复数集内非实系数一元二次方程的根的问题

小结：数集从实数扩大到复数，数 的性质发生变化，在实数范围内成 立的性质不一定在复数范围成立。 因此，凡是涉及到复数的有关问题 决不能照搬实数的情况。
例.已知2i 3是关于x的方程 2 x px q 0的一个根，求实数
2Hale Waihona Puke p，q的值。[解析] x＝2i-3 是方程的实根，代入方程并整理得 (10-3p+q)＋(2p-24)i＝0.
1.对于实系数一元二次方程
ax bx c 0 ( a, b, c R, a 0 )
2
0 时方程有两相异实根 0
0
x1, 2
b 2a
时方程有两相等实根 x1, 2
b 2a
b i 时方程有两共轭虚数 x1,2 2a
（2）对于系数不全是实数的方程一般 情况下：首先考虑因式分解；然后考虑 用复数相等的条件来求解；求根公式也 是一种方法。 （3）对于不全是实数的一元二次方程 2 ax bx c 0 的几个结论： 判别式失效； 求根公式、韦达定理仍然适用， 但根不一定是共轭复数。
10 3 p q 0 由复数相等的条件得 2 p 24 0
p 26 解得 q 12
例．已知关于 x 的方程 x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0 有实根， 求这个实根以及实数 k 的值．
[解析] 设 x＝x0 是方程的实根，代入方程并整理得
(x2 0＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
2 x 0＋kx0＋2＝0， 由复数相等的条件得 2x0＋k＝0，
x0＝ 2 x0＝－ 2， 解得 或 k＝－2 2 k＝2 2.
∴方程的实根为 x＝ 2或 x＝－ 2， 相应的 k 的值为 k＝－2 2或 k＝2 2.