高一数学必修一第一章
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(4) 如果f(x)是由几个数学式子构成时， 那么函数的定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合。
.
21
1.3.1 函数的最大（小）值
.
22
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域 为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
(2) 描述法－用集合所含元素的共同特征表示 集合的方法.
.
6
(2) 描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合 元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画 一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具 有的共同特征.
形 :{ 式 | 如 }
.
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2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
.
24
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在 x0∈I，使得f(x0) = M；
.
19
要研究函数，我们必须了解区间
区间：设a,b是两个实数，且a<b，规定：
定义
名称
符号
几何表示
{x|a≤x ≤b} 闭区间
[a,b]
{x|a<x<b} 开区间
(a,b)
{x|a ≤x<b} 左闭右开区间[a,b)
{x|a<x ≤b} 左开右闭区间(a,b]
.
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1.求函数的定义域方法:
（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R （2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合 （3）二次根式时，则函数定义域是使根 号内的式子大于0的实数的集合
.
12
(1) AA A (2) A A (3) ABBA (4) AAB,BAB, ABAB (5) AB则ABB
.
13
4.补集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常 记作U.
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简 称为集合A的补集.
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的， 即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
.
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（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的
方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
第一章 集合与函数概 念
1.1 集合
.
1
一．集合的含义
⑴１到20以内的所有质数; ⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有
人造卫星; ⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一 些元素组成的总体叫做集合(简称集)．
.
2
2．集合中元素具的有几个特征
⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当 然，我们所说的“一些元素”是确定的．
.
4
4．元素与集合之间的关系
❖ 如果 a是集合Ａ中的元素，就说a属于集合
Ａ，记作 aA ；
❖ 如果 a不是集合Ａ中的元素，就说 a属于集
合Ａ，记作aA ；
例如，Ａ＝｛所有能被３整除的整数｝ 当a6时,aA 当a7时,aA
.
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二．集合的几种表示方法
⑴ 列举法－将所给集合中的元素一一列举出 来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号 分开．
y=f(x)， x A
（1）x —— 自变量
（2）A ——定义域
（3）值域
.
17
函数的表示法
就是用数学表达式表示两个变量之 间的对应关系。
就是用图Baidu Nhomakorabea表示两个变量之 间的对应关系。
就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系。
.
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映射
一般地，我们有： 设A、B是非空集合，如果按照某种确定的
对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f： A→B为从集合A到集合B的一个映射。
例如: A={1~20以内所有质数}
⑵ 无限集--------含有无限个元素的集合叫无 限集
例如: B={不大于3的所有实数}
.
9
1.1.3 集合的基本运算
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作 “A并B”).即
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
.
7
(3) 图示法-----画一条封闭曲线,用它的内部来 表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的 抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然 可以用图示法来表示. 如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:
A 1 2345
.
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*有限集与无限集*
⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有 限集
记 作 C U A { x |x U ,且 x A }
.
14
补集可用Venn图表示为:
U A
CUA
.
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.
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一般地，我们有：
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 ，记作：
.
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2.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有 元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 A∩B,(读作“A交B”),即
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
.
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3.并集与交集的性质
(1) A A A (2) A (3) A B B A (4) A B A, A B B (5) A B 则 A B A
⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果 出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个， 即集合中的元素是不重复出现的．
⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．
.
3
3.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表 示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中 的元素．
❖ 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ ❖ 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N*或N ❖ 全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ ❖ 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ ❖ 全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ
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1.3.1 函数的最大（小）值
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1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域 为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
(2) 描述法－用集合所含元素的共同特征表示 集合的方法.
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(2) 描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合 元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画 一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具 有的共同特征.
形 :{ 式 | 如 }
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2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
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注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在 x0∈I，使得f(x0) = M；
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要研究函数，我们必须了解区间
区间：设a,b是两个实数，且a<b，规定：
定义
名称
符号
几何表示
{x|a≤x ≤b} 闭区间
[a,b]
{x|a<x<b} 开区间
(a,b)
{x|a ≤x<b} 左闭右开区间[a,b)
{x|a<x ≤b} 左开右闭区间(a,b]
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1.求函数的定义域方法:
（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R （2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合 （3）二次根式时，则函数定义域是使根 号内的式子大于0的实数的集合
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(1) AA A (2) A A (3) ABBA (4) AAB,BAB, ABAB (5) AB则ABB
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4.补集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常 记作U.
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简 称为集合A的补集.
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的， 即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
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（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的
方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
第一章 集合与函数概 念
1.1 集合
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一．集合的含义
⑴１到20以内的所有质数; ⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有
人造卫星; ⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一 些元素组成的总体叫做集合(简称集)．
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2．集合中元素具的有几个特征
⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当 然，我们所说的“一些元素”是确定的．
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4．元素与集合之间的关系
❖ 如果 a是集合Ａ中的元素，就说a属于集合
Ａ，记作 aA ；
❖ 如果 a不是集合Ａ中的元素，就说 a属于集
合Ａ，记作aA ；
例如，Ａ＝｛所有能被３整除的整数｝ 当a6时,aA 当a7时,aA
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二．集合的几种表示方法
⑴ 列举法－将所给集合中的元素一一列举出 来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号 分开．
y=f(x)， x A
（1）x —— 自变量
（2）A ——定义域
（3）值域
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函数的表示法
就是用数学表达式表示两个变量之 间的对应关系。
就是用图Baidu Nhomakorabea表示两个变量之 间的对应关系。
就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系。
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映射
一般地，我们有： 设A、B是非空集合，如果按照某种确定的
对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f： A→B为从集合A到集合B的一个映射。
例如: A={1~20以内所有质数}
⑵ 无限集--------含有无限个元素的集合叫无 限集
例如: B={不大于3的所有实数}
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1.1.3 集合的基本运算
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作 “A并B”).即
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
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(3) 图示法-----画一条封闭曲线,用它的内部来 表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的 抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然 可以用图示法来表示. 如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:
A 1 2345
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*有限集与无限集*
⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有 限集
记 作 C U A { x |x U ,且 x A }
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补集可用Venn图表示为:
U A
CUA
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15
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一般地，我们有：
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 ，记作：
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2.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有 元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 A∩B,(读作“A交B”),即
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
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3.并集与交集的性质
(1) A A A (2) A (3) A B B A (4) A B A, A B B (5) A B 则 A B A
⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果 出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个， 即集合中的元素是不重复出现的．
⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．
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3.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表 示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中 的元素．
❖ 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ ❖ 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N*或N ❖ 全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ ❖ 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ ❖ 全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ