材料力学梁的强度问题

9
再利用式子(7-3)，可以得到组合图形的形心坐标：
n
zc
Sy A
Ai zci
i1 n
Ai
i1
n
yc
Sz A
Ai yci
i1 n
Ai
i1
10
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
1) 截面二次轴距(second moment of an area) 惯性矩(moment of inertia)
y
y1
z1
z
b
dA
y
Iy Iz
? I y1 I z1
o a
z y1
I yz
I yz 1
O’
z1
I y 1 A z 1 2 d A A z b 2 d A z A 2 d 2 b A A z d b 2 A
Iy2bSyb2A
如Biblioteka Baidu参考坐标系oyz的原点位于形心，则：Sy 0
31
转轴公式的几点说明：
33
几个简单平面图形的形心主惯性矩
圆形截面
Iy
Iz
I
d4
64
环形截面
IyIzI6 D 44 14
d
D
矩形截面
Iy
hb 3 12
Iz
bh 3 12
34
7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 7.3.1 平面弯曲和纯弯曲的概念
对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对 称轴组成的平面，称为梁的对称面(symmetric plane)
如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零，则称这 一对坐标轴为过这一点的主轴(principal axis)。
图形对于主轴的惯性矩称为主惯性矩(principal moment
of inertia of an area)。主惯性矩具有极大值或极小值的特 征。
主惯性矩为：
I Iz yo o I Im mi anx Iy 2Iz1 2 IyIz2 4 Ix 2y
若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为
合力的作用点。
设zc、yc为形心坐标，则根据合力矩定理：
Sy Azc
Sz Ayc
zc
Sy A
zdA
A
A
yc
Sz A
ydA
A
A
形心坐标 与静矩之 间的关系
6
根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系 可以看出：
静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴
4
7.2.1 静矩、形心及其相互关系
1. 截面一次矩 或 静矩
Sy
zdA
A
Sz
ydA
A
静矩单位为m3
如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩，而Sz和
Sy则分别为A对z轴和y轴的力矩。
5
图形几何形状的中心称为形心(Centroid of an area)
Iy
z2dA
A
dAhdz
Iy
b 2 z2hdz
b 2
hb 3 12
bh 3 I z 12
15
7.2.3 惯性矩与惯性积的移轴定理
y
y1
z1
z
b
dA
y
Iy Iz
? I y1 I z1
o a
z y1
I yz
I yz 1
O’
z1
I I b2A
y1
y
I I a2A
z1
z
I I abA
yz1
圆环中心的极惯性矩为： IP3D4214
d
D
13
当坐标轴通过某圆形横截面的中心，则该圆形横截面 对其中任意两根轴具有相同的惯性矩。其数值均为：
Iy
Iz
I
d4
64
类似的，对于圆环形状的横截面，具有类似的结果为：
IyIzI6 D 44 14
d
D
14
当坐标轴原点位于矩形横截面的中心，则其惯性矩分别为：
Sz A1yc1A2yc2Anycn Aiyci i1
28
注意几点： 平面图形有两个对称轴，则形心必定位于两个对称轴
的交点上。
平面图形有一个对称轴，则形心必定必在这一条对称
轴上，只需确定其具体位置即可。
29
在工程中求平面图形形心时，往往不用积分方法求静
矩，而尽量采用组合图形求静矩。
对同一平面图形选取不同的参考坐标系，其形心位置
b 1 y2 h/2 0
2
h/2
对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零.
8
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以 直接确定形心位置的图形)；然后由式(7—2)分别计算它 们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和，即
n
Sy A1zc1A2zc2Anzcn Aizci i1 n
Sz A1yc1A2yc2Anycn Aiyci i1
的坐标也会不同。但形心在平面图形中的位置是不变的。
平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩为零，因此若
平面图形对某个轴的静矩为零，则该坐标轴必通过平面 图形的形心。
y
SyAzdA Azh dh 2zz2b b 220
h z
SzAydA A yb db 2y y2b 2 b10
b
30
平行移轴公式
梁的横截面没有对称轴，但是都有通过横截面形心
的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，称为
梁的主轴平面(plane including principal axis)。由于 对称轴也是主轴，所以对称面也是主轴平面；反之则不 然。以下的分析和叙述中均使用主轴平面。
35
平面弯曲：所有外力(包括力、力偶) 都作用梁的
2
7.1 工程中的弯曲构件
3
7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于内 力分量的类型、大小以及杆件的尺寸，而且与杆件横 截面的几何形状有关。因此，研究杆件的应力与变形， 研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及 到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统 称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、 极惯性矩、惯性积、主轴等。
且它们的值随不同坐标系变化而变化。
惯性半径的量纲是长度的一次方，面积的量纲是长
度的二次方，静矩的量纲是长度的三次方，其余的(惯 性矩、惯性积、极惯性矩)量纲是长度的四次方。
27
静矩和形心位置的确定
单个图形的情况：
zc
Sy A
zdA
A
A
yc
Sz A
ydA
A
A
组合图形的情况：
n
Sy A1zc1A2zc2Anzcn Aizci i1 n
第七章 梁的强度问题
1
对于梁的受力弯曲，其横截面上的应力分布将不 再均匀，如何确定梁横截面上的应力分布便成了首要 解决的问题。
只有确定了梁上任意横截面的应力分布情况，才能 知道“危险截面”
进而进行强度设计，考虑是否存在安全问题等。
绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，切应 力的影响是次要的，本章将主要确定梁横截面上正应 力以及与正应力有关的强度问题。
A
Sz
ydA
A
截 面 二 次 矩
(惯性矩)
Iy
z2d
A
A
Iz
y2dA
A
截 面 二 次 矩
(惯性积)
Iyz
yzdA
A
截 面 二 次 极 矩
(极惯性矩)
IP
r2dA
A
惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
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特点：
静矩、惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性半径都是
对某一指定坐标系而言。
其中静矩和惯性积可正可负，也可以为零。 惯性矩、极惯性矩、惯性半径都是大于零的正值，
y
y
17
7.2.4 惯性矩与惯性积的转轴定理
y1
y
z dA y
I z1
y
Iz
?
I y1 I z1
o
z
I yz
I yz 1
Iy1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos2 Iyz sin2
Iz1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos2 Iyz sin2
Iy1z1
Iy
Iz 2
sin2
Iyz
cos2
转轴定理不要求
坐标轴通过横截 面的形心。
定义
iy
Iy A
iz
Iz A
惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置 的不同，可能为正，可能为负。三者的单位均为m4。
12
对于圆形横截面： 此时坐标轴通过横截面的形心，
得到极惯性矩为：
IP
r2dA
A
Ar2
IP
Rr22rdr
0
dA2rdr
R4 d4
2 32
类似的得到圆环截面对于
仅 在 AB 段区间
纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因 而，便只有垂直于横截面的正应力。
37
横向弯曲：梁在垂直梁轴线的横向力作用下，
其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截 面上不仅有正应力，还有切应力。这种弯曲称为横向 弯曲，简称横弯曲(transverse bending)。
7.3.2 纯弯曲时梁横截面上正应力分析
Iy
z2dA
A
Iz
y2dA
A
单位为m4
2) 二次极距(second polar moment of an area)
极惯性矩
IP
r2dA 单位为m4
A
r2 y2 z2 IP Iy Iz
11
3) 惯性积 (Product of inertia)
Iyz
yzdA
A
单位为m4
4) 惯性半径 (radius of gyration )
20
21
22
n
yc
Sz A
Ai yci
i 1 n
Ai
i 1
A1yc1A2yc2 A1 A2
23
24
25
小结
y
z
dA
r
y
z
1)I P I y I z 2)下标 y是对 y轴而言
下标 z是对 z轴而言 3)下标 r是对原点而言
面积： A dA
A
截 面 一 次 矩
(静矩)
Sy
zdA
moment of inertia of an area)。主惯性矩具有极大 值或极小值的特征。
主惯性矩为：
I Iz yo o I Im mi anx Iy 2Iz1 2
IyIz2 4 Ix 2y
19
Iyz
yzdA
A
dAhdz
Iyzob2yzhdzy8h2b
Iyzob2yzhdzy8h2b
同一主轴平面内时，梁的轴线弯曲后将弯曲成平面 曲线，这一曲线位于外力作用平面内，这种弯 曲称 为平面弯曲(plane bending)。
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纯弯曲：一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面
上一般将有两个内力分量，就是剪力和弯矩。如
弯矩 果梁的横截面上只有
一个内力分量，这
种平面弯曲称为纯弯曲(pure bending)
❖分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各点
的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。
❖由于横截面上的应力是看不见的，而梁的变形是可以看
见的，应力又和变形有关，因此，可以根据梁的变形情形 推知梁横截面上 的正应力分布。
38
1. 平面假定与应变分布
在伸长层与缩短层交界处的那一层，既不伸长也不缩 短，该层称为中性层或中性面(neutral surface)。
y1
y
z dA y
o
α角从原坐标轴y量起， 以
z1 逆时针为正，顺时针为负。
对于同一坐标原点的任意两
z
个坐标系yoz和y1o1z1存在下列
关系：
IPIyIzIy1Iz1
32
主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩
Iy1z1Iy 2Izsi2 nIyc z o 2s 0
tan2o
2Iyz Iy Iz
就可以得 ＝ 到 o，某 相个 应的 yo和 坐 zo 标轴
有不同的静矩：对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标 轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静 矩等于零(证明见下一页)。
如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，
如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于 这一坐标系中坐标轴的静矩。
7
y
Sz
ydA
A
h C b
h/2
z
y bdy h/2
出数值。主要因为：y坐标是从中性轴开始计算的，而中性轴 的位置还没有确定；中性轴的曲率半径ρ也没有确定。
18
7.2.5 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心惯性矩
Iy1z1Iy 2Izsi2 nIyc z o 2s 0
就可以得 ＝ 到 o，某 相个 应的 yo和 坐 zo 标轴
如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积等于零， 则称这一对坐标轴为过这一点的主轴(principal axis)。
图 形 对 于 主 轴 的 惯 性 矩 称 为 主 惯 性 矩 (principal
那么弧AA‘的相对伸长量为：
x ddxxyddxy1
1 d dx
变形前
变形后
40
(2) 物理方程
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。
x
x
xE xE y C y
(7-24)
横截面上的弯曲正应力沿横截面的高度方向从中性轴为零
开始呈线性分布。
该式子还只是给出了正应力分布情况，但是还不能具体求
yz
Iy1、Iz1总是增加的。 Iyz1的增加与否a，b的 与正负号有关
移轴定理要求坐标轴通过横截
面的形心。
16
I z 2 d A z b 2 d A z 2 2 z b b 2 d A
y 1
1
z2 d A 2 b zd A b 2 d A
I b2A2bzdA y
I b2A2bS
中性层与横截面的交线，称为中性轴(neutral axis) 中性轴垂直于加载方向，对于具有对称轴的横截面梁， 中性轴垂直于横截面的对称轴。
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假设OO’为中性层，并建立如图所示的坐标OXY。
整体变形效果
弧AA’= yd
弧OO’=dx= d 那么弧AA‘的绝对伸长量为：
d x y d d y d