高一数学必修一第一章
高一数学必修1第一章课件：1.1.1集合的含义与表示 课件(36张)
(2)列举法和描述法
列举法
描述法
把集合的元一素一列举
用集合所含元素的
_____________出来，并用
共同特征
概念
_______________表示集合的
花括号“{ }”括起来表示集
方法
合的方法
一般
形式 {a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ ) (2)高一·二班“数学成绩好的同学”能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) (4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合．(√ )
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A
3.常用的数集及其记法
常用的 自然数 数集 集 记法 N
正整数集 N*或N＋
有理数
整数集
实数集
集
Z
QR
4.集合的表示法 (1)自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述 清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的， 不能叙述成“正方形”．
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝___4_____，b＝ __－__1____．
集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)新华中学高一年级全体学生； (2)我国的大河流； (3)不大于 3 的所有自然数；
(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于 1 的点．
(链接教材P3思考) [解] (1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标 准；(3)能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合．
高一数学必修1第一章知识点总结
高一数学必修1第一章知识点总结高一数学必修1第一章主要包括三个部分：集合论、函数与映射、数列与数列的极限。
下面将对这三个部分进行总结。
一、集合论1. 集合的概念：集合是由一些确定的事物（称为元素）构成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
3. 集合的运算：并集、交集、补集、差集、元素的判断和包含关系。
4. 集合的性质：幂集、集合的基数和集合的运算律。
二、函数与映射1. 函数的定义与表示：函数是一个对应关系，每个输入都有唯一的输出。
2. 映射的定义与表示：映射是一个集合到另一个集合的对应关系。
3. 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、判定性质等。
4. 反函数与复合函数：反函数是一个函数的逆过程，复合函数是两个函数的结合。
三、数列与数列的极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数。
2. 等差数列与等比数列：等差数列是指每一项与前一项之差都相等的数列，等比数列是指每一项与前一项之比都相等的数列。
3. 数列的通项公式与递推公式：通项公式是通过数列项的位置计算项的值，递推公式是通过前一项计算后一项的值。
4. 数列的极限：数列极限是数列中项的无限逼近某个数的过程，包括数列的有界性、极限存在与不存在以及数列极限的计算。
综上所述，高一数学必修1第一章主要是基础的数学知识点。
通过学习集合论、函数与映射以及数列与数列的极限，可以奠定后续数学学习的基础。
这些知识点在高中数学中会贯穿始终，为后续的学习打下坚实的基础。
因此，学生应该重视这些知识点的学习，理解其概念、运算法则，尽量多做相关习题，从而提高数学的综合素养和解题能力。
同时，也应注重数学的实际运用，将所学的数学知识应用到现实生活中，培养数学思维和解决问题的能力。
新人教版高一数学必修一目录
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第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第三章函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用（一）
第四章指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用（二）
第五章三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质5.5 三角恒等变换
5.6 函数y=Asin（ωx ＋φ）5.7 三角函数的应用。
高一数学必修1 数学。第一章。完整知识点梳理大全(最全)
高一数学必修1 数学。
第一章。
完整知识点梳理大全(最全)集合与函数概念集合是数学中的基本概念之一，它包含了一些确定性、互异性和无序性的元素。
常见的数集有自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集等。
集合中的元素与集合之间存在着一些关系，例如一个元素属于一个集合，可以表示为a∈M，而不属于则表示为a∉M。
集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法和图示法等。
其中，描述法是通过{x|x具有的性质}来表示集合，而图示法则是用数轴或XXX来表示集合。
集合还可以分为有限集、无限集和空集。
空集是不含有任何元素的集合，记为∅。
集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等等。
子集指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集，但不等于该集合。
如果两个集合中的元素完全相同，则它们是相等的。
集合的基本运算有交集、并集和补集等。
交集是指两个集合中共同存在的元素所组成的集合，而并集则是指两个集合中所有的元素所组成的集合。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素所组成的集合。
最后，含有绝对值的不等式和一元二次不等式的解法也是数学中的重要知识点。
对于含有绝对值的不等式，可以通过分情况讨论来求解。
而对于一元二次不等式，则可以通过求解二次函数的根来确定其解集。
x|>a (a>0)x|c (c>0)XXX:x|-a<x<a}x|xa}We can treat ax+b as a whole and transform it into the form of |x|a (a>0) XXX.Summary of Knowledge Points in Chapter 1 of High School Mathematics2.Solving Quadratic InequalitiesDiscriminantΔ>0Δ=b-4acQuadratic ny=ax^2+bx+c (a>0) Δ=Δ<0XXXax^2+bx+c=0 (a>0) Ox=(-b±√Δ)/(2a)1,2where x1<x2)x|xx2}x|x1<x<x2}x1=x2=-b/2an of No Real Root ax^2+bx+c>0 (a>0) n setx|x≠-b/2a}Rax^2+bx+c0)n set1.2 n and Its XXX1.2.1 Concept of n1.A n is a correspondence een two non-empty sets A and B。
高中高一数学必修1
高中高一数学必修１第一章集合与函数概念、一、集合有关概念１、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
２、集合的中元素的三个特性：１．元素的确定性；２．元素的互异性；３．元素的 无序性说明：（１）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者 是或者不是这个给定的集合的元素。
（２）任何一个给定的集合中，任何两个元素都 是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
（３）集合中的元素是 平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样 ，不需考查排列顺序是否一样。
（４）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和 整体性。
３、集合的表示 方法：列举法、描述法、图像法。
４、集合的分类：１．有限集２．无限集３．空集含有有限个元素的集合含 有无限个元素的集合不含任何元素的集合例：｛ｘ｜ｘ２＝－５｝整数集Ｚ有理数集Ｑ 实数集Ｒ（有的带有正号的，就是指在该范围内正数部分，目前只需要了解这么多）二、集合间的基本关系1不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定 ：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
2.元素之间是包含的关系，而集合与集合间是属于的关系三、集合的运算１．交 集的定义：一般地，由所有属于Ａ且属于Ｂ的元素所组成的集合，叫做Ａ，Ｂ的交集 ．记作Ａ∩Ｂ（读作”Ａ交Ｂ”），即Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ，且ｘ∈Ｂ｝．２、并集的定义：一 般地，由所有属于集合Ａ或属于集合Ｂ的元素所组成的集合，叫做Ａ，Ｂ的并集。
记 作：Ａ∪Ｂ（读作”Ａ并Ｂ”），即Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ，或ｘ∈Ｂ｝．３、交集与并集的性质： Ａ∩Ａ＝Ａ，Ａ∩φ＝φ，Ａ∩Ｂ＝Ｂ∩Ａ，Ａ∪Ａ＝Ａ，Ａ∪φ＝Ａ，Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａ．４、全集 与补集注意：在我们考试时，做题总把并集当作交集做，考试要注意。
第二章函数一、函数的有关概念１．函数的概念：设Ａ、Ｂ是非空的数集，如果 按照某个确定的对应关系ｆ，使对于集合Ａ中的任意一个数ｘ，在集合Ｂ中都有唯 一确定的数ｆ（ｘ）和它对应，那么就称ｆ：Ａ→Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的一个函数． 记作：ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ａ．其中，ｘ叫做自变量，ｘ的取值范围Ａ叫做函数的定义域； 与ｘ的值相对应的ｙ值叫做函数值，函数值的集合｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈Ａ｝叫做函数的值域 ．２如果只给出解析式ｙ＝ｆ（ｘ），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；３函数的定义域、值域要写成集合或区间的 形式．定义域补充能使函数式有意义的实数ｘ的集合称为函数的定义域求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（１）分式的分母不等于零；（２）偶次方根的被开方数不小于零；（３）对数式的真数必须大于零；（４）指数、对数式的底必须大于零且不等于１．（５）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的．那么，它的定义域是使各部分都有意义的ｘ 的值组成的集合．（６）指数为零底不可以等于零（６）实际问题中的函数的定义域 还要保证实际问题有意义．（又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
高一数学必修一第一章知识点梳理
高一数学必修一第一章知识点梳理（原创版）目录1.必修一第一章的背景和重要性2.第一章的主要知识点3.知识点的具体内容和理解方法正文【必修一第一章的背景和重要性】高一数学必修一的第一章是整个高中数学学习的基础，也是高中数学的重要组成部分。
本章的主要内容是代数式和方程式，它们是数学中常见的表达方式，也是解决许多数学问题的关键。
因此，深入理解和掌握本章的知识点对于学生来说是至关重要的。
【第一章的主要知识点】第一章的主要知识点包括代数式、方程式和一元一次方程式。
【知识点的具体内容和理解方法】1.代数式代数式是由数、字母和运算符号组成的式子。
它是数学中常见的表达方式，也是解决许多数学问题的关键。
要理解代数式，我们需要掌握以下几个概念：（1）数：数是代数式中最基本的元素，它可以是整数、分数、小数或无理数。
（2）字母：字母是代数式中的变量，它可以表示数或量。
字母通常用 a、b、c 等表示。
（3）运算符号：运算符号是代数式中表示运算的符号，如+、-、×、÷等。
2.方程式方程式是含有未知数的等式。
它是代数式的一种，也是解决许多数学问题的关键。
要理解方程式，我们需要掌握以下几个概念：（1）未知数：未知数是方程式中的变量，它表示一个数或量。
（2）等式：等式是表示左右两边相等的式子。
（3）解方程：解方程是求方程式中未知数的过程。
3.一元一次方程式一元一次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的方程式。
它是方程式的一种，也是解决许多数学问题的关键。
要理解一元一次方程式，我们需要掌握以下几个概念：（1）一元：一元是指方程式中只含有一个未知数。
（2）一次：一次是指未知数的次数是 1。
（3）解一元一次方程：解一元一次方程是求一元一次方程式中未知数的过程。
高一数学必修一第一章知识点梳理
高一数学必修一第一章知识点梳理
（最新版）
目录
1.必修一第一章概述
2.第一章主要知识点
2.1 集合与基本初等函数
2.2 函数的性质与图像
2.3 三角函数
2.4 指数函数和对数函数
2.5 解析几何初步
正文
【必修一第一章概述】
本章是高中数学必修一的第一章，主要涉及的知识点包括集合与基本初等函数，函数的性质与图像，三角函数，指数函数和对数函数，解析几何初步等。
这些知识点是高中数学的基础，对于后续的学习有着重要的影响。
【第一章主要知识点】
2.1 集合与基本初等函数
这一部分主要介绍了集合的概念及其运算，以及基本初等函数，如一次函数、二次函数、正弦函数、余弦函数等。
这些都是高中数学的基本知识，需要我们熟练掌握。
2.2 函数的性质与图像
这一部分主要讲述了如何通过函数的性质来画出函数的图像，以及如何通过函数的图像来推导函数的性质。
这对于理解函数的性质和解决实际
问题都有着重要的作用。
2.3 三角函数
三角函数是初中数学的知识，但在高中数学中也有着重要的应用。
本部分主要介绍了正弦函数、余弦函数、正切函数等基本三角函数的性质和图像。
2.4 指数函数和对数函数
指数函数和对数函数是高中数学的重要内容，本部分主要介绍了它们的性质、图像以及如何进行运算。
2.5 解析几何初步
解析几何是高中数学的重要内容，本部分主要介绍了解析几何的基本概念和方法，如点斜式、截距式等。
【结束语】
高中数学必修一第一章的知识点是高中数学的基础，我们需要对其进行深入的理解和掌握。
高一数学必修一知识点
高一数学必修第一册知识点第一章集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示，元素三大性质：互异性，确定性，无序性．2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示．3集合相等：两个集合B A ,的元素一样，记作B A ．4元素与集合的关系：①属于：A a ;②不属于：A a ．5常用的数集及其记法：自然数集N ；正整数集 N N 或*；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R ．6集合的表示方法：①列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；②描述法：把集合中所有具有共同特征)(x P 的元素x 所组成的集合表示为})(|{x P A x 的方法；③图示法(Ve nn 图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．7集合间的基本关系：子集：对于两个集合B A ,，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合A 的子集，记作，读作A 包含于B ；真子集：如果B A ，但存在元素B x ，且A x ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ，读作A 真包含于B ．8空集：不含任何元素的集合，用 表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子集．9集合的基本运算：并集},|{B x A x x B A 或 ；交集},|{B x A x x B A 且 ；补集},|{A x U x x A C U且(U 为全集，全集是含有所研究问题中涉及的所有元素)．运算性质：B A B B A ；B A A B A ；A A ； A ；U C U C A A C C U U U U ,,)(，)()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C UU U U U U ．10充分条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，p 可以推出q ，记作q p ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；p 是q 的条件的四种类型：若q q p , p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p p q , q ，则p 是q 的必要充分不条件；若q p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．11全称量词及全称量词命题：短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中叫做全称量词，并用符号 表示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号 表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否定：全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质：①对称性a b b a ；②传递性,a b b c a c ；③可加性a b a c b c ；④可乘性,0a b c ac bc ，,0a b c ac bc ；⑤同向可加性,a b c d a c b d ；⑥同向可乘性0,0a b c d ac bd ；⑦可乘方性 0,1nna b a b n n ；⑧可开方性 0,1nna b ab n n．⑨可倒数性bab a 11．2重要不等式：若R b a ,，则ab b a 222，当且仅当b a 时等号成立．3基本不等式：若0a ，0b ，则2a b ab，即2abab，当且仅当b a 时等号成立．4不等式链：若0a ，0b ，则baabbab a1122222，当且仅当b a 时等号成立；一正二定三相等．5一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．6一元二次不等式的解法：二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac0 0 0 二次函数2y a x b x c0a的图象一元二次方程2a xb x 0c0a的根有两个相异实数根1,22b x a12x x 有两个相等实数根122bx x a没有实数根一元二次不等式的解集20a x b x c 0a 12x xx x x 或2bx xaR2a xb x c0a12x x x x第三章函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设B A ,是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 与它对应，那么就称B A f :为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ),(，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f 叫做函数的值域，值域是集合B 的子集．2函数的三要素：定义域、对应关系、值域．求函数定义域的原则：(1)若 f x 为整式，则其定义域是R ；(2)若 f x 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；(3)若 f x 是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；(4)若 0f x x ，则其定义域是 0x x ；(5)若 0,1xf x aaa ，则其定义域是R ；(6)若 lo g 0,1af x x aa ，则其定义域是 0xx；(7)若x x f t a n )( ，则其定义域是},2|{Z k k x x；求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数．6函数的单调性：(1)单调递增：设任意D x x 21,(I D ,I 是 f x 的定义域)，当12x x 时，有12()()f x f x .特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意D x x 21,(I D ,I 是 f x 的定义域)，当12x x 时，有12()()f x f x.特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间．8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数)(x f y 的定义域为I ，如果存在实数M 满足:I x ,都有))(()(M x f M x f ；I x 0使得M x f )(0，那么称M 是函数的最大(小)值．10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数)(x f y 的定义域为I ，如果I x ，都有I x ，且)()(x f x f ，那么函数叫做偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数)(x f y 满足|)(|)()(x f x f x f ；奇函数：一般地，设函数)(x f y 的定义域为I ，如果I x ，都有I x ，且)()(x f x f ，那么函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点对称；若奇函数)(x f y 的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f .11幂函数：一般地，函数 x y 叫做幂函数，其中x 是自变量， 是常数．12幂函数 f x x 的性质：①所有的幂函数在 0, 都有定义，并且图象都通过点 1,1；②如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在区间 0, 上是增函数；③如果0 ，则幂函数的图象在区间 0, 上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于 时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；④在直线1 x 的右侧，幂函数图象“指大图高”；⑤幂函数图象不出现于第四象限．第四章指数函数与对数函数1、n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)若nx a ，则 n na n xa n为奇数为偶数；(2)n n a n a n a为奇数为偶数；(3)()nna a ；(4)*(0,,,1)mnmn a a am n N n 且；(5)*1(0,,1)m nnmaam n N n a,且；(6)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.(7) 0,,r s r s a a a a r s R ；(8) ()0,,r s r s a a a r s R ；(9) ()0,0,,r r r ab a b a b r s R .2、对数、对数运算性质(1) lo g 0,1x a a N x N a a ；(2) lo g 100,1aa a ；(3) lo g 10,1aaa a ；(4)； lo g 0,1a NaNaa ；(5) lo g 0,1maam a a ；(6) lo g ()lo g lo g 0,1,0,0aaaM N MN aa ；(7) lo g lo g lo g 0,1,0,0aaaM MN aa N；(8) lo glo g 0,1,0naaMn M aa ；(9)换底公式 lo g lo g 0,1,0,0,1lo g c a c b b aa b c c a；(10)l o g l o g 0,1,,*mna a n bb aa n m Nm；(11) 1lo g lo g 0,1,0,naa MM aa M n R n；(12) lo g lo g lo g 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c .3、指数函数)1,0( a a a y x且及其性质：①定义域为 , ；②值域为 0, ；③过定点 0,1；④单调性：当1a 时，函数 f x 在R 上是增函数；当01a 时，函数 f x 在R 上是减函数；⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．4、对数函数)1,0(lo ga ax y a且及其性质：①定义域为 0, ；②值域为 , ；③过定点 1,0；④单调性：当1a 时，函数f x 在 0, 上是增函数；当01a 时，函数 f x 在 0, 上是减函数；⑤在直线1 x 的右侧，对数函数的图象“底大图低”．5指数函数xa y 与对数函数)1,0(lo g a a x y a且互为反函数，它们的图象关于直线x y 对称．6不同函数增长的差异：线性函数模型)0( k b kx y 的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数函数模型)1( a a y x的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸”状态；对数函数模型)1(lo g a x y a的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长速度平缓；幂函数模型)0( n x y n的增长速度介于指数函数和对数函数之间．7函数的零点：在函数)(x f y 的定义域内，使得0)( x f 的实数x 叫做函数的零点．8零点存在性定理：如果函数 f x 在区间 ,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有0f a f b ，那么函数y f x在区间 ,a b 内至少有一个零点，即存在 ,c a b ，使得0f c ，这个c 也就是方程 0f x 的根.9二分法：对于区间],[b a 上图象连续不断且 0f a f b 的函数)(x f y，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定精确度 ，用二分法求函数)(x f y 零点0x 近似值的步骤：⑴确定零点0x 的初始区间 ,a b ，验证 0f a f b ；⑵求区间 ,a b 的中点c ；⑶计算)(c f ，并进一步确定零点所在的区间；①若0)( c f ，则c 就是函数的零点；②若0)()( c f a f (此时),(0c a x )，则令c b ；③若0)()( b f c f (此时),(0b c x )，则令c a ；⑷判断是否达到精确度 ：若a b ，则得到零点的近似值a (或b )；否则重复上面的⑵至⑷.第五章三角函数1任意角的分类：按终边的旋转方向分：正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的集合为 36036090,k k k ;第二象限角的集合为 36090360180,k k k ;第三象限角的集合为 360180360270,k k k ;第四象限角的集合为360270360360,k k k 角 的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限终边在x 轴非负半轴的角的集合},2|{Z k k ；终边在x 轴非正半轴的角的集合},2|{Z k k ；终边在y 轴非负半轴的角的集合},22|{Z k k；终边在y 轴非正半轴的角的集合},22|{Z k k；终边在x 轴的角的集合},|{Z k k ；终边在y 轴的角的集合},2|{Z k k；终边在坐标轴的角的集合},2|{Z kk；2终边相同的角：与角 终边相同的角的集合为 360,k k ．3弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．4角度与弧度互化公式：2360 ，1180 ，180157.3．5扇形公式：半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是lr ．若扇形的圆心角为 为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r ，2Cr l ，21122S l rr．6三角函数的概念：设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点P 的坐标是 ,x y ，它与原点的距离是 220r r xy，则si n y r，c os x r， t a n 0y xx．7三角函数的符号：一全正二正弦三正切四余弦．8记忆特殊角的三角函数值：15 30 45 60759012013515018027036012643125 232 43 65232 sin 426212223426123222101c os4262322214260212223101t a n 321332不存在3133不存在9同角三角函数的基本关系：221si n c os 1 ， 2222si n 1c os ,c os 1si n ；si n 2t a n c ossi n sinta n c os ,c os t a n．10诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限．1si n 2si n k ， c os 2c os k ， t a n 2t a n k k ．2si n si n， c os c os ， t a n t a n ． 3si n si n ， c os c os ， t a n t a n ． 4si n si n， c os c os ， t a n t a n ．5si n c os 2，c os si n 2 ． 6si n c os 2 ，c os si n 2．11三角函数的图象与性质：si n yxc os yxt a n yx图象定义域RR,2x xk k值域1,11,1 R函数性质12两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1) c os c os c os si n si n ；(2) c os c os c os si n si n ；(3) si n si n c os c os si n ；(4) si n si n c os c os si n ；(5) t a n t a n t a n 1t a n t a n( t a n t a n t a n 1t a n t a n )；(6) t a n t a n t a n 1t a n t a n( t a n t a n t a n 1t a n t a n )．13二倍角公式：(1)si n 22si n c os ；(2)2222c os 2c os si n 2c os 112si n ；(2c os 21c os 2 ，21c os 2si n 2)；(3)22t a n t a n 21t a n ；14半角公式：(1)2c os 12sin ；(2)2c os12c os；(3)c os 1c os12t a n；(4)c os 1sin sin c os 12t a n15辅助角公式：的终边上在角点其中 ),(,t a n ),sin (c ossin 22b a ab xb axb xa．最值当22x kk时，m a x1y ；当22x kk时，m i n 1y ．当 2x k k 时，m a x1y ；当2x kk时，m i n 1y ．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kk上是增函数；在32,222k kk上是减函数．在2,2k k k上是增函数；在2,2k k k上是减函数．在,22k kk上是增函数．对称性对称中心 ,0k k 对称轴2x k k对称中心 ,02k k对称轴x k k 对称中心 ,02k k无对称轴16函数b x A y )sin ( 的图象与性质：图象变换：（1）先平移后伸缩：函数si n y x 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度，得到函数 si n yx 的图象；再将函数 si n y x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数 si n y x 的图象；再将函数 si n y x 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数 si n y x 的图象．（2）先伸缩后平移：函数si n y x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数si n y x 的图象；再将函数si n y x 的图象上所有点向左(右)平移个单位长度，得到函数 si n y x 的图象；再将函数 si n y x 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数 si n y x 的图象．五点法画图函数 si n 0,0y x 的性质：①定义域为R ；②值域为],[A A ；③单调性：根据函数x y sin 的单调区间求函数的单调区间；④奇偶性：当Z k k , 时，函数 si n y x 是奇函数；当Z k k ,2时，函数si n yx 是偶函数；⑤周期：2T ；⑥对称性：根据函数x y sin 的对称性研究函数的对称性1217函数B x A y )sin ( 的应用①振幅：A ；②周期：2 ；③频率：12f；④相位：x ；⑤初相： ．⑥最值：函数B x A y )sin ( ，当1x x 时，取得最小值为m i n y ；当2x x 时，取得最大值为m a xy，则 m a xm i n 12y y， m a xm i n 12y y，21122x x x x．。
高一数学必修一第一章知识点梳理
高一数学必修一第一章知识点梳理【原创实用版】目录1.必修一第一章的主要知识点2.知识点的详细解析3.知识点的应用和实践正文一、必修一第一章的主要知识点高一数学必修一的第一章主要包括以下几个知识点：1.有理数和整式有理数包括整数、分数和无理数，整式是由单项式和多项式组成的代数式。
2.一元一次方程与不等式一元一次方程是指含有一个未知数的一次方程，不等式是指用不等号连接的代数式。
3.函数和导数函数是一种将自变量映射到因变量的数学关系，导数是函数在某一点的切线斜率。
二、知识点的详细解析1.有理数和整式有理数是我们日常生活中常用的数字，包括整数、分数和无理数。
整式是由单项式和多项式组成的代数式，其中单项式是只含有一个变量的代数式，多项式是由多个单项式相加或相减而成的代数式。
2.一元一次方程与不等式一元一次方程是指含有一个未知数的一次方程，例如 2x+3=7。
不等式是指用不等号连接的代数式，例如 x>5。
解一元一次方程和不等式的方法主要包括移项、合并同类项、化简等步骤。
3.函数和导数函数是一种将自变量映射到因变量的数学关系，例如 y=2x+1。
导数是函数在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化率。
导数的求法有多种，如极限法、微分法等。
三、知识点的应用和实践在实际生活和学习中，我们可以通过以下方式应用和实践这些知识点：1.解实际问题中的数学题，如利用一元一次方程和不等式求解实际问题。
2.学习其他数学课程，如利用函数和导数研究数学曲线的性质。
3.参加数学竞赛或考试，提高自己的数学能力和成绩。
人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解
人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解一、实数的分布1.有理数和无理数有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和循环小数。
无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比。
2.实数的分布实数是由有理数和无理数组成的。
实数可以表示在数轴上，有理数处于数轴上的有序点上，而无理数则处于数轴上的间断点上。
二、数列1.数列的定义数列由按照一定规律排列的数所组成，数列中的每一个数称为数列的项，其中第n个数称为第n项，用an表示。
2.数列的性质-数列可以是有限的或无限的；-数列可以是等差数列、等比数列或其他类型的数列；-数列的前n项和是指数列的前n项的和，用Sn表示。
三、逻辑与命题1.命题的定义命题是陈述一个明确的陈述句，可以判断真假的句子。
2.逻辑的基本运算-否定：命题p的否定是“非p”，用¬p表示；-合取：命题p和命题q的合取是“p并且q”，用p∧q表示；-析取：命题p和命题q的析取是“p或者q”，用p∨q表示；-排列：命题p和命题q的排列是“若p，则q”，用p→q表示。
四、命题间的逻辑关系1.充分条件和必要条件-充分条件：若命题p→q成立，则p是q的充分条件；-必要条件：若命题p→q成立，则q是p的必要条件。
2.等价命题等价命题是指两个命题具有相同的真值，可以通过推理得到。
-等价式：若命题p等价于命题q，则称p和q是等价命题，并用p↔q 表示；-基本等价式：德摩根定律、蕴含等价式等。
练习题1.将下列数分为有理数和无理数：-1，1.5，√2，0.25，π答案：有理数：-1，1.5，0.25；无理数：√2，π2.判断以下数列是否为等差数列，并求出它的公差：-3，6，9，12，15-1，4，9，16-4，1，-2，-5，-8答案：-是等差数列，公差为3；-不是等差数列；-是等差数列，公差为-33.判断以下命题是否为真命题：-如果数是2的整数倍，那么它一定是偶数；-闰年是指能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除的年份；-如果a=b，那么a+c=b+c。
高一数学必修一第一章知识总结
高一数学必修一第一章知识总结高一数学必修一第一章知识总结人教版高一数学第一章集合与函数概念概念元素：一般的，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合如果a是集合元素与集合的关系A的元素，则a属于集合A，记作aAA的元素，则a不属于集合A，记作aA如果a不是集合集合与元素集合的表示方法列举法：如2到8之间的偶数{2,4,6,8}描述法：如图示法集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性常用的数集及其记法：非负整数集或自然数集，N；正整数集，N*或N+；整数集，Z；有理数集，Q；实数集，R。
xx10子集：若集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，即若xAxB，则ABA是集合B的子集，且B中至少有一个元素不在A中，则称A是B的真子集，即若AB且A≠B，则AB真子集：若集合集合与集合的基本关系空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为相等：若集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A 的子集，则称A与B相等。
即若若AB且BA，则A=B交集：一般的，由属于集合集合与集合性质：AA且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B交集，记作AB；即ABxxA,且xB＝；AB＝BA并集：一般的，由属于集合集合的运算关系性质：AA 或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B并集，记作AB；即ABxxA,或xB＝A；AB＝BA补集：对于一个集合合CUAxxU,且xA这个集合为全集，通常记为UA，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集A相对于集合U的补集，简称集合A的补集，记为CUA，即全集：一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称子集的性质：1.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；2任何一个集合都是它本身的子集；3.任何非空集合的真子集的个数比子集少两个。
4.传递性，即若AB，BC，则AC。
传统定义：设在某变化过程中有两个变量x，定义y，如果对与x在某范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫自变量。
人教版高一数学必修一电子课本1
第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1.3.2 奇偶性第二章基本初等函数2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用rjniug垢丁梢W苗百軒HUF*目士申'，. ifJUVJl^^ i V > 卩心J !；TW >11 t，ST U l'射环 * + V fl * ' i WUv)pjBJ}E丁枷下H即r?3脚”11韋£#叫丰赳丁申**苹Ell uUi A虫抄上写厲啟¥*古MF£L摩暂•屮胡计翠聃劭¥・d ii-E-jr+B-If/UvH*301（g）讯时t （V»F m（»fflV）F B• T^^*+#w：-wnv■耳*刼卓百强耳粧剪第■ -f/Uv-韦％如帑*卑收铤罩削卜M *爭杰串*皆寻中刊对龈>=1「亦'»■tFiri苗1山描甲#¥奉对卵丁弭比声主芒公"口■*7>（fifiJ\ ）1坤•’"旧屮”''ruw"岁*硏号龜前童专埒导d卵竽毎畫印幼LH'即弘•爭嚣炖！■鸟箱黑窃寻片弟节询罕” ■耳您邸千曲鼻*常寻界事耶皿輩”补'itff**胡4■邸琴啓舉护凰’¥£#■<>出令聲部悴孰羊* '*◎卡啊亍罚擘曲母刘他耶舌祢黒一丄帝春塔•！［盲出R# g伞并亲■無尅鱼野栖苯L』伞审爭讲人播h（HUt'Jl UE±-<U2卩十IV回料=阳仃冲严的# “ 5导¥刊加十凰拿科4 •科琦十*- ci/Uviiy^■p-dTAVlpJ^if-jfZ'i i>ijf¥T##W^tfTUV）F™ ■（HflFlF™ （flJF1' <1 屮⑴、■怕U肿出, 子H曲+优如E 则*4t常卯XOIP書鼻皿 7 士昭心甲-国门1。
新版高一数学必修第一册第一章全部课件
把集合的元素 一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方
法叫做列举法．
[点睛] 列举法表示集合时的 4 个关注点
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法．
[解]
(1)因为不大于 10 是指小于或等于 10，非负是大于或
等于 0 的意思，所以不大于 10 的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程 x3＝x 的解是 x＝0 或 x＝1 或 x＝－1，所以方程的
解组成的集合为{0,1，－1}．
(3)将 x＝0 代入 y＝2x＋1，得 y＝1，即交点是(0,1)，
所以 17∈A.
7
令 3k＋2＝－5 得，k＝－ ∉Z.
3
所以－5∉A.
答案：∈ ∉
题型三 集合中元素的特性及应用
[ 例 3]
已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，则实数 a 的
值为________．
[ 解析]
若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1，即 a＝±1.
当 a＝1 时，集合 A 有重复元素，不符合元素的互异性，
(
A．0
B．1
C．－1
)
D．0 或 1
答案：A
4．方程 x2 －1＝0 与方程 x＋1＝0 所有解组成的集合中共有
________个元素．
答案：2
题型分析
举一反三
题型一 集合的含义
[ 例 1]
考查下列每组对象，能构成一个集合的是( B
高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合及函数根底学问点整理第1讲 §1.1.1 集合的含义及表示¤学习目的：通过实例，理解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描绘法）描绘不同的详细问题，感受集合语言的意义和作用；驾驭集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤学问要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，根本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描绘法，即用集合所含元素的共同特征来表示，根本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素及集合之间的关系是属于（belong to ）及不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描绘法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的全部实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描绘法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.（2）用描绘法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； －5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+及26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合.解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩.（2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也留意比照（2）及（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时肯定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种状况：⑴方程有等根且不是2±：由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合．⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．综上可知，9{,2,2}4A =--．点评：运用分类探讨思想方法，探讨出根的状况，从而列举法表示. 留意分式方程易造成增根的现象.第2讲 §1.1.2 集合间的根本关系¤学习目的：理解集合之间包含及相等的含义，能识别给定集合的子集；在详细情境中，理解全集及空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤学问要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，假如集合A 中的随意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 假如集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 及集合B 的元素是一样的，因此集合A 及集合B 相等，记作A B =.3. 假如集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；（2）=， ∈， ，.A BBA AB A B A ． B ．C ．D ．【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 及B关系的是（ ）.解：简洁列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ． 【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，务实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满意1123a a ==-或，解得1123a a ==-或.故所务实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要遗忘“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆.从而须要分状况探讨. 题中探讨的主线是根据待定的元素进展.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，务实数x 的值. 解：若⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均一样，故舍去. 若⇒2ax 2-ax -a =0.因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-.经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分状况进展探讨. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的根本运算（一）¤学习目的：理解两个集合的并集及交集的含义，会求两个简洁集合的并集及交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能运用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤学问要点：集合的根本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并驾驭符号等，再念属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 及B 的并集（union set ）集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 及B 的交集（intersection set ）不属于集合A 的全部元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）记号 A B （读作“A 并B ”） A B （读作“A 交B ”）UA （读作“A 的补集”）符号 {|,}AB x x A x B =∈∈或{|,}AB x x A x B =∈∈且{|,}UA x x U x A =∈∉且图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C A B x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C . 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------. （1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =， 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------.∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，务实数m 的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 及集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：探讨不等式所表示的集合问题，经常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特殊要留意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比拟它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A B =. 由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B = 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =， ()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =，UA-2 4 m x B A A BB A()()()U U U C A C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以干脆视察出来结果.点评：可用Venn 图探讨()()()U U U C A C B C A B =及()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的根底记住此结论，有助于今后快速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的根本运算（二）¤学习目的：驾驭集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简洁的问题；驾驭集合运算中的一些数学思想方法.¤学问要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和驾驭各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发觉一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在探讨集合问题时，经常用到分类探讨思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考察创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，务实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意. 所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，须要对参数a 进展分状况探讨. 罗列参数a 的各种状况时，需根据集合的性质和影响运算结果的可能而进展分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，务实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经探讨，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考察分类探讨的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深入理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特殊简洁出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这须要在解题过程中要全方位、多角度谛视问题.【例4】对集合A 及B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则 {1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习实力的开展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的本质性内涵，这里新定义的含义是从A 中解除B 的元素. 假如再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目的：通过丰富实例，进一步体会函数是描绘变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此根底上学惯用集合及对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；理解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域.¤学问要点：1. 设A 、B 是非空的数集，假如按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的随意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），及x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间. 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则 {|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 确定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别一样时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）；（2）. 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2）由，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域及值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++.解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x-=+.点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有干脆给出，称为抽象函数的探讨，经常须要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数.（1）求1()()f x f x+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x++=+=+==+++++. （2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发觉，能使我们施行巧算. 正确探究出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目的：在实际情境中，会根据不同的须要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过详细实例，理解简洁的分段函数，并能简洁应用；理解映射的概念.¤学问要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反响改变趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法及意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的随意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 及之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中随意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )= ，求f [f (0)]的值. 解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32. 又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++. 解：（1）由肯定值的概念，有.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有肯定值的函数式，可以采纳分零点探讨去肯定值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段状况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右： 点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目的：通过已学过的函数特殊是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，驾驭增（减）函数的证明和判别.¤学问要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，假如对于定义域I 内的某个区间D 内的随意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 假如函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观视察函数图象上升及下降的改变趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 推断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →推断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义推断函数2()1x f x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1x f x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设随意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++. 若0a <，当122b x x a<≤-时，有120x x -<，12b x x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a-∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减. 【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有肯定值，可以采纳分零点探讨去肯定值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象探讨单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移学问，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目的：通过已学过的函数特殊是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤学问要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，假如存在实数M 满意：对于随意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：探讨二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成后，当0a >时，函数取最小值为；当0a <时，函数取最大值.3. 单调法：一些函数的单调性，比拟简洁视察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后视察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为，由2133()244x ++≥，得.所以函数的最大值为8.【例2】某商人假如将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 如今他采纳进步售出价，削减进货量的方法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要削减10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则进步了(10)x -元，削减了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =. 所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法探讨，也可以用换元法探讨.【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-. （2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间及对称轴的关系，结合图象进展分析. 含肯定值的函数，常分零点探讨去肯定值，转化为分段函数进展探讨. 分段函数的图象留意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目的：结合详细函数，理解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能娴熟判别函数的奇偶性.¤学问要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的随意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 假如对于函数定义域内的随意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比拟法、计算和差、比商法等判别()f x -及()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则，即.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-. 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2).∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且及右侧形态一样，∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.点评：此题中的函数本质就是224||y x x =-+. 留意两抛物线形态一样，则二次项系数a 的肯定值一样. 此类问题，我们也可以干脆由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满意不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，务实数a 的取值范围.解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减.又 ∵ ()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减.∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-，∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象肯定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一样，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合及函数根底测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减．2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ）A. aB. {a ，c }C. {a ，e }D.{a ，b ，c ，d }4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ）M N A M N B N M C M N D5．下列表述正确的是 （ ）A.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参与自由泳的运发动}，B ＝{x|x 参与蛙泳的运发动}，对于“既参加自由泳又参与蛙泳的运发动”用集合运算表示为 ( )A.A∩BB.A ⊇BC.A∪BD.A ⊆B7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ）A.（a+b ）∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ）A ．a ≥5B ．a ≥3C ．a ≤3D ．a ≤－59.满意条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ）A. 8B. 7C. 6D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）A. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U11.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y12. 假如集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，务实数a 的取值集合．18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．19. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.必修1 第一章 集合测试集合测试参考答案：一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB二、13 ［0，43］，（－∞，－43）14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；}10|{)(<<=⋂x x N C M U ；13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x . 三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）．所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19. ．解析：本题主要是培育学生理解概念的实力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-.．。
高中数学必修一最全知识点汇总
高中数学必修一最全知识点汇总高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体，其中的元素具有确定性、互异性和无序性。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
集合与元素之间的关系可以表示为a∈M或a∉M。
集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。
集合可以分为有限集、无限集和空集(∅)。
1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系包括子集、真子集和集合相等。
子集表示为A⊆B，真子集表示为A⊂B，集合相等表示为A=B。
已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2个子集，2^(n-1)个真子集，2^(n-1)个非空子集和2^n-2个非空真子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集和补集。
交集表示为A∩B，并集表示为A∪B，补集表示为A的补集。
补集的性质为A∪A的补集=全集，A∩A的补集=空集。
2.补充知识：含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-aa(a>0)的解集为{xa}。
一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，可以通过移项、配方法和求根公式等方式求解。
1.解一元二次不等式将$ax+b$看作一个整体，化成$|x|c(c>0)$，$|x|>a(a>0)$型不等式来求解。
2.解一元二次不等式的方法通过判别式$\Delta=b^2-4ac$，确定二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的图像，分类讨论$\Delta>\Delta'$，$\Delta=\Delta'$和$\Delta0)$的根$x_1,x_2$（其中$x_10$和$y<0$的解集。
3.函数及其表示3.1 函数的概念设$A$、$B$是两个非空的数集，如果按照某种对应法则$f$，对于集合$A$中任何一个数$x$，在集合$B$中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么这样的对应（包括集合$A$、$B$以及$A$到$B$的对应法则$f$）叫做集合$A$到$B$的一个函数，记作$f:A\to B$。
高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型
高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型高中数学必修一第一章知识点及题型一、第一章第一单元集合---知识点总结知识点一：集合的概念集合是研究对象的统称，用小写拉丁字母a，b，c等表示元素，一些元素的集合称为集合或集，用大写拉丁字母A，B，C等表示，不含任何元素的集合称为空集，记为∅。
知识点二：集合与元素的关系如果a是集合A的元素，就称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就称a不属于集合A，记作a∉A。
知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。
集合可分为有限集和无限集，有限集含有有限个元素，无限集含有无限个元素。
知识点四：集合的表示方法集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描述法是用集合所含元素的特征表示集合的方法。
知识点五：集合与集合的关系集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B；如果A是B的子集，但存在元素不属于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
子集的性质包括空集是任意集合的子集、任何集合都是它本身的子集、如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
知识点六：集合的运算集合的运算包括交集和并集。
集合A与B的并集是由A 和B中所有元素组成的集合，记作A∪B；集合A与B的交集是A和B中共有的元素组成的集合，记作A∩B。
3.交集与并集的性质交集的运算性质：A∩B = B∩A （交换律）A∩A = A （恒等律）A∩∅ = ∅（零律）A⊆B ⇔ A∩B = A （吸收律）并集的运算性质：A∪B = B∪A （交换律）A∪A = A （恒等律）A∪∅ = A （零律）A⊆B ⇔ A∪B = B （吸收律）A∪B = B∪A = {x | x∈A或x∈B} （定义）符号语言、图形语言和自然语言都可以用来表示集合的交集和并集。
4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
高一必修一数学第一章知识点归纳
高一必修一数学第一章知识点归纳稿子一：嘿，亲爱的小伙伴！今天咱们来聊聊高一必修一数学第一章的那些知识点哟！先说集合吧，集合就像是个装东西的大口袋。
里面的元素得是确定的、互不相同的。
比如一个班的同学就可以组成一个集合。
子集和真子集可得搞清楚呀！子集就是一个集合包含另一个集合的所有元素，而真子集呢，是除了它本身以外的包含关系。
集合的运算也很有趣哦！交集就是两个集合共有的部分，就像两个圈子重叠的地方。
并集呢，则是把两个集合的所有元素都放一起。
还有空集，它可特别啦，就像一个啥都没有的空口袋，但它也是集合哟！集合的表示方法也有好几种，列举法简单直接，把元素一个个列出来；描述法就稍微复杂点，要用一些条件来描述元素的特征。
怎么样，是不是觉得集合还挺有意思的？加油好好学哟！稿子二：哈喽呀！咱们一起来瞅瞅高一必修一数学第一章的知识点呗！集合这玩意儿，你就想象成一堆有相同特点的东西放在一块儿。
比如说喜欢吃巧克力的人能组成一个集合。
集合里元素的性质要记住哦，确定性、互异性、无序性。
可别搞混啦！那子集和真子集，就好像大小不同的口袋，一个能完全装进另一个，真子集就是小口袋不能和大口袋一样大。
集合的运算可别头疼。
交集就是找两个集合都有的，就像找共同的朋友。
并集呢，就是把两个集合的所有东西都凑一起，不管是不是一样的。
空集虽然啥都没有，但也是集合家族的一员，可不能小瞧它。
还有集合的表示方法，列举法就像是点名，一个个说出来。
描述法呢，就是给个规则让你知道哪些能进来。
哎呀，数学其实也没那么难，好好琢磨这些知识点，肯定能学好哒！。
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补集可用Venn图表示为:
U A
CUA
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15
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一般地，我们有：
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 ，记作：
第一章 集合与函数概 念
1.1 集合
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1
一．集合的含义
⑴１到20以内的所有质数; ⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有
人造卫星; ⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一 些元素组成的总体叫做集合(简称集)．
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2
2．集合中元素具的有几个特征
⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当 然，我们所说的“一些元素”是确定的．
(4) 如果f(x)是由几个数学式子构成时， 那么函数的定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合。
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21
1.3.1 函数的最大（小）值
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22
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域 为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的， 即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
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（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的
方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；
(2) 描述法－用集合所含元素的共同特征表示 集合的方法.
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6
(2) 描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法.
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合 元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画 一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具 有的共同特征.
形 :{ 式 | 如 }
y=f(x)， x A
（1）x —— 自变量
（2）A ——定义域
（3）值域
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17
函数的表示法
就是用数学表达式表示两个变量之 间的对应关系。
就是用图象表示两个变量之 间的对应关系。
就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系。
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18
映射
一般地，我们有： 设A、B是非空集合，如果按照某种确定的
对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在 集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么称f： A→B为从集合A到集合B的一个映射。
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19
要研究函数，我们必须了解区间
区间：设a,b是两个实数，且a<b，规定：
定义
名称
符号
几何表示
{x|a≤x ≤b} 闭区间
[a,b]
{x|a<x<b} 开区间
(a,b)
{x|a ≤x<b} 左闭右开区间[a,b)
{x|a<x ≤b} 左开右闭区间(a,b]
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20
1.求函数的定义域方法:
（1）f(x)是整式时，则函数的定义域为R （2）f(x)是分式时，则函数定义域为使分 母不等于0的实数的集合 （3）二次根式时，则函数定义域是使根 号内的式子大于0的实数的集合
.
23
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
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注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在 x0∈I，使得f(x0) = M；
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(3) 图示法-----画一条封闭曲线,用它的内部来 表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的 抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然 可以用图示法来表示. 如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:
A 1 2345
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*有限集与无限集*
⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有 限集
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2.交集
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有 元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 A∩B,(读作“A交B”),即
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
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3.并集与交集的性质
(1) A A A (2) A (3) A B B A (4) A B A, A B B (5) A B 则 A B A
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4．元素与集合之间的关系
❖ 如果 a是集合Ａ中的元素，就说a属于集合
Ａ，记作 aA ；
❖ 如果 a不是集合Ａ中的元素，就说 a属于集
合Ａ，记作aA ；
例如，Ａ＝｛所有能被３整除的整数｝ 当a6时,aA 当a7时,aA
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二．集合的几种表示方法
⑴ 列举法－将所给集合中的元素一一列举出 来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号 分开．
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(1) AA A (2) A A (3) ABBA (4) AAB,BAB, ABAB (5) AB则ABB
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4.补集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中 所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常 记作U.
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简 称为集合A的补集.
例如: A={1~20以内所有质数}
⑵ 无限集--------含有无限个元素的集合叫无 限集
例如: B={不大于3的所有实数}
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1.1.3 集合的基本运算
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作 “A并B”).即
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果 出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个， 即集合中的元素是不重复出现的．
⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．
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3.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表 示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中 的元素．
❖ 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ ❖ 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N*或N ❖ 全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ ❖ 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ ❖ 全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ