、循环群、陪集等。
子群是群中的一部分元素构成的群，其满足群的四个条件；循环群是由一个元素经过重复运算得到的群；陪集则是通过对同一个元素进行左或右平移得到的一组元素。
二、对称性与群论的关系对称性是一种普遍存在于自然界和人类社会中的现象，同时也是艺术、科学等方面追求的美的表现形式。
在数学中，对称性有着深入的研究，而群论则是对对称性进行数学化的描述。
在群论中，对称性可以通过群的元素和群运算来进行表述。
以平面上的正方形为例，我们可以将其旋转、翻转得到不同的对称形状。
这些对称操作可以看作是正方形所形成的群的元素，群运算则是这些操作间的组合。
通过对这个群的研究，我们可以得到正方形对称性的完全描述。
群论的对称性研究不仅限于几何图形，还可以应用于其他领域。
比如在物理学中，对称性是非常重要的概念。
很多物理理论都建立在对称性的基础上，比如在相对论中，洛伦兹变换描述了物理系统在不同参考系下的对称变换；在量子力学中，波函数的对称性对粒子的性质有着重要的影响。
三、群论在实际问题中的应用群论在实际问题中有广泛的应用。
其中一个典型的例子是密码学中的应用。
第一章_分子的对称性和群论初步_2
1). 用一个合适的基得出点群的一个可约表示； 2). 约化这个可约表示成为构成它的不可约表 示； 3). 解释各个不可约表示从而找出问题的答案。
群论在无机化学中的应用---例
• 例1: ABn型分子的σ杂化轨道 – 分子或离子:BF3,SO3,SF4,XeF4 … – 单核的配合物或配离子… ?:原子A以哪些原于轨道组成等价的σ杂化轨道的集合 • 特征标等于在该操作的作用下，不发生位移的向量 数．用化学的语言可表述为：特征标等于在该对称操 作的作用下，不动的化学键数． *这样得列的一组特征标是可约表示的特征标．
对称操作的表示矩阵
恒等 旋转 反映 旋转-反映
反演
对称群的表示：
一个分子的全部对称操作可形成一个群。而 把这些对称操作，用对称操作变换矩阵表示 时，这些变换矩阵也形成一个群。即用矩阵
群来表示对称操作群。因此，通常称这样的
矩阵群为相应对称(点)群的矩阵表示，简称
群的表示。
群的表示--• 由一组基函数得到的一组对称操作的表 示矩阵也构成群. 只要正确地写出点群中 每个对称操作的表示矩阵，就能够得到 相应群的矩阵表示． • 利用空间任意点的坐标，或者选择一定 的函数或物理量为基函数，不难得到对 称操作的表示矩阵．
群的不可约表示和特征标规则
1． 群的不可约表示维数平方和等于群的阶
对v的求和遍及该群所有的不可约表示．例1: C2v点群的四来自不可约表示均为一维，阶为4，即；
12 + 12 + 1 2 + 12 = 4 = h 例2: (1.24)
C3v点群的三个不可约表示中，两个一维，一个二维, 阶为6， 即； 12 + 12 + 2 2 = 6 = h (1.25)
第一章 分子的对称性和群论基础 （二）
群论在无机化学中的应用---例
• 例1: ABn型分子的σ杂化轨道 – 分子或离子:BF3,SO3,SF4,XeF4 … – 单核的配合物或配离子… ?:原子A以哪些原于轨道组成等价的σ杂化轨道的集合 • 特征标等于在该操作的作用下，不发生位移的向量 数．用化学的语言可表述为：特征标等于在该对称操 作的作用下，不动的化学键数． *这样得列的一组特征标是可约表示的特征标．
对称操作的表示矩阵
恒等 旋转 反映 旋转-反映
反演
对称群的表示：
一个分子的全部对称操作可形成一个群。而 把这些对称操作，用对称操作变换矩阵表示 时，这些变换矩阵也形成一个群。即用矩阵
群来表示对称操作群。因此，通常称这样的
矩阵群为相应对称(点)群的矩阵表示，简称
群的表示。
群的表示--• 由一组基函数得到的一组对称操作的表 示矩阵也构成群. 只要正确地写出点群中 每个对称操作的表示矩阵，就能够得到 相应群的矩阵表示． • 利用空间任意点的坐标，或者选择一定 的函数或物理量为基函数，不难得到对 称操作的表示矩阵．
群的不可约表示和特征标规则
1． 群的不可约表示维数平方和等于群的阶
对v的求和遍及该群所有的不可约表示．例1: C2v点群的四来自不可约表示均为一维，阶为4，即；
12 + 12 + 1 2 + 12 = 4 = h 例2: (1.24)
C3v点群的三个不可约表示中，两个一维，一个二维, 阶为6， 即； 12 + 12 + 2 2 = 6 = h (1.25)
第一章 分子的对称性和群论基础 （二）
对称性的群论
对称性的群论对称性是数学中一个重要的概念，它的应用范围广泛，从物理到化学，从几何到图论。
对称性的研究已成为数学的重要分支之一，而对称性的群论是研究对称性的主要工具之一。
一、群论基础群论是数学中的一个分支，研究代数结构中的集合和运算之间的关系。
一个群是一个集合，其中包含一些元素和一些运算，这些运算必须满足特定的代数性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。
群论的基础在于集合和代数运算的抽象概念，因此它可以应用于各种领域。
二、对称性的群论对称性的群论是研究对称性的一种方法，它将对称性看做一种代数结构的变换，这种代数结构可以用群表示。
例如，在平面上，将一个点绕另一个点旋转，或者将一个图形通过对称轴镜像，可以看做是一个变换，这种变换可以用群表示。
群的元素表示变换，群的运算定义了这些变换的组合方式。
对称性的群论在物理学中有广泛的应用，例如对称群在量子力学中的应用，空间对称群在晶体学中的应用。
而在几何学中，对称性的群论是研究对称性的重要工具，可以用群来表示对称性，对称性可以被看做一种约束条件，用群论解决几何问题的方法被称为群论几何。
三、例子1. 正方形的对称群我们来看一个例子，一个正方形有8个对称变换，可以分别表示为：这些变换组成了正方形的对称群，可以用符号S<sub>4</sub>表示，S<sub>4</sub>的元素是正方形的8个对称变换，例如S<sub>4</sub>的元素a表示将正方形逆时针旋转90度，而S<sub>4</sub>的元素b表示将正方形相对于水平轴对称。
2. 正三角形的对称群正三角形有6个对称变换，可以表示为：这些变换组成了正三角形的对称群，可以用符号S<sub>3</sub>表示，S<sub>3</sub>的元素是正三角形的6个对称变换，例如S<sub>3</sub>的元素a表示将正三角形逆时针旋转120度，而S<sub>3</sub>的元素b表示将正三角形相对于一条对角线对称。
(完整版)第三章-分子对称性和群论初步
操作A和B是可交换的。
两个或多个对称操作 的结果，等效于某个 对称操作。
例如,先作二重旋转，再对垂直 于该轴的镜面作反映，等于对 轴与镜面的交点作反演。
对称操作的乘积示意图
2.分子点群的确定
分子可以按 “点群”或“对称群”加以分 类。在一个分子上所进行的对称操作的完全组 合构成一个“点群”或“对称群”。
Third
确定分子是否具有象转轴Sn（n为偶数），如果只 存在Sn轴而别无其它对称元素，这时分子属于假轴 向群类的Sn群。
3. 分子点群的确定
Forth
假如分子均不属于上述各群，而且具有Cn旋转轴时 可进行第四步。当分子不具有垂直于Cn轴的C2轴时，
则属于轴向群类。有以下三种可能：
没有对称面 若有n个sv对称面 若有1个sh对称面
Z s2
Y
x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4
3
43
旋转90◦
12
2
1
2
1 反映
43
3 4
2
1
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
补充：反轴（In）和旋转反演操作(In )
反轴
如果分子图形绕轴旋转一定角度（θ=2π/n）后， 再按轴上的中心点进行反演，可以产生分子的 等价图形，则将该轴和反演组合所得到的对称 元素称为反轴。
对称中心的反演操作，能使分子中各相互对应的原子 彼此交换位置。即分子图形中任意一个原子的位置 A(x,y,z)将反射到点A’(-x,-y,-z)，同时A’点将反射到A点， 从而产生分子的等价图形。示意图.exe
对分子图形若连续反演n次，可以满足：
iˆ
nLeabharlann =E(n为偶数) ˆi(n为奇数)
两个或多个对称操作 的结果，等效于某个 对称操作。
例如,先作二重旋转，再对垂直 于该轴的镜面作反映，等于对 轴与镜面的交点作反演。
对称操作的乘积示意图
2.分子点群的确定
分子可以按 “点群”或“对称群”加以分 类。在一个分子上所进行的对称操作的完全组 合构成一个“点群”或“对称群”。
Third
确定分子是否具有象转轴Sn（n为偶数），如果只 存在Sn轴而别无其它对称元素，这时分子属于假轴 向群类的Sn群。
3. 分子点群的确定
Forth
假如分子均不属于上述各群，而且具有Cn旋转轴时 可进行第四步。当分子不具有垂直于Cn轴的C2轴时，
则属于轴向群类。有以下三种可能：
没有对称面 若有n个sv对称面 若有1个sh对称面
Z s2
Y
x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4
3
43
旋转90◦
12
2
1
2
1 反映
43
3 4
2
1
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
补充：反轴（In）和旋转反演操作(In )
反轴
如果分子图形绕轴旋转一定角度（θ=2π/n）后， 再按轴上的中心点进行反演，可以产生分子的 等价图形，则将该轴和反演组合所得到的对称 元素称为反轴。
对称中心的反演操作，能使分子中各相互对应的原子 彼此交换位置。即分子图形中任意一个原子的位置 A(x,y,z)将反射到点A’(-x,-y,-z)，同时A’点将反射到A点， 从而产生分子的等价图形。示意图.exe
对分子图形若连续反演n次，可以满足：
iˆ
nLeabharlann =E(n为偶数) ˆi(n为奇数)
2分子对称性和群论初步
点群表示 点群示例
C
nv
= E ,C ,C n
2 n
,
…
,C
n 1 n
1 v
,s
,s
2 v
,
…
,s
n v
C2 v
C2 H 2Cl2
C3 v
NH 3
C v
CO
C3v
3). Cnh群
群中含有一个Cn轴，还有一个垂直于Cn轴σh面
点群示例
C 2h
C4 H 6
S8
2.5 假轴向群 Sn群
Sn：有一个n重象转轴，须考虑n的奇偶性。n为偶数时， 群中有n个元素，n为奇数时，Sn不独立存在。 只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯， 有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素。
S2 S4
2.6 六方群
1). Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每 个C2轴还处在两个互相垂直的平面sd的交线上，这两个平面还 平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。 对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6sd｝共有24阶。 四 面 体 CH4 、 CCl4 对 称 性 属 Td 群 ， 一 些 含 氧 酸 根 SO42- 、 PO43-等亦是。在CH4分子中，每个C-H键方向存在1个C3轴，2 个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴，还有6个sd平面。
s Z 2
Y x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4 3 旋转90◦ 2 4 3
1
2
1
2
1
反映
4 3
分子的对称性和群论初步
属4阶群
H3BO3分
子
C3h C31, C32 , C33 E, h , S31, S35
属6阶群 S31 hC31，S32 C32，S33 h S34 C31，S35 hC32，S36 E
Cnh Cnk (k 1,n 1), E, h , hCnl (l 1,l 1)
非全同：不能通过平移或转动等第一类对称操 作使两个图形叠合。
2.旋光异构体：一对等同而非全同的分子构成 的一对对映体。
3.手性分子：没有第二类对称元素的分子。
R（右，顺时针方向转）和 S（左，逆时针旋转） 外消旋体：等量的R和S异构体混合物一定无旋光
性方向相反
4.对称性和旋光性的关系
✓ 若分子具有反轴Ι（先旋转360°/n,再反演）的对 称性，一定无旋光性；若分子不具有反轴的对称性， 则可能出现旋光性。
元的数目有限的群称为有限群，数目无限的群 称为无限群。
点群：一个有限分子的对称操作群 ☞“点”的含义 ✔这些对称操作都是点操作，操作时分子中至少
有一个点不动。 ✔分子的对称元素至少通过一个公共点。
2.2 群的乘法表
※顺序
乘法表由行和列组成，在行坐标x和列坐标y的 交点上找到的元是yx，即先操作x，后操作y。每一 行和每一列都是元的重新排列。
C6轴： C6轴包括C2 和C3 的全部对称操作。
1.3 反演操作和对称中心 i
反演操作： 将分子的各点移到对称中心连线的延长线上，
且两边的距离相等。若分子能恢复原状，即反演操 作。
✔对称因素：对称中心 i ✔特点：延长线，等距
除位于对称中心的原子外，其余均成对出现
若对称中心位置在原点 （0,0,0）处，反演操作i的表 示矩阵为：
✓ 一重反轴=对称中心，二重反轴=镜面，独立的反 轴只有I4 。则具有这三种对称操作的无旋光性， 不具有这3种对称元素的分子都可能有旋光性。
H3BO3分
子
C3h C31, C32 , C33 E, h , S31, S35
属6阶群 S31 hC31，S32 C32，S33 h S34 C31，S35 hC32，S36 E
Cnh Cnk (k 1,n 1), E, h , hCnl (l 1,l 1)
非全同：不能通过平移或转动等第一类对称操 作使两个图形叠合。
2.旋光异构体：一对等同而非全同的分子构成 的一对对映体。
3.手性分子：没有第二类对称元素的分子。
R（右，顺时针方向转）和 S（左，逆时针旋转） 外消旋体：等量的R和S异构体混合物一定无旋光
性方向相反
4.对称性和旋光性的关系
✓ 若分子具有反轴Ι（先旋转360°/n,再反演）的对 称性，一定无旋光性；若分子不具有反轴的对称性， 则可能出现旋光性。
元的数目有限的群称为有限群，数目无限的群 称为无限群。
点群：一个有限分子的对称操作群 ☞“点”的含义 ✔这些对称操作都是点操作，操作时分子中至少
有一个点不动。 ✔分子的对称元素至少通过一个公共点。
2.2 群的乘法表
※顺序
乘法表由行和列组成，在行坐标x和列坐标y的 交点上找到的元是yx，即先操作x，后操作y。每一 行和每一列都是元的重新排列。
C6轴： C6轴包括C2 和C3 的全部对称操作。
1.3 反演操作和对称中心 i
反演操作： 将分子的各点移到对称中心连线的延长线上，
且两边的距离相等。若分子能恢复原状，即反演操 作。
✔对称因素：对称中心 i ✔特点：延长线，等距
除位于对称中心的原子外，其余均成对出现
若对称中心位置在原点 （0,0,0）处，反演操作i的表 示矩阵为：
✓ 一重反轴=对称中心，二重反轴=镜面，独立的反 轴只有I4 。则具有这三种对称操作的无旋光性， 不具有这3种对称元素的分子都可能有旋光性。
分子对称性与群论基础
z
'
z g h i z
上一内容 下一内容 回主目录
6.3 对称操作旳矩阵表达
现对氨分子旳对称操作做阐明。 (1) 恒等操作 对向量不产生任何影响,相应于单位矩阵
x' x 1 0 0 x
y'
I
y
0
1
0 y
z
'
z 0 1 0 z
(2)旋转操作 n旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为
上一内容 下一内容 回主目录
6.2 对称操作与对称元素
(1) 重叠型二茂铁具有S5， 所以, C5和与之垂直旳σ也都独立存在
上一内容 下一内容 回主目录
(2) 甲烷具有S4，所以, 只有C2与S4 共轴，但C4和与之垂直旳σ并不独 立存在.
6.2 对称操作与对称元素
甲
烷
中
旳
映
轴
S4
与
注意: C4和与之垂直旳σ都不独立存在
上一内容 下一内容 回主目录
对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
6.2 对称操作与对称元素
[实例] 氨分子旳几何构型与对称性 分子呈正三角锥形，N原子位于锥顶。对称特点： 1个三重对称轴经过锥顶且垂直于底面 3个对称面(映面)分别经过三重轴及1个N-H键
共有6个对称操作： 绕三重轴旋转120°及240°；经过3个映面旳反应
上一内容 下一内容 回主目录
6.3 对称操作旳矩阵表达
变换关系: x' r cos(2 ) x cos(2) y sin(2) y' r sin(2 ) x sin(2) y cos(2)
相应旳矩阵表达:
x' x cos 2
y'
分子对称性与群论基础PPT课件
恒等操作 在进行对称操作时，分子中至少有1点是不动的，同
时这种对称操作不改变分子中任意两点之间的距离
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2020/7/31
对称操作与对称元素
NH3分子的对称操作
2 对称操作的分类 统一分类并用标准符号表示之，其中的映面、象转及
反演操作能把右手变为左手，称为“非真的”或虚操作。
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2020/7/31
2．化学的根本问题：对称性？ 例：
①晶格平移不变性（周期为a） 能带理论 各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。 ②全同粒子交换对称性 玻色子、费米子、量子统计…… ③标度不变性 细胞繁殖、生命起源。 ④宇宙的时空平移不变性？
“人类”的起源和未来
分子对称性与群论基础
12.1 对称操作与对称元素 12.2 对称操作的矩阵表示 12.3 群的定义与性质 12.4 群表示理论 12.5 群论应用简介
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2020/7/31
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
总体概述
点击此处输入 相关文本内容
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地，正三角形、正方 形、正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号）
上一内容 下一内容 回主目录
…………
上一内容 下一内容 ห้องสมุดไป่ตู้主目录
返回
2020/7/31
对称操作与对称元素
1.几何意义 分子的几何构型可用对称图
形来表示。能使一个图形复原的 操作称为对称操作，全部对称操 作的集合构成一个“群”。不改 变图形中任何两点的距离而能使 图形复原.
时这种对称操作不改变分子中任意两点之间的距离
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2020/7/31
对称操作与对称元素
NH3分子的对称操作
2 对称操作的分类 统一分类并用标准符号表示之，其中的映面、象转及
反演操作能把右手变为左手，称为“非真的”或虚操作。
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2020/7/31
2．化学的根本问题：对称性？ 例：
①晶格平移不变性（周期为a） 能带理论 各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。 ②全同粒子交换对称性 玻色子、费米子、量子统计…… ③标度不变性 细胞繁殖、生命起源。 ④宇宙的时空平移不变性？
“人类”的起源和未来
分子对称性与群论基础
12.1 对称操作与对称元素 12.2 对称操作的矩阵表示 12.3 群的定义与性质 12.4 群表示理论 12.5 群论应用简介
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2020/7/31
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
总体概述
点击此处输入 相关文本内容
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地，正三角形、正方 形、正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号）
上一内容 下一内容 回主目录
…………
上一内容 下一内容 ห้องสมุดไป่ตู้主目录
返回
2020/7/31
对称操作与对称元素
1.几何意义 分子的几何构型可用对称图
形来表示。能使一个图形复原的 操作称为对称操作，全部对称操 作的集合构成一个“群”。不改 变图形中任何两点的距离而能使 图形复原.
《群论对称性》课件
群论对称性的PPT课件 大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
群论对称性的基本概 念
02
群论对称性的数学原 理
03
群论对称性与物理学 的关系
04
群论对称性的实际应 用
05
群论对称性的研究进 展与未来展望
06
添加章节标题
群论对称性的基 本概念
群论对称性的定义
群论：研究对称性的 数学分支
对称性：物体或系统 在某种变换下保持不
变的性质
群论对称性：研究物 体或系统在群变换下
的对称性
群：一组具有封闭性、 结合性和交换性的元
素集合
群元素：群中的元素， 可以是物体、系统或
其变换
群运算：群元素之间 的运算，如加法、乘
法等
群对称性：群元素在群 运算下的对称性，如旋
转对称、反射对称等
群论对称性的分类
单击添加项标题
线性群：线性变换构成的群
单击添加项标题
反射群：反射变换构成的群
单击添加项标题
特殊正交群：特殊正交变换构成的群
单击添加项标题
特殊酉群：特殊酉变换构成的群
单击添加项标题
旋转群：旋转变换构成的群
单击添加项标题
正交群：正交变换构成的群
单击添加项标题
酉群：酉变换构成的群
群论对称性的应用领域
物理学：在量子力学、粒子物理、凝聚 态物理等领域有广泛应用
晶体结构：晶体中原子或分子排列的规律性
群论对称性：描述晶体结构对称性的数学工具
群论对称性与晶体结构的关系：群论对称性可以描述晶体结构的对称性，如旋转对称、反射对称 等
应用：群论对称性在晶体学、固体物理、材料科学等领域有广泛应用，如晶体结构分析、晶体生 长、晶体缺陷研究等
汇报人：
目录
添加目录标题
01
群论对称性的基本概 念
02
群论对称性的数学原 理
03
群论对称性与物理学 的关系
04
群论对称性的实际应 用
05
群论对称性的研究进 展与未来展望
06
添加章节标题
群论对称性的基 本概念
群论对称性的定义
群论：研究对称性的 数学分支
对称性：物体或系统 在某种变换下保持不
变的性质
群论对称性：研究物 体或系统在群变换下
的对称性
群：一组具有封闭性、 结合性和交换性的元
素集合
群元素：群中的元素， 可以是物体、系统或
其变换
群运算：群元素之间 的运算，如加法、乘
法等
群对称性：群元素在群 运算下的对称性，如旋
转对称、反射对称等
群论对称性的分类
单击添加项标题
线性群：线性变换构成的群
单击添加项标题
反射群：反射变换构成的群
单击添加项标题
特殊正交群：特殊正交变换构成的群
单击添加项标题
特殊酉群：特殊酉变换构成的群
单击添加项标题
旋转群：旋转变换构成的群
单击添加项标题
正交群：正交变换构成的群
单击添加项标题
酉群：酉变换构成的群
群论对称性的应用领域
物理学：在量子力学、粒子物理、凝聚 态物理等领域有广泛应用
晶体结构：晶体中原子或分子排列的规律性
群论对称性：描述晶体结构对称性的数学工具
群论对称性与晶体结构的关系：群论对称性可以描述晶体结构的对称性，如旋转对称、反射对称 等
应用：群论对称性在晶体学、固体物理、材料科学等领域有广泛应用，如晶体结构分析、晶体生 长、晶体缺陷研究等
对称性与群论
C3
例：正四面体型分子AB4
C2,S4
⑧ Oh点群：对称元素为3C4，4C3，6C2，i，3S4, 3h, 4S6，6d，有48个对称操作
C4/S4/C2 L3 L2 C3/S6
例：正八面体型分子AB6
L4
L1
L5 L6
C2
4.4 群的表示及性质 4.4.1对称操作的矩阵形式
一个对称操作可以用矩阵来描述。将分子置于笛卡儿坐标系种，被某 一对称操作作用时，组成质点的坐标系将发生变化，这种变化可以用矩 阵的线性变换得来。五种对称操作相应矩阵表示为： 1，恒等操作E和相应得矩阵E 当坐标为（x,y,z）的点被恒等操作作用时，他的新坐标点（x’,y’,z’）与 原坐标点（x,y,z）相同。变换矩阵的线性变换为：
(C2v(yz))v(xz) = E
C2v群的乘法表
C2v E C2 v(xz) v(yz)
E
C2 v(xz) v(yz)
E
C2 v(xz) v(yz)
C2
E v(yz) v(xz)
v(xz)
v(yz) E C2
v(yz)
v(xz) C2 E
4.2.2群的乘法表 将群元素之间的关系的结合关系排列成一张表
对称元素：
对称轴
主轴： 轴次最高的对称轴（n最大）
例：H2O, NH3, Ni(CN)42-, C5H5-, C6H6, CO
C2 C3 C4 C5 C6 C
与n重对称轴相对应的旋转操作有：
c c , c ,........c
2 n 3
n n
n
n
㈡ 反映: 通过某一平面将分子各点反映到镜面的另 一侧位置，反映后分子又恢复原状的操作，称 为反映对称操作，用表示。
例：正四面体型分子AB4
C2,S4
⑧ Oh点群：对称元素为3C4，4C3，6C2，i，3S4, 3h, 4S6，6d，有48个对称操作
C4/S4/C2 L3 L2 C3/S6
例：正八面体型分子AB6
L4
L1
L5 L6
C2
4.4 群的表示及性质 4.4.1对称操作的矩阵形式
一个对称操作可以用矩阵来描述。将分子置于笛卡儿坐标系种，被某 一对称操作作用时，组成质点的坐标系将发生变化，这种变化可以用矩 阵的线性变换得来。五种对称操作相应矩阵表示为： 1，恒等操作E和相应得矩阵E 当坐标为（x,y,z）的点被恒等操作作用时，他的新坐标点（x’,y’,z’）与 原坐标点（x,y,z）相同。变换矩阵的线性变换为：
(C2v(yz))v(xz) = E
C2v群的乘法表
C2v E C2 v(xz) v(yz)
E
C2 v(xz) v(yz)
E
C2 v(xz) v(yz)
C2
E v(yz) v(xz)
v(xz)
v(yz) E C2
v(yz)
v(xz) C2 E
4.2.2群的乘法表 将群元素之间的关系的结合关系排列成一张表
对称元素：
对称轴
主轴： 轴次最高的对称轴（n最大）
例：H2O, NH3, Ni(CN)42-, C5H5-, C6H6, CO
C2 C3 C4 C5 C6 C
与n重对称轴相对应的旋转操作有：
c c , c ,........c
2 n 3
n n
n
n
㈡ 反映: 通过某一平面将分子各点反映到镜面的另 一侧位置，反映后分子又恢复原状的操作，称 为反映对称操作，用表示。
第1章对称性和群论
1、定义：对称操作的连续作用就称为对称操作的乘积
2、对称操作的组合
? 绕同Cn轴的两个转动操作的乘积 仍是一个转动操作。
C m' n
? Cnm
?
C m? m' n
与先后次序无关。
例 NH3分子 C32 gC31 ? C33 ? E
13
? 两个反映操作的乘积
两个夹角为?的反映面的反映操作乘积等同于绕着平面交线为轴的 旋转夹角为2?的转动操作。
Cnn+1 = Cn1, Cnn+2 = Cn2 ……
4
2、反映（Reflection ）
反映 操作是将分子中的原子对通过分子的某个平面作垂线，将该线 向相反方向延长相等的距离，得到该原子的 等价点。这时原子从平面的一 侧到了另一侧，但刚好与它等价的原子相重合 。
反映操作的凭借的几何平面称为反映面，用? 表示：
6
3、反演（Inversion）
反演 分子中所有的原子通过一个点反映的操作称为反演，该点称为 对称中心(Center of Symmetry)，用 i 表示。
7
in = E (当n为偶数时） in = i （当n为奇数时） 具有对称中心的无机分子：
8
4、非真转动（Improper Rotation）
非真转动 是首先转动然后通过垂直于转动轴的平面反映的一种操作
，也可以先对垂直于转动轴的平面反映然后再转动。是一种复合的对称操
作。
如果
Cn1
表示绕
n
重轴的一次转动，
?
1 h
表示垂直于转动轴的平面反
映，则 Sn1 表示绕 n 次轴的一个非真转动。
Sn与 Cn 和 ? h 操作的顺序无关！
9
2、对称操作的组合
? 绕同Cn轴的两个转动操作的乘积 仍是一个转动操作。
C m' n
? Cnm
?
C m? m' n
与先后次序无关。
例 NH3分子 C32 gC31 ? C33 ? E
13
? 两个反映操作的乘积
两个夹角为?的反映面的反映操作乘积等同于绕着平面交线为轴的 旋转夹角为2?的转动操作。
Cnn+1 = Cn1, Cnn+2 = Cn2 ……
4
2、反映（Reflection ）
反映 操作是将分子中的原子对通过分子的某个平面作垂线，将该线 向相反方向延长相等的距离，得到该原子的 等价点。这时原子从平面的一 侧到了另一侧，但刚好与它等价的原子相重合 。
反映操作的凭借的几何平面称为反映面，用? 表示：
6
3、反演（Inversion）
反演 分子中所有的原子通过一个点反映的操作称为反演，该点称为 对称中心(Center of Symmetry)，用 i 表示。
7
in = E (当n为偶数时） in = i （当n为奇数时） 具有对称中心的无机分子：
8
4、非真转动（Improper Rotation）
非真转动 是首先转动然后通过垂直于转动轴的平面反映的一种操作
，也可以先对垂直于转动轴的平面反映然后再转动。是一种复合的对称操
作。
如果
Cn1
表示绕
n
重轴的一次转动，
?
1 h
表示垂直于转动轴的平面反
映，则 Sn1 表示绕 n 次轴的一个非真转动。
Sn与 Cn 和 ? h 操作的顺序无关！
9
数学物理中的群论和对称性
数学物理中的群论和对称性群论和对称性是数学和物理学中非常重要的概念。
它们有着深刻的内在联系和相互依存的关系。
在本文中，我将详细探讨这两个概念，并阐明它们的应用和意义。
一、群论群论是研究集合上的代数结构的分支学科，它的基本概念是群。
群是一种数学结构，它由一组元素和一个二元运算组成，满足结合律、闭合性、恒等元素和逆元素等基本性质。
群论不仅仅是数学学科，而且在物理学、化学、计算机科学等领域也有着广泛的应用。
例如，量子力学中的对称性问题，晶体结构分析乃至密码学都涉及到了群论的相关知识。
群论的应用可以归纳为以下三个方面：对称性、代数下的几何学和群表示论。
其中，对称性是群论的最基础也是最广泛的应用之一。
二、对称性对称性是自然世界中各种现象的重要特征，例如，对称性可以用于描述物质结构中的周期性、分子电子结构的对称性、元素的周期性等等。
对于物理学家来说，对称性甚至是发现自然规律的一把钥匙。
对称性可以被形式化地定义为一个操作下的不变性。
例如，在平面上一个图形的旋转、镜像和平移都不影响其形状和大小，这就是对称性的体现。
在对称操作下不变的对象被称为对称群。
例如，一个正方形的对称群有8个元素，它包括4个旋转和4个镜像操作。
对称群的大小（群的元素个数）等于在该群中的操作数目。
对称群中的元素可以表示为置换符号，它们的乘积可以组成置换群，而置换群恰好是对称群的一个子群。
对于物理学家来说，研究对称性问题可以为他们发现自然规律提供重要线索。
物理学中经常用对称群来描述自然规律。
同时，对称性有利于简化计算。
例如，在研究统计物理问题时，对称性是研究系统能量的简化方法。
三、对称性和群论的应用对称性和群论在物理学中有着广泛的应用。
例如，对于原子和分子的电子结构问题，对称性可以用来预测能级和谱线。
在晶体学中，对称性是判断晶体结构的一种重要手段。
在相对论物理中，对称性和群论用于描述基本粒子和其相互作用的规律。
另外，对称性也在高能物理中使用，例如，对称性的不变性可以帮助研究强相互作用的强子之间的相互作用。
第二章对称性与群论基础
一个节面通过成键原子， 另一个位于成键原子之间
节面通过成键原子
四 化学反应中的轨道对称性
化学键的形成与否取决于参与成键的轨道的对称性，具有相似对称性的相 互作用有利于反应的发生，即是允许的反应。对称性不同的相互作用是禁阻的 反应。对于一个双分子的反应，在反应时，在前线轨道中的电子流向是由一个 分子的最高占据分子轨道流向另一个分子的最低未占据轨道。
综上所述，这两种相互作用方式都是不可能的，说明H2与I2 的作用是双分子反应难以成立。
现在研究表明，H2与I2的反应是一个叁分子自由基反应，I2分 子先离解为I原子，I原子再作为自由基同H2分子反应。
(a)顺式－[Co(en)2Cl2]+ 具有旋光性
(b)反式－[Co(en)2Cl2]+ 没有旋光性
三 原子轨道和分子轨道的对称性
原子轨道或分子轨道 s p d f * * δ 对称性 节面数 节面方位 g o 无节面 u 1 节面通过成键原子 g 2 节面通过成键原子 u 3 节面通过成键原子 g u u g g o 1 1 2 2 无节面 节面位于成键原子之间 节面通过成键原子
C2v E C2 σxz σyz A1 1 1 1 1 B2 1 －1 －1 1
类似地，将py 、pz 进行操作可以得到
E C2 σxz σyz pz→ pz pz pz pz py→ py －py －py py 特征标表
pz py
2.4 对称性在无机化学中的应用 一 分子的对称性与偶极矩判定
分子的偶极矩被用来衡量分子极性的大小。对于多原子分子，它的偶极矩 就是分子中所有分偶极矩的矢量和。
Байду номын сангаас
其中，任何具有一条C2轴，2个对称面和 恒等操作这四种对称操作组合的分子属于 C2v “点群”。
节面通过成键原子
四 化学反应中的轨道对称性
化学键的形成与否取决于参与成键的轨道的对称性，具有相似对称性的相 互作用有利于反应的发生，即是允许的反应。对称性不同的相互作用是禁阻的 反应。对于一个双分子的反应，在反应时，在前线轨道中的电子流向是由一个 分子的最高占据分子轨道流向另一个分子的最低未占据轨道。
综上所述，这两种相互作用方式都是不可能的，说明H2与I2 的作用是双分子反应难以成立。
现在研究表明，H2与I2的反应是一个叁分子自由基反应，I2分 子先离解为I原子，I原子再作为自由基同H2分子反应。
(a)顺式－[Co(en)2Cl2]+ 具有旋光性
(b)反式－[Co(en)2Cl2]+ 没有旋光性
三 原子轨道和分子轨道的对称性
原子轨道或分子轨道 s p d f * * δ 对称性 节面数 节面方位 g o 无节面 u 1 节面通过成键原子 g 2 节面通过成键原子 u 3 节面通过成键原子 g u u g g o 1 1 2 2 无节面 节面位于成键原子之间 节面通过成键原子
C2v E C2 σxz σyz A1 1 1 1 1 B2 1 －1 －1 1
类似地，将py 、pz 进行操作可以得到
E C2 σxz σyz pz→ pz pz pz pz py→ py －py －py py 特征标表
pz py
2.4 对称性在无机化学中的应用 一 分子的对称性与偶极矩判定
分子的偶极矩被用来衡量分子极性的大小。对于多原子分子，它的偶极矩 就是分子中所有分偶极矩的矢量和。
Байду номын сангаас
其中，任何具有一条C2轴，2个对称面和 恒等操作这四种对称操作组合的分子属于 C2v “点群”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正五角十二面体和正三角二十面体构型的分子如B12H122−, B12 等属 Ih 点群。 C60由12个五边形和20个六边形构成，也属 Ih 点群，其五次轴与三次轴的位置如图所示。
第 二 章
a
闭合式[B12H12]2(骨架为 正三角二十面体)
b
图中：C605次轴俯视图（a）； C603次轴俯视图（b）
I3−
如N2, O2, CO2等。
⑦ D5d点群：具有一个Cn轴，n个垂直于Cn轴的C2轴和n个分 第
角对称面σd。由于有σd和C2,所以必有S2n轴。而且当n为奇 二
数时，则还应有i。
俯视图
章
D5d群: 交叉式二茂铁
D2d群：累积式丙二烯
D3d : 乙烷交错型
⑧
Td点群（四面体群）： （与3个C2重合）。
MO对称性与 反应机理
如果知道分子的对称性特征（即点群），就有可能定性地推论它的电子 结构、振动光谱以及其他性质，如偶极矩和光学活性等。
利用对称性原理探讨分子的结构和性质，是认识分 子结构、性质的重要途径，而且使许多繁杂的计算得到 简化，利用对称性也可以判断分子的一些静态性质（例 如：偶极矩，旋光性等）。总之，对称性的概念（群是 其高度概括或抽象）非常重要，在理论无机、高等有机 等课程中经常用到。
分子的对称性（即点对称性）
对称元素
对称操作
n重对称轴（旋转轴） 绕轴一次或多次旋转2π/n
第 二 对章称符号
cn
镜面（反映轴）
平面中的反映
σ
对称中心
所有原子通过中心的反演
i
n重非真旋转轴或旋转 先旋转2π/n,再对垂直于
Sn
反映轴
对称轴的平面反映（旋转
－反映）
恒等操作
E
在这五种操作中， 旋转是实际可实现的具体操作，称为第一类对称操作； 反映、反演、旋转－反映操作只能通过想象中实现,称为第二类对称操作。
旋转
对称操作（symmetry operation）：
能够产生一个与原来图形的等价构型 （在物理上和原图形不可分辨的构 型）的操作，称为对称操作。通过一 次或n次操作使图形完全复原，得到原 图形的恒等构型。
对称元素：旋转轴 对称性操作：旋转
对称元素：赖以进行对称操作的几何元素如点、线、面等。 点操作：是指操作进行时，图像中至少有一个点（质量重心） 不动。适用于组成有限的物体或分子。 空间操作：是指操作进行时，图像中每个点都有移动。 适用于无限的点阵或晶体结构。
H2O2分子中只有一个C2轴， 它与两个相垂直平面成45°
夹角——C2点群。
C3点群
③ Cs点群：仅含有一个镜面σ。{σ, E}
Cl
仅一个对称面即第分
子平面。
二
章
④ Cnv点群：含有一个Cn轴和n个竖直对称面（σV）
H2O分子属 于C2v点群
NH3分子属 于C3v点群
NF3分子属于 C3v点群
CHCl3分子属于C3v点群
子、分子和晶体结构的强有力的工具。在这里我们结合无机化合物分子的
实例，介绍几种最常见的点对称操作群（点群）。
1、群的定义
若干个固定元素的全体，在数学上称为集合，用符号G{a,b,……}表示。 若一个非空集合具有下面四条性质，则称G构成一个群。
(a)封闭性：若a ∈ G,b ∈G,则必有ab = C,C ∈G (b)结合律成立：若a、b、c ∈ G,则a(bc) = (ab)c (c)存在一恒等元素：若a ∈ G, E ∈ G,则Ea = aE = a, E称为恒等元素 (d )存在逆元素：若a ∈ G,则必有b ∈ G，并使得ab = ba = E
反映）。
对称面
对称面
球棍模型
第 二 章
含有竖直轴（通常是主轴）的平面叫做竖直对称面（σv）。 垂直主轴的平面叫做水平对称面（σh）。 通过主轴并平分相邻两个二次轴夹角的平面叫对角对称面（σd ） 。
苯分子
第 二
章
六个竖直对称面
三个为σv,分别通过彼此成对角的碳原子； 三个为σd,分别平分互为对边的C-C键。
而这种复原只意味着分子的新取向与原取向无法区别，而不是
完全相同。假如给每个原子编号，那么新的取向就不会相同。
我们称这类操作为等同操作。
当旋转n次以后，分子中每个原子都回到最 初的位置，即相当于一次C1恒等操作。
E操作使分子恒等不变； Cn操作(n≠1)使分子取向复原。
垂直于分子 平面的C2轴 书写时从左到右，执行操作时从右到左
使原子位置坐标变号。
第 二 章
注意C2操作与i 操作的区别
4、旋转－反映
第
二
如果一个分子绕轴旋转后，再作垂直此轴的平面反映，使分子的章取向与
原来的相重合，则称此分子具有旋转－反映轴(Sn,反轴/非真轴)。
S2 对称轴
反式－1，2－二甲烷乙烯：分子绕C2轴旋转π后，再经垂直于此轴的 平面反映，得到分子与原来的相重合。
在本课程学习阶段，主要要求掌握分子点群的判断 及给出点群指明所包含对称操作（群的元素）等知识 点。
第 二 章 对称性
对称操作和对称元素
主
要
点对称操作群（点群）
内
容
特征标表
对称性和群论的应用
二、对称操作和对称元素
操作（operation）： 不改变分子中各原子间距离使分子几何构 型发生位移的一种动作。
EC2 = C2E = C2
C2−1C2 = C2−1C2 = E
σ xz σ xz
=
E
⇒ σxz
=
σ −1 xz
2、主要点群
第
用几个实例来介绍几类主要的分子点群：
二
① C1点群：除C1(恒等操作)外，无任何对称元素。
章
非对称化合物 ② Cn点群：仅含有一个Cn轴。{Cn, E}
CH3-CCl3 C2点群
⑤ Cnh点群：含有一个Cn轴和一个垂直于Cn轴的面σh。因为 σhCn=Sn,所以Cnh群有Sn轴。当n为偶数时，还有对称中心i。
反式－1，2－二氯乙烯
C2h群: N2F2
C2h点群
C3h群
⑥ Dn点群：具有一个Cn轴和n个垂直于Cn轴的C2轴。
⑥ Dnh点群：具有一个Cn轴，n个垂直于Cn轴的C2轴和一个σh。第
所有的线型分子，如
HCl、CO2和A2型双原子 分子都具有C∞旋转轴。
2、反映
第
如 后果 ，分 能子 在被 另一 一平 半面 （等 映分 象为 ）两 中半与，其任相一同半的中原的子每重个合原，子则通称此过分此子平具面二 章有的一反对映称
面（镜面，σ）。据此而进行的反映操作叫做对称面反映操作（简称为：
如果n为偶数，则会有对称中心i存在。
二 章
D4h点群
D4h群：XeF4
D6h群：苯
D4h群：[Re2Cl8]2−
D3h 群 ：乙烷重叠型
IF7
D5h群
第 称直的线直形线分形子分的子共，同则特含点是有含无有数C个∞垂轴直（C即∞键轴轴的）C2，轴对及于无二 章其数中个对含
C∞轴的σv对称面，此外还含有一个σh对称面和一个对称中心 i。所以它们属于D∞h点群。
化学家们更关心的是微观世界的对称性，即分子、离 子和原子世界的对称性。
微观对象也具有多种多样 的对称性。原子轨道，分子轨 道及分子几何构型都具有某种 对称性，这些对称性是电子运 动状态和分子结构特点的内在 反映。分子的振动模式、某些 化学反应的机理等都涉及对称 性的知识。
弯曲振动
伸缩振动
分子振动模 式的对称性
6、同类对称元素和同类操作
第
如果一个操作能使一个对称元素变成另一个对称元素，那么这些二对称元素
就是同一类对称元素。
章
通过C3转动， 可以使一个σv 变成另一个 σv。
对于旋转，我们把等同而并不恒等的旋转操作归属为同一类。 第
H
H
二
C
− 3
1
章
Cl3
Cl1
Cl2
Cl2
Cl3
Cl1
H C3
C3
Cl1
Cl2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cl3
C3−1 ≡ C3 × C3 (C32 ) 恒等操作
C3−1与C3的关系却不是恒等而是等同操作，即C3−1 ≡ C32 = C3 H 它们属于同一类的操作，可写成2C3, 2是该操作类的阶。
有8个C3操作属于同一类。
H
H H
三、点对称操作群（点群）
第
二
群论是一门比较抽象的数学学科，但它与现代化学结合后，就成章为研究原
一个水平对称面σh——苯的分子平面。
3、反演
第
从分子中任一原子至分子中心连一直线，如果在其延长线的相二等距离处
有一个相同原子，并且对分子中所有的原子都成立。则称此分子章具有对称
中心i。通过对称中心使分子复原的操作叫反演。
具有对称中心的分子，其原子必定俩俩成对地出现（中心原子除外），
它们与对称中心的距离相等但方向相反。因此经由对称中心的反演结果，
5、恒等操作E
第
二
一个分子在操作后，其取向与原来的恒等不变，即分子中的每个章原子都回
到了原来的位置，这种操作为恒等操作。记作E(或I)。
C1操作是 恒等操作
所有的分子都含有C1轴。恒等操作——称为平庸操作，但它在对称群中却 是一个必不可少的元素。
恒等操作与一般的Cn(n≠1)操作不同。
第 二
Cn(n ≠1)旋转：每旋转2π/n角度，分子的取向就复原一次，然 章
4个C3轴，3个C2轴，6个σd
，3个S4
第 二 章
正四面体构型分子都属于此点群。如CH4, PO43−,SO42−,ClO4−。
⑨ Oh点群（正八面体群，立方体群）：4个 C3 ，3个 C4 ，6个 C2 ，6个 σd ，3个 σh，i，3个 S4 ，6个 S6 。