线性离散系统
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第七章--线性离散系统的稳定性分析
取反变换，得 g (k ) b0δ (t ) b1δ (t T ) bnδ (t nT )
• 上式表明，一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲， 如果在典型信号输入作用下，系统脉冲响应过程将在n个 采样周期内结束(对连续系统而言，理论上动态过程在 t→∞时才结束)，由于这种系统瞬态响应时间最短，故称
0.11K 0 1.1 0.095 K 0 2.9 0.015 K 0
因此，使系统稳定K值范围为
0 K 11.58
• 采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大， 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数 也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降
y* t
5
4
3
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位斜坡响应 暂态过程只要两个采样周期即可结束!
将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号 r (t ) 1(t )
则系统的输出信号的z变换为
1 Y ( z ) GB ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 z 1 2 z 1 z 2 z 3 L z n L 此时动态过程也可在两个采样周期内结束，但在t=T时超 调量为100%。
映射稳定区域左半s平面不稳定区域右半s平面临界稳定区域虚轴上单位圆内部单位圆外部单位圆上线性离散系统稳定的充分必要条件离散系统极点分布与稳定性的关系由由s平面与z平面的映射关系及连续系统的稳定性理论可知离散系统极点分布与其稳定性的关系如下极点分布稳定情况z单位圆内稳定z单位圆外不稳定z单位圆上临界稳定线性离散系统的稳定判据由前面的分析可知只要知道系统的极点分布即可判断系统的稳定与否但这里要解决的问题是如何知道闭环系统的极点分布
线性离散系统
如果对一个具有有限频谱（max max） 的连续信号进行采样，当采样角频率 s >2max
或者说 fs >2fmax 时，则由采样得到的离散信号能够
不失真地恢复到原来的连续信号。
15
注释 1 采样定理的物理意义解释：
如果选择这样的采样频率， 使得对连续信号中 所含最高频率的信号来说，能做到在其一个周期内采 样两次以上，则在经采样获得的离散信号中将包含连 续信号的全部信息。
sin T
lim
0
H0 ( j)
limT 0
2
T
T
2
27
H0 ( j)
T
0
H0 ( j)
00
900 1800
sin T
H0 ( j) T
2
T
2
s
2s
3s
s
2s
3s
H0 (
j)
T
2
28
零阶保持器的频率特性
结论 1 零阶保持器是具有高频衰减特性的低通滤波器；
2 零阶保持器是具有负的相角，对闭环系统的稳定 性有不利的影响。
其中 X ( j) 是一个带宽有限的连续频谱。
max
8
连续信号的频谱
X ( j)
X ( j0)
max
0 2max
max
9
离散信号x*(t) 的频率特性为
X
*(
j)
1 T
n
X
j
ns
离散信号x*(t) 的频谱为
X *( j)
1 T
X
n
j ns
以 s 为周期的无穷多个频谱分量之和
10
2
计算机控制系统
数字控制系统 离散控制系统
或者说 fs >2fmax 时，则由采样得到的离散信号能够
不失真地恢复到原来的连续信号。
15
注释 1 采样定理的物理意义解释：
如果选择这样的采样频率， 使得对连续信号中 所含最高频率的信号来说，能做到在其一个周期内采 样两次以上，则在经采样获得的离散信号中将包含连 续信号的全部信息。
sin T
lim
0
H0 ( j)
limT 0
2
T
T
2
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H0 ( j)
T
0
H0 ( j)
00
900 1800
sin T
H0 ( j) T
2
T
2
s
2s
3s
s
2s
3s
H0 (
j)
T
2
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零阶保持器的频率特性
结论 1 零阶保持器是具有高频衰减特性的低通滤波器；
2 零阶保持器是具有负的相角，对闭环系统的稳定 性有不利的影响。
其中 X ( j) 是一个带宽有限的连续频谱。
max
8
连续信号的频谱
X ( j)
X ( j0)
max
0 2max
max
9
离散信号x*(t) 的频率特性为
X
*(
j)
1 T
n
X
j
ns
离散信号x*(t) 的频谱为
X *( j)
1 T
X
n
j ns
以 s 为周期的无穷多个频谱分量之和
10
2
计算机控制系统
数字控制系统 离散控制系统
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
线性离散系统状态方程的解
因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程 的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向 量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为 强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递法求解结果一致。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
线性离散系统的状态空间描述
人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为1%。
激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可 激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会 导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全 国人口数为输出变量的状态空间描述模型。
离散时间系统的机理建模(3/8)
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性离散系统的状态空间描述(1/3)
线性离散系统的空间描述(4/5)
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时 刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动 态变化。
输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统 输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
重点喔
工程控制系统的计算机实现(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。 调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号 不作频繁调节; 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确 地跟随输入信号的变化。 “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即 使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。 而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为 随动系统。 对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和 位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。
激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可 激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会 导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全 国人口数为输出变量的状态空间描述模型。
离散时间系统的机理建模(3/8)
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性离散系统的状态空间描述(1/3)
线性离散系统的空间描述(4/5)
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时 刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动 态变化。
输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统 输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
重点喔
工程控制系统的计算机实现(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。 调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号 不作频繁调节; 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确 地跟随输入信号的变化。 “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即 使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。 而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为 随动系统。 对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和 位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。
自动控制原理胡寿松第七章解析
1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
24
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
25
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0
11
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
12
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
第8章 线性离散时间控制系统
外推的,其外推公式为
一阶保持器复现原信号的准确度与零阶保持器相比有所 提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高阶微分,一阶保持器 的输出信号与原连续信号之间仍有不同。
第8章 线性离散时间控制系统 由式(8-16)可知,一阶保持器的响应可以分解为阶跃响应
和斜坡输入响应之和。将式(8-16)的微分形式变换成式(8-17) 的差分形式,对应的传递函数为式(8-18)。
第8章 线性离散时间控制系统
图8-6 零阶保持器输入信号与输出信号的关系
第8章 线性离散时间控制系统 下面推导零阶保持器的表达式。利用泰勒级数展开公式,
可以得到
如果略去含 Δt、(Δt)2等项,可得
第8章 线性离散时间控制系统 这就是零阶保持器的公式。由式(8-11)可得零阶保持器输出 信号的完整表达式为
第8章 线性离散时间控制系统
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理 8.2 信号保持器 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散系统的稳定性分析 8.5 离散系统的稳态误差 8.6 离散系统的动态性能 8.7 离散系统的校正
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理
8.1.1 概述 离散时间系统(简称离散系统)是指系统中全部或一部分
进而输入给计算机控制器。也就是说,采样后的离散信号必 须能够保留有原连续信号的完整或近似完整的信息。因此, 周期T 的设定非常重要。
采样定理(也叫Shannon定理)从理论上给出了必须以多 快的采样周期(或多高的采样频率)对连续信号进行采样,才能 保证采样后离散信号可以不失真地保留原连续信号的信息。 换句话说,采样定理给出了对采样周期的限定条件,即采样周 期要在多短时间之内,才能保证采样后的离散信号保留有采 样之前的连续信号的尽量多的信息。
一阶保持器复现原信号的准确度与零阶保持器相比有所 提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高阶微分,一阶保持器 的输出信号与原连续信号之间仍有不同。
第8章 线性离散时间控制系统 由式(8-16)可知,一阶保持器的响应可以分解为阶跃响应
和斜坡输入响应之和。将式(8-16)的微分形式变换成式(8-17) 的差分形式,对应的传递函数为式(8-18)。
第8章 线性离散时间控制系统
图8-6 零阶保持器输入信号与输出信号的关系
第8章 线性离散时间控制系统 下面推导零阶保持器的表达式。利用泰勒级数展开公式,
可以得到
如果略去含 Δt、(Δt)2等项,可得
第8章 线性离散时间控制系统 这就是零阶保持器的公式。由式(8-11)可得零阶保持器输出 信号的完整表达式为
第8章 线性离散时间控制系统
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理 8.2 信号保持器 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散系统的稳定性分析 8.5 离散系统的稳态误差 8.6 离散系统的动态性能 8.7 离散系统的校正
第8章 线性离散时间控制系统
8.1 信号采样与采样定理
8.1.1 概述 离散时间系统(简称离散系统)是指系统中全部或一部分
进而输入给计算机控制器。也就是说,采样后的离散信号必 须能够保留有原连续信号的完整或近似完整的信息。因此, 周期T 的设定非常重要。
采样定理(也叫Shannon定理)从理论上给出了必须以多 快的采样周期(或多高的采样频率)对连续信号进行采样,才能 保证采样后离散信号可以不失真地保留原连续信号的信息。 换句话说,采样定理给出了对采样周期的限定条件,即采样周 期要在多短时间之内,才能保证采样后的离散信号保留有采 样之前的连续信号的尽量多的信息。
第4章：线性离散系统的数学描述1
这是一个二阶离散系统，该系统稳定的充要条
件为：
∴使系统稳定的k值范围为 0<k<2.39
思考题：
1、自己随便定一个一阶微分方程，用前向 差分将其转变成差分方程。 2、描述Z变换中的实数位移定理和复数位 移定理。 3、会用Z变换解差分方程。 4、会写闭环系统Z传递函数。 5、线性离散系统稳定性分析。
du(t ) 将 用后向差分 dt
代替得：
u(k ) u(k 1) T
整理后得：
2.用差分方程描述离散系统
（1）系统本身是离散过程
（2）系统本身是连续的采样控制系统： 利用定义推导3. 差 Nhomakorabea方程的解法
（递推法）
……
3. 差分方程的解法
（2）经典分析法：全解=通解+特解。麻 烦。 （3）Z变换法
离散系统的闭环脉冲传递函数为
z
K (0.368z 0.264) z 2 (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
G0 ( z ) 1 G0 ( z )
于是，离散系统的闭环特征方程为
2.离散系统的稳定性判定
D(z)=z2(0.368K－1.368)z+(0.264K+0.368)=0
第4章：线性离散系统的数学描述 与分析
一、离散系统的差分方程描述 二、线性离散系统的z传递函数描述 三、线性离散系统的稳定性分析
一、离散系统的差分方程描述
1. 差分方程的定义 2. 用差分方程描述离散系统 3. 差分方程的解法
1. 差分方程的定义
描述方程
分析工具
拉普拉斯变换
Z变换
典型的离散信号—均是单边信号
定义：零初始条件下，线性定常离散控制系统的输出序 列的z变换和输入序列的z变换之比。
线性离散系统的数学模型和分析方法
§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。
对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。
离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。
对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。
一、线性离散系统的数学描述1. 差分方程对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示)()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17)(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式∑∑==-=-+n i ni i i iT kT u b iT kT y a kT y 1)()()( (10.18)如果引入后移算子1-q ，即)()(1T kT y kT y q -=- (10.19)则(10.18)式可写成多项式的形式)()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20)式中n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)(方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。
如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。
方程右端又被称为驱动项。
方程的阶数和系数反映系统的结构特征。
用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。
如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。
线性离散系统的数学模型
T
G1(s)
X * ( s)
G2(s)
C (s)
•采样开关使脉冲传递函数的零点发生变化。
5、闭环系统脉冲传递函数
r* (t ) R( z)
r (t )
e(t )
e* (t )
c* (t ) C ( z)
T
E( z)
G (s)
c(t )
H (s)
E (s) R(s) H (s)C (s)
G( z)
G1 ( z)
例7－20
X (s)
G2 ( z)
C * ( s)
R( s )
R* (s)
1 a z az 传递函数G1 ( s ) , G2 ( s ) G1 ( z ) , G2 ( z ) s sa z 1 z e aT az 2 G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1)( z e aT ) az 3 C ( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) a z (1 e aT ) G1G2 ( z ) Z 2 aT s ( s a ) ( z 1) ( z e ) z 2 (1 e aT ) C ( z ) G1G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) G1 ( z )G2 ( z ) G12 ( z )
c(nT ) ai c[(n i )T ] b j r[(n j )T ]
i 1 j 0 n m
z变换得：C ( z ) ai C ( z ) z b j R ( z ) z j
i i 1 j 0
线性离散控制系统及其与连续系统间的关系
1 s
-
1 e -Ts s
1 - e -Ts s
注意：这里的输入为1×δ(t)，是单位 幅值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即 单位理想脉冲，其拉氏变换为1。
13
零阶保持器的频率特性：
传递函数 频率特性
Gh( s )
1 s
-
1 e -Ts s
1 - e -Ts s
Gh( j )
1 - e - jT
第一个表达式对应蓝色线的 Z变换；zkF(z)对应全部蓝色
实线的Z变换，所以只有当
-kT 0
kT
t 虚线部分=0时才有第二个表
超前定理的直观解释 达式
21
4. 终值定理（掌握）
设 f(t) 的Z变换为F(z)，且F(z) 在z平面不含有单位圆上 及圆外的的极点（除 z＝１外的单根），则 f(t) 的终值为
n0
Z反变换为 Z -1 [ F ( z )] f ( t )
17
关于Z变换的几点说明：
Z变换的无穷级数表达式与信号在采样时刻的取值一一对
应。
F ( z ) f ( nT )z-n
n0
z-1 又称为延迟算子
f ( 0 ) f ( T )z-1 f ( 2T )z- 2 f ( 3T )z- 3
0
z-k f ( nT )z-n z-k F ( z )
k0
19
f(t)
f(t-kT)
0 kT
t
延迟定理的直观表示
注：连续系统的迟后环节 e-kTs 在离散系统中只 是 z-k，属于有理式，便于分析。因此，对于有 迟后环节的系统，按离散时间系统进行分析和设 计通常较连续时间系统更方便。
第7章 线性离散系统
离散控制系统的模型描述往往是差分方程，由 于差分方程不便求解，然而可以将其变换成z变换表 达式来进行求解，最后由通过反z变换表达式变换成 差分方程得到求解。
z变换的定义 ： z eTs
z变换表达式的求解 ：
F (z) Z[ f (t)] Z[ f * (t)] f (nT )z n n0
则 x*(t) (10 10 2n) (t nT) 10 (1 2n) (t nT)
n0
n0
2019年12月2日星期一
自动控制原理
28
留数法
3.留数法
x(nT) 等于函数 X (z)zn1 在其全部极点上的留数 和。
即 x(nT) res[X (z)zn1]
2019年12月2日星期一
自动控制原理
26
部分分式展开法
2.部分分式展开法
将函数X(z)展开成若干个简单分式和的形式， 然后利用熟知的一些基本对应关系式，或查z变换表 求得 x*(t) 。
2019年12月2日星期一
自动控制原理
27
部分分式展开法
例13 已知象函数 X (z) 10z ，试求其z反变换。
自动控制原理
3
采样控制系统
典型采样控制系统结构框图 ：
采样：在系统运行中，采样开关S断开一定时间后
又闭合，反复动作， 将模拟量变为离散量，这种
间断获取信息的过程称为采样。
采样周期（Sampling Period）：采样开关每间
隔一定时间T内接通及断开一次，时间T称为采样周 期。
2019年12月2日星期一
2019年12月2日星期一
自动控制原理
11
保持器—采样信号的复现
z变换的定义 ： z eTs
z变换表达式的求解 ：
F (z) Z[ f (t)] Z[ f * (t)] f (nT )z n n0
则 x*(t) (10 10 2n) (t nT) 10 (1 2n) (t nT)
n0
n0
2019年12月2日星期一
自动控制原理
28
留数法
3.留数法
x(nT) 等于函数 X (z)zn1 在其全部极点上的留数 和。
即 x(nT) res[X (z)zn1]
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自动控制原理
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部分分式展开法
2.部分分式展开法
将函数X(z)展开成若干个简单分式和的形式， 然后利用熟知的一些基本对应关系式，或查z变换表 求得 x*(t) 。
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部分分式展开法
例13 已知象函数 X (z) 10z ，试求其z反变换。
自动控制原理
3
采样控制系统
典型采样控制系统结构框图 ：
采样：在系统运行中，采样开关S断开一定时间后
又闭合，反复动作， 将模拟量变为离散量，这种
间断获取信息的过程称为采样。
采样周期（Sampling Period）：采样开关每间
隔一定时间T内接通及断开一次，时间T称为采样周 期。
2019年12月2日星期一
2019年12月2日星期一
自动控制原理
11
保持器—采样信号的复现
线性离散控制系统的稳定性分析
线性离散控制系统的稳定性分析在控制工程中，稳定性是占据重要地位的概念之一。
对于线性离散控制系统而言，稳定性分析显得尤为关键。
在本文中，我们将讨论线性离散控制系统的稳定性分析。
线性离散控制系统由两个部分组成，一个是系统本身，另一个是控制器。
这两个部分共同作用，以使系统能够正常运行，达到预定的控制目标。
而稳定性则是在这一过程中，确保系统在特定的条件下能够保持稳定。
线性离散控制系统一般是在时刻 t 时，通过一个输入信号 u(t) 来控制输出信号 y(t)。
由此可以得到系统的状态空间方程式：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)其中，x(t) 是状态向量，它包含系统中所有的状态信息。
A 和B 是状态转移矩阵，用于描述状态向量在时间上的演变。
C 则是输出端的转移矩阵，用于描述系统输出与状态向量之间的关系。
而 u(t) 则是控制器的输入信号，通过控制器的处理，最终得到系统的输出 y(t)。
对于任意给定的系统，其稳定性是需要依据系统本身的特性来分析的。
这里我们将从两个方面来讨论线性离散控制系统的稳定性分析。
分别为：利用特征值和易于分析的特殊情况。
一、利用特征值进行稳定性分析通过特征值，可以很方便地判断一个系统是否稳定。
特征值的计算公式如下：det(A-λI) = 0其中，det() 是矩阵的行列式，A 是状态转移矩阵，λ 是特征值，I 是单位矩阵。
特征值通常是由状态转移矩阵的特征多项式所产生的根。
如果计算出来的特征值都处于单位圆内，那么这个系统就是稳定的。
反之，如果特征值的模超过了 1，则这个系统就是不稳定的。
此外，还存在一种特殊情况，即状态转移矩阵的特征值都是实数。
在这种情况下，我们只需要检测特征值是否位于区间 [-1,1] 中即可。
如果全部都满足此条件，那么系统就是稳定的。
二、特殊情况下的稳定性分析对于线性离散控制系统而言，有一些特殊情况下可以使用更为简便的方法来进行稳定性分析。
第7章_线性离散系统
•2019年5月24日
EXIT
第8章第6页
数字控制系统中的两个关键部件：
A/D转换器：采样、量化、编码
把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数 字信号（二进制的整数），实际上具有对信号在时间点上采样， 对信号幅值进行编码。（采样编码器）
一般要求A/D转换器具有足够的字长（8 bit、10 bit、12 bit、 14bit），要求量化单位 q 足够小。这样可以近似认为幅值的断 续性可以忽略不记。
F (z) [ f (t)] [ f (t)] f (nTs )zn n0
•2019年5月24日
EXIT
第8章第26页
z变换是s变换的变形，只适用于离散信号， 只表征连续函数在采样时刻的特性，与采样时刻 之间的特性无关。 是一个开放形式的级数。
F (z) f (0) f (Ts ) z1 f (2Ts ) z2
Gh
(
j
)
1
e jTs
j
2e jTs / 2 (e jTs / 2 e jTs / 2 )
2 j
2 sin ( / s ) e j ( /s ) s 2 / Ts s ( / s )
零阶保持器的特性：
T Gh ( j)
（1）低通特性
EXIT
•2019年5月24日 第8章第23页
EXIT
•2019年5月24日 第8章第24页
7.3.1 Z变换的定义(单边Z变换)
连续信号：f（t）
其理想采样信号： f (t) f (nTs ) (t nTs )
n0
其拉氏变换： F (s) L[ f (t)] f (nTs )enTss
线性离散系统的稳定性
13
当输入信号为单位阶跃信号 r(t) 1(t) 时，
其z变换为 R(z) z ，系统输出的z变换为
z 1
m
Y (z)
(z)R(z)
k
(z zj)
j 1
n
(z pi )
z
z 1
i 1
在特征值无重根时，可得
Az n
Y(z)
Bi z
z 1 i1 z pi
14
Y (z) Az n Bi z
1
瞬态响应是发散振荡的 脉冲序列。
振荡角频率 i
T
Re
-1
25
6.8.2 线性离散系统的时间响应
闭环脉冲传递函数 典型输入信号的z变换
输出信号的z变换 Y (z)
求z反变换 时域响应 y*(t)
26
[例6-23] 线性离散系统的闭环脉冲传递函数为
(z)
Y (z) R(z)
0.2385z1 0.2089z2 11.0259z1 0.4733z2
z 1 i1 z pi
其中
A M (z) D(z) z1
Bi
M (z)(z pi ) D(z)(z 1)
z pi
n
y(kT ) A Bi pik i 1
z反变换
瞬态响 应分量
极点 pi 在z平面内的位置决定了瞬态响应分量的类型。 15
[1] 实数极点
当极点 pi 位于z平面的实轴上时，其相应的一个
10
[例6-22] 已知线性离散系统的框图如下，
R(s)
-
T 1 eTs
s
k
Y (s)
s(s 1)
分析当 T 0.5s 和 T 1s 时，增益 k 的临界值。
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综上所述，已知 f (t) 求 F(z) 时，既可以按下面的 虚线箭头的步骤求取 F(z) ，又可以按实线箭头 的步骤求取 F(z) 。
f (t) 采样 f *(t) z变换 F(z)
拉氏变换
F(s) 部分分式
3、留数计算法
设连续函数f (t) 的拉氏变换式F(s)及其全部极点 pi 为
已知，则可用留数计算法求其 Z变换。
则有 n F (z) ai Fi (z) i 1
上式表明，Z 变换是一种线性变换，其变换过
程满足齐次性与均匀性。
2、平移定理
平移定理又叫做实数位移定理。其含义是指整个采样 序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平 移称为超前，向右平移称为滞后。平移定理如下所述。
如果函数f (t)是可拉氏变换的，其 z 变换为F(z)，则有
信号e(t)就可以完整地从采样信号e*(t)中 恢复过来。
即采样频率
s 2m
三、采样周期的选择
1.经验数据
三、采样周期的选择
2.计算公式：
频域： 时域：
s 10c
T
1 10 tr
2 1
T
s
5
c
1 T 40 ts
7.3 信号恢复与信号保持
一、理想的信号恢复 二、零阶保持器 三、一阶保持器
三、一阶保持器
Gh
(
s)
T
(1
Ts
)(1
eTs Ts
)
2
7.4 Z变换理论
一、 Z变换的定义 二、 Z变换的求法 三、 Z变换的性质 四、 Z反变换
一、 Z变换的定义
连续函数f(t)的拉氏变换：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
f(t)的采样信号为： f *(t) f (nT ) (t nT ) n0
是有理公式，且无重极点，则可将 F(s) 写成部分
分式之和：
n
F(s)
Ai
i1 s pi
式中：n 为 F(s)的极点数目；pi 为 F(s) 的极点； Ai 为常系数。
只要求出 pi 及 Ai ，就可以按下式求出F(s) 所对应
的 Z 变换式F(z)，即
F ( z)
n i 1
Ai z z e piT
z
esT
]
当 F(s) 具有 q 阶重复极点 s p 时，相应的留数为R(q1 1)!lim
s p
d q1 ds q 1
[( s
p)q
F
(s)
z
z esT
]
三、 Z变换的性质
1.线性定理 2.平移定理 3.初值定理 4.终值定理 5.复数位移定理 6.卷积定理
1、线性定理
设线性函数为
n
f (t) ai fi (t) a1 f1(t) a2 f2 (t) an fn (t) i 1
Z[ f (t kT)] zk F (z)
以及
k 1
Z[ f (t kT)] zk [F (z) f (nT )zn ]
n0
式中 k 为正整数
e (t)
e(t-2T)
第8个 采样周期
第2个 采样周期
e(t+6T)
第10个 采样周期
平移定理
3、初值定理
设函数 f (t) 的Z
变换为 F (z)
，并且 lim F(z)存在， z
则有
f (0) lim F(z) z
4、终值定理
设函数f (t) 的 Z 变换为F(z) ，函数序列f (nT )为有
限值 (n 0,1,2, ) ，并且极限lim f (nT)存在，则函 n
数序列的终值为：
lim f (nT) lim(z 1)F(z)
n
z1
Ai
i1 s pi
n
F(z)
Ai z
z e piT
i 1
3、留数计算法：
F(z) Z[ f
*(t)]
n i 1
Res[F( pi )
z ] z e piT
n i 1
Ri
1、级数求和法
设连续函数为 f (t) ，对应离散函数 f *(t):
f *(t) f (nT) (t nT) n0 f (0) (t) f (T) (t T) f (2T) (t 2T) f (nT) (t nT)
一、理想的信号恢复
将e*(t)送入理想滤波器中
二、零阶保持器
采用恒值外推规律。
二、零阶保持器
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh
(s)
L[
gh
(t)]
1
eTs s
三、一阶保持器
线性外推 e(nT t) a0 a1t
e(nT t) e(nT ) e(nT ) e[(n 1)T ] t T
5、复数位移定理
7.1 离散系统的基本概念
1.定义 2.特点 3.采样开关的工作方式
1.定义
当控制系统存在定义在离散时间上的信号 时，称为离散系统。
2.特点
• 数字校正比模拟校正效果好，控制规律灵活易于改变 • 有效一直噪声，抗干扰能力强 • 一台计算机可分时控制若干系统，设备利用率高
r(t) e(t) -
S e*(t) 脉冲控制器
其拉氏变换：
F *(S) f (nT ) enTs n0
令 z eTs 得：
F (z) f (nT ) zn n0
二、 Z变换的求法
1、级数求和法：逐项进行Z变换
F(z) f (0) f (T )z1 • • • f (nT )zn • • •
2、部分分式法：和拉氏变换对应
n
F(s)
u*(t)
保持器
uh(t) 被控对象
c(t)
3.采样开关的工作方式
• 等周期采样 • 多阶采样 • 多速采样 • 随机采样
7.2 采样过程和采样定理
一、采样过程 二、采样定理 三、采样周期的选择
一、采样过程
采样过程相当于一个脉冲调制过程。
二、采样定理
如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽， 其最后频率为ωm ,则只要采样周期T满足：
逐项拉氏变换: F *(s) f (0) f (T )eTs f (nT )enTs
即： F (z) f (0) f (T )z1 f (nT )zn
这就是离散时间函数 f *(t) 进行Z 变换的级数表达式。
2、部分分式法
设连续函数为 f (t)，对应拉氏变换为F(s) 。若 F(s)
F(z)
Z[
f
* (t )]
n i1
Re
s[F ( pi )
z
z e piT
]
n i 1
Ri
式中
Ri
z Re s[F ( pi ) z e piT ]
为
F
(s)
z
z esT
在 s pi
时的
留数。
当 F(s) 具有一阶极点s p1 时，其留数 R1 为
z
R1
lim [(s
s p1
p1)F (s)