刚度矩阵的性质和存储

! ! !
k ji ! kn1i
! ! !
k jj ! kn1 j
! ! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
kn1n1 ⎥⎦
过虚功原理得到证明。
6
3、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值
由性质(1)可知，任一主对角线上元素kii是使 节点位移Δi为一单位位移，其它节点位移为零时必须 在第i号位移方向施加的力Pi。它的方向自然应与位移 方向相同，因而是正值。
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0 ! kii ! kij ! kim ! 0⎥ i
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
[k ]2n×2n = ⎢0 ! k ji ! k jj ! k jm ! 0⎥ j
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
"
! !
kmi "
! "
kmj "
! "
kmm "
! "
0⎥
"
个节点的节点数大得多，因而，结构刚度矩阵中很大
t
一部分元素是零，即所谓的稀疏矩阵。
9
5、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵
从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知，处于静力 平衡状态的无约束单元可以发生任意的刚体位移。 与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样，无约束结 构的结构刚度矩阵[K]也是奇异矩阵，即[K]的行列 式为零。
⎢
A(16) A(19)⎥ 16
⎢
⎥
⎣
A(18)⎦ 18
221 2
变带宽存贮：按列存贮方式。从左到右，逐列存 放；对每一列，先存主对角线元素，然后由下而上顺 序 存 放 ， 直 到 顶 线 下 第 一 个 元 素 为 止 。 为 避 免 混 淆， 我们把存贮[K]的一维数组称为[A]。
（ Δj =1），其它位移为零时的Pi。
5
2、结构刚度矩阵是对称矩阵
已知单元刚度矩阵是对称矩阵（1.7节），
用单元刚度矩阵组集⎡ k11 k12 k13 ! k1i ! k1 j ! k1n1 ⎤
结构刚度矩阵的
⎢ ⎢
k21
k22
k23
!
k2i
!
k2 j
!
k2
n1
⎥ ⎥
过程又没有破坏 其对称性，结构 刚度矩阵必然也
⎥ ⎥
m
⎢⎣0 ! 0 ! 0 ! 0 ! 0⎥⎦
双行双列
4
结构整体刚度矩阵特性
1、结构刚度矩阵元素的力学意义
⎡ k11 k12 k13 ! k1i ! k1 j ! k1n1 ⎤⎧ Δ1=⎫0 ⎧ P1 ⎫
⎢ ⎢
k21
k22
k23
!
k2i
!
k2 j
!
k2
n1
⎥ ⎥
⎪ ⎪
Δ
2=⎪⎪0
⎪ ⎪
P2
⎪ ⎪
设节点b发生单位位移Δj=1，其它位移为零时， Δj只
能在与节点b有直接联系的 q 、 r节点引起节点力，
不能在其它节点引起节点力。所以式中，只有和q、p、
r、b节点位移的相关元素才不为零，其余的元素
都是零元素。
s
q
b bʹ′ Δj=1
其它各列的情况也是类似的。 结构的节点总数通常c 都比直接p 环绕于任r何一
17
例：计算下图半带宽。
结点数N=91，总刚[K]中的元素总数为： 82（91×2）×（91 ×2 ）=33124
最大半带宽UBW=(7+1) ×2=16，半带宽存储矩阵元素总数为182 ×16=2912，约方阵 元素的8.8%。
18
（2） 变带宽存贮（一维压缩存贮）
12
• 如果修改各结点编 ⎡1 4⎤ 号如图。则用矩阵： ⎢4 5⎥ G = ⎢⎢2 5⎥⎥ ⎢5 6⎥ ⎢⎣3 6⎥⎦
n 把各单元的子块搬 入总刚度矩阵K中 的相应位置。
• 1
5 Ki(i1)
0
0
K(3) ii
v 单元的子块搬入
00
K = 总刚度矩阵中的
位置，完全取决 于结构结点编号。 对同一结构，如 果改变了结点的
的矩阵才能相加。膨胀后，原有节点号对应位置的
元素不变，而其它元素均为零。
ne
ne
∑ ∑ 对于整体结构，有: [k]n1×n1{δ }n1×1 = {F}n1X1
e=1
e=1
2
[K ]{Δ} = {P} （1-50）
式中：[K]为整体刚度矩阵，{Δ}为整体节点位移 列阵；{P}为整体等价节点荷载列阵。如下：
刚度矩阵的性质和存储
整体刚度矩阵
n 假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在整 体坐标系下，对于每个单元均有：
[k]{δ} = {F}
将上述这些方程集合起来（整体坐标下叠加），
便可得到整个结构的平衡方程。为此，需要将[k]、
{δ}、{F}体积膨胀，分别扩大为n1×n1、n1×1和n1×1
⎥
N→ ⎣
×⎦
列 号 1
JC
方阵形式
行号
UBW
1 → ⎡× 0 0 × ×⎤
⎢⎢× 0 0 × 0⎥⎥
⎢× × × × ×⎥
IR → ⎢⎢× × 0 × ×⎥⎥
⎢× × 0 × 0⎥
⎢⎢× × 0 0 0⎥⎥
⎢× × 0 0 0⎥
⎢ N→ ⎣×
0
0
0
0⎥⎦
1
JC-­‐(IR-­‐1)
! !
kin1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
k j1 !
k j2 !
k j3 !
! !
k ji !
! !
k jj !
! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣kn11 kn12 kn13 ! kn1i ! kn1 j ! kn1n1 ⎥⎦
7
4、结构刚度矩阵是一个稀疏矩阵
稀疏矩阵指：存在大量零元素。非零元素稀疏
排列。
⎢ k31
⎢ ⎢
!
k32 !
k33 !
! !
k3i !
! !
k3 j !
! !
k3n1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ki1
⎢ ⎢
!
ki 2 !
ki3 !
! !
kii !
! !
kij !
! !
kin1 !
⎥ ⎥ ⎥
是对称的。当然， 对称性也可以通
⎢ ⎢ ⎢
k j1 !
⎢⎣kn11
k j2 ! kn1 2
k j3 ! kn1 3
• 一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含 了许多零元素。存贮每一行的第一个非 零元素到主对角线元素。
14
（1）半带宽存贮法
行号
UBW
1 → ⎡× 0 0 × ×
⎤
⎢ ⎢
×00×0
⎥ ⎥
⎢
× × × × × ⎥
⎢ IR → ⎢
× × 0 × ×⎥⎥
⎢
× × 0 ×⎥
⎢ ⎢
× × 0⎥⎥
⎢
× ×⎥
⎢
16
举例
B = 2(4-­‐1+1) = 8
B = 2(6-­‐1+1) = 12
Advantages of 2D Storage 1)Space-­‐saving; 2)Easy to be computerized Disadvantages of 2D Storage Enormous storage is required when local bandwidth is large.
⎢ ⎢ ⎢
k j1 !
k j2 !
k j3 !
! !
k ji !
! !
k jj !
! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎪ ⎪ ⎪
Δ j=⎪1
!
⎪ ⎪
⎪ Pj ⎪
⎪⎪!
⎪ ⎪
⎢⎣kn11
kn1 2
kn1 3
! kn1i
! kn1 j
!
kn1n1
⎥ ⎦
⎪⎩Δ
n1=⎪⎭0
⎪⎩Pn1 ⎪⎭
结构刚度矩阵中的任一元素kij是Δj为单位位移
K (4) ij
• 5
K (5) ji
0
K (4) ji
K K (4) (5) jj jj
• 6
u 总刚存贮
• 全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存 贮空间，很少采用。K[i,j]
• 对称三角存贮法：存贮上三角或下三角 元素。
• 半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三 角形）半带宽以内的元素 。
等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真 研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在 平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作 量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、 不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存贮 可以实现（也称一维数组存贮） 。变带宽存贮编程 技巧要求较高，程序较长。
⎢ ⎢×
0
0
0
×
×
×
×
0
⎥ ×⎥
⎢0 0 0 × × 0 × 0 × 0⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 0 0 0 0 0 0 × 0 ×⎥⎦
矩阵的每一列都有很多零元素。考察矩阵中第j列。
8
[ ] k1 j k2 j k3 j ! kij ! k jj ! kn1 j T （1-52）
任一元素kij是Δj=1（其它Δ=0）引起的Pi（i=1、2…）
6、结构刚度矩阵是常量矩阵 结构刚度矩阵是常量矩阵。结构的节点力和节点
位移成线性关系都是基于弹性理论的结果。
10
11
整体刚度矩阵[K]的特性 1) 对称性Symmetric; 2) Kii>0; 3) 稀疏 Sparse; 4) 带状矩阵 Banded if node are properly
⎢⎣
K88 ⎥⎦
顶线以上零元素无须存贮，仅顶线以下元素。
20
u 一维数组[A]存贮刚度矩阵[K]
⎡K11 K12 0 K14 0 0 0 0 ⎤
⎢ ⎢
K22 K23 0
0
0
0
0
⎥ ⎥
⎢
⎢
K
=
⎢ ⎢
⎢
⎢
K33 K34 0 K36 0
0 ⎥
K44 K45 K46 0
0
⎥ ⎥
K55 K56
0
K58
⎥ ⎥
⎢ k31
⎢ ⎢
!
⎢ ki1
⎢ ⎢
!
k32 !
ki 2 !
k33 !
ki3 !
! ! ! !
k3i !
kii !
! ! ! !
k3 j !
kij !
! ! ! !
k3n1 !
kin1 !
⎥⎪ ⎥⎪ ⎥⎥⎥⎥⎪⎪⎪⎪⎨
Δ3=⎪0 !Δi=⎪⎪⎪⎬0 ! ⎪
⎪
=
⎪ P3
⎪ ⎪⎪ ⎨
! Pi
⎪! ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪
19
u 方阵形式的刚度矩阵[K] UBW=4
顶线
⎡K11 K12 0 K14 0 0 0 0 ⎤
⎢ ⎢
K22 K23 0
0
0
0
0
⎥ ⎥
⎢
⎢
K
=
⎢ ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
K33 K34 0 K36 0 0 ⎥
K44 K45 K46 0
0
⎥ ⎥
K55 K56
0
K58
⎥ ⎥
对 称
K66 K67 0 ⎥
K77
K
78
⎥ ⎥
⎡× 0 × × 0 0 0 × 0 0⎤
⎢⎢0 × × 0 0 × 0 0 0 0⎥⎥
⎢× × × 0 × 0 × 0 0 0⎥
⎢⎢× 0 0 × × × × 0 × 0⎥⎥
⎢0 0 × × × 0 0 × × 0⎥
⎢⎢0 × 0 × 0 × 0 × 0 0⎥⎥
⎢0 0 × × 0 0 × × × 0⎥ Nhomakorabeane
ne
∑ ∑ [K]n1×n1 = [k],[Δ]n1×1 = {δ},{P}n1×1 = {F}
e=1
e=1
组装方法：建立一个体积为n1×n1的方阵，按单
元序号依次把结构坐标单元刚度矩阵的元素放入该
方阵中。
放入方法：（1）按单元节点编码对号入
座；
（2）同位置元素累
加。
3
例：平面三角单元
i
j
m
⎡0 ! 0 ! 0 ! 0 ! 0⎤
numbered; 5) 奇异 Singular; 6) 正定 （排除刚体位移）Posi@ve definite if rigid
body displacements are excluded; 7) 各列相加等于零 Each column sums to zero.
等带宽形式
15
方阵存贮和半带宽存贮地址关系
存贮方式 方阵存贮 等带宽存贮
行号 IR IR
列号 JC JC-IR+1
u 半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的最 大差值是d，则最大半带宽为UBW：
UBW = (d +1) × ndf ,ndf为一个结点的自由度数
u 结点编号：欲使最大半带宽UBW最小，必须注 意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点 号差最小。
⎡ k11 k12 k13 ! k1i ! k1 j ! k1n1 ⎤
⎢ ⎢
k21
k22
k23
!
k2i
!
k2 j
!
k2n1
⎥ ⎥
⎢ k31
⎢ ⎢
!
k32 !
k33 !
! !
k3i !
! !
k3 j !
! !
k3n1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ki1
⎢ ⎢
!
ki 2 !
ki3 !
! !
kii !
! !
kij !
K66 K67 0 ⎥
⎢ ⎢
K77
K78
⎥ ⎥
⎢⎣
K88 ⎥⎦
MAXA
⎡ A(1) A(3)
A(9)
⎤ 1
⎢ ⎢
A(2) A(5) A(8)
⎥ ⎥
2
⎢
A(4) A(7)
A(15)
⎥ 4
⎢
A
=
⎢ ⎢
A(6) A(11) A(14) A(10) A(13)
⎥ ⎥
6
A(21)⎥ 10
⎢ ⎢
A(12) A(17) A(20)⎥⎥ 12
K (1) ji
0
0
K (3) ji
编号，则总刚度 矩阵完全不同。
00
2
06
K (1) ij
00
K(5) ii