工科数学分析-5(6)二阶常系数线性微分方程41页PPT
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复根 i exsinx,xexsinx, xk 1exsinx
12
二阶常系数线性微分方程
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每 一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各 一个任意常数.
y C 1 y 1 C 2 y 2 C n y n
13
二阶常系数线性微分方程
例4 求方程 y(4)2y5y0的通解.
为了得到实数形式的解, eix co xs isixn
重 新
y1 12(y1y2)excosx
组 合
y2
1 2i
(y1
y2)exsinx
y1 常数 y2
得齐次方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
7
二阶常系数齐次线性微分方程
由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 称为特征方程法.
(r2p rq)erx0 erx 0,
故有 r2prq0
特征方程
(characteristic equation)
特征根
r1,2
p
p24q 2
(characteristic root)
4
二阶常系数线性微分方程
设解 y erx其中r为待定常数.
特征根r的不同情况决定了方程
y p y q y 0 的通解的不同形式.
两边求导两次,得到 f(x ) f(x )f(x ) 0
解得 f(x)e2 xC1cos23xC2sin23x 又 f(0)f(0)5,
所以 f(x)e2 x5cos23x53sin23x
16
二阶常系数线性微分方程
二、常系数非齐次线性方程
L y y p y q yf(x )二阶常系数 非齐次线性方程
r2prq0 特征方程
※ 有两个不相等的实根 (0)
r1
p
p24q ,
2
r2
p
p24q, 2
两个 线性无关的 特解
y1 er1x,
y2 er2x,
y1 y2
常数
得齐次方程的通解为 yC 1e r1 xC 2 er2x
5
二阶常系数线性微分方程
设解 y erx 其中r为待定常数.
※有两个相等的实根 (0)
二阶常系数齐次线性方程 yp y q y 0
求通解的步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r2prq0
(2) 求出特征根
(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解
特征根的情况
通解的表达式
实根 r1 r2
yC 1er1xC 2er2x
实根 r1 r2
y(C1C2x)er2x
复根 r1， 2i y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
10
二阶常系数线性微分方程
16y24y9y0,
例3
解初值问题
yx0 4,
y 2. x0
解 特征方程 1r6 22r4 90
特征根 r 3 (二重根)
4
所以方程的通解为 4y
30x
(C1 C20x)e4
C1
4
3x
y(4C2x)e4
y23C24 3C20xe4 30x
3x
C2 1 特解 y(4x)e4 .
n阶常系数 线性微分方程
y p y q y 0
二阶常系数 齐次线性 方程
y p y q y f( x )
二阶常系数非齐次线性方程
3
二阶常系数线性微分方程
一、常系数齐次线性方程
----- 特征方程法
L yyp yq y0二阶常系数齐次 线性方程
设解 y erx 其中r为待定常数. 将其代入方程, 得
11
二阶常系数线性微分方程
推广:n阶常系数齐次线性方程
y ( n ) P 1 y ( n 1 ) P n 1 y P n y 0 特征方程 r n P 1 r n 1 P n 1 r P n 0
特征方程的根
对应特解
若是k重根r
erx,xerx, ,xk1erx
若是k重共轭 excosx,xexcosx, xk 1excosx,
8
二阶常系数线性微分方程
例1 求方 y4y程 4y0的.通解 解 特征方程 r24r40
特来自百度文库根 r1r2 2
故所求通解为
y(C 1C 2x)e2x
9
二阶常系数线性微分方程
例2 求方 y2y程 5y0的.通解
解 特征方程 r22r50
特征根 r1， 2 12i
故所求通解为
ye x (C 1 c2 o x C s2 s2 ix ) n
工科数学分析-5(6)二阶常系 数线性微分方程
第六节 二阶常系齐数次线性微分 方程
常系数齐次 线性方程 常系数非齐齐次次线性方程 欧拉方程 小结 思考题 作业
2
第十二章 微分方程
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y ( n ) P 1 y ( n 1 ) P n 1 y P n y f ( x )
解 特征方程 r42 r35 r20 ,
即
r2(r22r5)0.
特征根 r1r20和 r3,412i.
故所求通解为
yC 1C 2x e x (C 3 c2 o x C s4 s2 ix n )
14
二阶常系数线性微分方程
例5 求方程 y(5)y(4)2y2yyy0的通 . 解
解 特征方程 r 5 r 4 2 r 3 2 r 2 r 1 0 (r1)r(21)20
p
r1
r2
, 2
一特解为 y1 er1x,
y2 常数 y1
设 y2 u( x)e r1x , 其中u(x)为待定函.数
将y2， y2， y2代入 y 到 pyq y0.化简得
u ( 2 r 1 p ) u ( r 1 2 p 1 q ) u r 0 ,
0
0
知 u0, 取 u(x)x, 则 y2xer1x,
特征根 r11(单根 ),r2,3 i(二重 )共轭复 , 根 对应的特解 y1 ex y2 coxs, y3 sinx, y4xcoxs,y5 xsinx
故所求通解
yC1ex (C2C3x)cox s(C 4C 5x)sixn
15
二阶常系数线性微分方程
例6 设 f(x)50xxt1f(t)dt
其中 f ( x ) 为连续函数,求 f ( x ) .
f ( x)的类型 Pm(x), Pm(x)ex,
得齐次方程的通解为 yC1e r1 x C2xer1x
(C 1 C 2x )er 1 x
6
二阶常系数线性微分方程
设解 y erx 其中r为待定常数.
※有一对共轭复根 (0)
r1i,
r2i,
y1 er1xe(i)x, y2 er2xe(i)x
y 1 ,y 2 为y 方 p y q 程 用0 y 欧的拉两(个Eu线ler性)公无式关:的解.
12
二阶常系数线性微分方程
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每 一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各 一个任意常数.
y C 1 y 1 C 2 y 2 C n y n
13
二阶常系数线性微分方程
例4 求方程 y(4)2y5y0的通解.
为了得到实数形式的解, eix co xs isixn
重 新
y1 12(y1y2)excosx
组 合
y2
1 2i
(y1
y2)exsinx
y1 常数 y2
得齐次方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
7
二阶常系数齐次线性微分方程
由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 称为特征方程法.
(r2p rq)erx0 erx 0,
故有 r2prq0
特征方程
(characteristic equation)
特征根
r1,2
p
p24q 2
(characteristic root)
4
二阶常系数线性微分方程
设解 y erx其中r为待定常数.
特征根r的不同情况决定了方程
y p y q y 0 的通解的不同形式.
两边求导两次,得到 f(x ) f(x )f(x ) 0
解得 f(x)e2 xC1cos23xC2sin23x 又 f(0)f(0)5,
所以 f(x)e2 x5cos23x53sin23x
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二阶常系数线性微分方程
二、常系数非齐次线性方程
L y y p y q yf(x )二阶常系数 非齐次线性方程
r2prq0 特征方程
※ 有两个不相等的实根 (0)
r1
p
p24q ,
2
r2
p
p24q, 2
两个 线性无关的 特解
y1 er1x,
y2 er2x,
y1 y2
常数
得齐次方程的通解为 yC 1e r1 xC 2 er2x
5
二阶常系数线性微分方程
设解 y erx 其中r为待定常数.
※有两个相等的实根 (0)
二阶常系数齐次线性方程 yp y q y 0
求通解的步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r2prq0
(2) 求出特征根
(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解
特征根的情况
通解的表达式
实根 r1 r2
yC 1er1xC 2er2x
实根 r1 r2
y(C1C2x)er2x
复根 r1， 2i y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
10
二阶常系数线性微分方程
16y24y9y0,
例3
解初值问题
yx0 4,
y 2. x0
解 特征方程 1r6 22r4 90
特征根 r 3 (二重根)
4
所以方程的通解为 4y
30x
(C1 C20x)e4
C1
4
3x
y(4C2x)e4
y23C24 3C20xe4 30x
3x
C2 1 特解 y(4x)e4 .
n阶常系数 线性微分方程
y p y q y 0
二阶常系数 齐次线性 方程
y p y q y f( x )
二阶常系数非齐次线性方程
3
二阶常系数线性微分方程
一、常系数齐次线性方程
----- 特征方程法
L yyp yq y0二阶常系数齐次 线性方程
设解 y erx 其中r为待定常数. 将其代入方程, 得
11
二阶常系数线性微分方程
推广:n阶常系数齐次线性方程
y ( n ) P 1 y ( n 1 ) P n 1 y P n y 0 特征方程 r n P 1 r n 1 P n 1 r P n 0
特征方程的根
对应特解
若是k重根r
erx,xerx, ,xk1erx
若是k重共轭 excosx,xexcosx, xk 1excosx,
8
二阶常系数线性微分方程
例1 求方 y4y程 4y0的.通解 解 特征方程 r24r40
特来自百度文库根 r1r2 2
故所求通解为
y(C 1C 2x)e2x
9
二阶常系数线性微分方程
例2 求方 y2y程 5y0的.通解
解 特征方程 r22r50
特征根 r1， 2 12i
故所求通解为
ye x (C 1 c2 o x C s2 s2 ix ) n
工科数学分析-5(6)二阶常系 数线性微分方程
第六节 二阶常系齐数次线性微分 方程
常系数齐次 线性方程 常系数非齐齐次次线性方程 欧拉方程 小结 思考题 作业
2
第十二章 微分方程
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y ( n ) P 1 y ( n 1 ) P n 1 y P n y f ( x )
解 特征方程 r42 r35 r20 ,
即
r2(r22r5)0.
特征根 r1r20和 r3,412i.
故所求通解为
yC 1C 2x e x (C 3 c2 o x C s4 s2 ix n )
14
二阶常系数线性微分方程
例5 求方程 y(5)y(4)2y2yyy0的通 . 解
解 特征方程 r 5 r 4 2 r 3 2 r 2 r 1 0 (r1)r(21)20
p
r1
r2
, 2
一特解为 y1 er1x,
y2 常数 y1
设 y2 u( x)e r1x , 其中u(x)为待定函.数
将y2， y2， y2代入 y 到 pyq y0.化简得
u ( 2 r 1 p ) u ( r 1 2 p 1 q ) u r 0 ,
0
0
知 u0, 取 u(x)x, 则 y2xer1x,
特征根 r11(单根 ),r2,3 i(二重 )共轭复 , 根 对应的特解 y1 ex y2 coxs, y3 sinx, y4xcoxs,y5 xsinx
故所求通解
yC1ex (C2C3x)cox s(C 4C 5x)sixn
15
二阶常系数线性微分方程
例6 设 f(x)50xxt1f(t)dt
其中 f ( x ) 为连续函数,求 f ( x ) .
f ( x)的类型 Pm(x), Pm(x)ex,
得齐次方程的通解为 yC1e r1 x C2xer1x
(C 1 C 2x )er 1 x
6
二阶常系数线性微分方程
设解 y erx 其中r为待定常数.
※有一对共轭复根 (0)
r1i,
r2i,
y1 er1xe(i)x, y2 er2xe(i)x
y 1 ,y 2 为y 方 p y q 程 用0 y 欧的拉两(个Eu线ler性)公无式关:的解.