南航07-14矩阵论试卷

南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题

2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷

一、（20分）设矩阵

⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=111322211

A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；

（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236

-+；

（4）写出A 的Jordan 标准形。 二、（20分）设2

2⨯R 是实数域R 上全体22⨯实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。

（1）求2

2⨯R

的维数，并写出其一组基；

（2）设W 是全体22⨯实对称矩阵的集合， 证明：W 是2

2⨯R

的子空间，并写出W 的维数和一组基；

（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；

（4）给出22⨯R 上的线性变换T ： 22,)(⨯∈∀+=R A A A A T T

写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。 三、（20分）

（1）设

⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设n

n ij C a A ⨯∈=)(，令

ij

j

i a n A ,*max ⋅=，

证明：

*是

n n C ⨯上的矩阵范数并说明具有相容性；

（3）证明：*2*1

A A A n ≤≤。

四、（20分）已知矩阵

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=10010001111

1A ，向量

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；

（2）计算+

A ；

（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。 五、（20分）

（1）设矩阵

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15.025.01

121

0,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，

问当t 满足什么条件时, B A >成立？

（2）设n 阶Hermite 矩阵

022121211

>⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=A A A A A H

，其中k k C A ⨯∈11，

证明：0,0121

11122211>->-A A A A A H

。

（3）已知Hermite 矩阵()

n

n ij C

a A ⨯∈=，

()

n i a a i

j ij

ii ,,2,1 =>∑≠，证明：A 正定。

2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试B 卷

一．（20分）已知矩阵

⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛---=040041221A ， （1）求A 的不变因子、初等因子及最小多项式；

（2）求A 的Jordan 标准形J 及可逆变换矩阵P ，使得1

P AP J -=；

（3）问矩阵序列

{}k

A 是否收敛？.

二．（20分）

（1）已知矩阵

210023120A -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭，求12,,,;F A A A A ∞ （2）设A 为n 阶可逆矩阵，⋅

是n n

C

⨯上的相容范数，λ为A 的任一特征值，

证明：

1

1

A A

λ--≤≤ 。

三．（20分）3

[]R x 表示实数域上次数不小于3的多项式与零多项式构成的线性空间，

对

3

()[]f x R x ∀∈，记

R c b a c bx ax x f ∈++=,,,)(2

其中，在3[]R x 上定义线性变换： ).4()322(3)]([2c b a x c b a ax x f T ++++++=

（1）给出

3

[]R x 的一组基，并求出线性变换T 在该基下的表示矩阵；

（2）求线性变换T 的特征值和特征向量；

（3）判断线性变换T 是否可对角化？若可以，给出对角化的一组基；若否，证明之。 四．（20分）

（1）设

241112121221A ⎛⎫

⎪=- ⎪

⎪---⎝⎭，试给出A 的满秩分解，并计算A +； （2）设

402b ⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪

⎝⎭，利用广义逆矩阵判断线性方程组Ax b =是否相容？若相容，求其通解； 若不相容，求其极小最小二乘解。

五．（20分）

（1）设

53201

232,11

0.52220.51A t B t t t ⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

,其中t 是实数，

问t 满足什么条件时，A B >成立？

（2）设A 为n 阶Hermite 矩阵，对任意,0n

x C x ∈≠，记

x x Ax

x x R H H =)(， 证明：

min max ()()(),0A R x A x λλ≤≤≠。

（3）设n 阶Hermite 矩阵

11

1212

22H A

A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中11(1)

k k A C k n ⨯∈≤<，

如果1

11221211120,0,

H A A A A A ->-> 证明：0A >。

2008 ~ 2009学年《矩阵论》 课程考试A 卷

一（20分）设

81630314210A -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪--⎝⎭, （1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2） 求A 的不变因子、初等因子和最小多项式； （3） 写出A 的Jordan 标准形。