第七单元 事件的独立性

经济数学基础第9章随机事件与概率第七单元事件的独立性

一、学习目标

通过本节课的学习，理解事件独立性的概念，会用公式判别或根据实际判断.

事件是否独立.

二、内容讲解

引例：某检修工人负责甲，乙两个车间机器的检修. 已知甲车间机器需要检修的概率是0.2，乙车间机器需要检修的概率是0.15，求检修工人空闲的概率.

解：设A＝{甲车间不需要检修}，B＝{乙车间不需要检修}，所求为P（AB）.

由概率乘法公式P（AB）＝

)

(

)

(A

B

P

A

P

若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B）

称事件A，B相互独立. 则有

P(B∣A)＝P(B) P(A∣B)＝P(A)

反之，有P(AB)＝P(A)P(B)⇒A与B独立.

解引例:因为A与B独立，

所以P(AB)=P(A)P(B)=(1－0.2)(1-0.15)=0.68

关于事件的独立性有结论：

若四对事件A，B；A，B；A，B；A，B中有一对独立，则另外三对也独立(即这四对事件或者都独立，或者都不独立).

为判断事件的独立性提供了方便.

问题: 若事件A与B满足AB＝∅，那么事件A与B独立吗？

一般不对立. AB＝∅，表明事件A与B互不相容. 一般地，互不相容的两事件不会独立.

经济数学基础 第9章 随机事件与概率

(1) 当A ≠∅，B ≠∅时，A 与B 独立，有P (AB )＝P (A )P (B )，

不可能得到AB ＝∅. 反之，若A ≠∅，B ≠∅时，AB ＝∅，则有P (AB )=0，那么就不可能有P (AB )=P (A )P (B ).

(2) 必然事件U 与任何事件独立，因为任意事件A ，有P (UA )=P (U )P (A ).

(3) 不可能事件∅与任何事件独立，因为任意事件A ，有P (∅A )=P (∅)P (A ).

三、例题讲解

例1 某项招生考试时，需通过三项考核，三项考核的通过率分别为0.6，0.8，0.85.求招生考试的淘汰率.

解：设A ＝{通过第一项考核}，

B ＝{通过第二项考核}，

C ＝{通过第三项考核},

被录取为ABC ，被淘汰为ABC ， 所求为)(1)(ABC P ABC P -=

)()()(1C P B P A P -=

＝1－0.6×0.8×0.85=0.592

四、课堂练习

练习1 某电台有若干台发射机， 每台发射机都独立地运行，正常工作的概率都是0.8. 问电台至少需要几台发射机才能保证正常工作的概率达到99％以上. 根据所设，所求为 P (A )>0.99. 至少有一台发射机正常工作，则电台才能正常工作，故是一个和事件的概率，用摩根律可以将和事件转化成积事件，利用事件的独立性，就可以求得结果. 只要有一台发射机正常工作，则电台就能正常工作.

经济数学基础第9章随机事件与概率设有n台发射机，A＝{电台正常工作}，又设A k＝{第k台发射机正常工作},k=1,2,…,n. 根据事件的和之定义，A1+A2+…+A n表示至少有一台发射机正常工作，则A发生，故P(A)=P(A1+A2+…

+A n).

五、课后作业

1. 用三台机床制造一部机器的三种零件，机床的不合格品率分别为0.2，0.3，

0.1, 从它们的产品中各任取一件进行检验, 求所取三个产品都是不合格品的概

率.

2. 加工某种零件需要经过4道工序. 假设第1，2，3，4道工序出不合格品的

概率分别是2%,4%,5%,3%. 假设各道工序是互不影响的，求加工的零件是合格品的

概率.

3. 一个工人看管三台机床，在一小时内不需要工人照管的概率：第一台为

0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，求在一小时内，

(1)三台机床都不需要工人照管的概率；

(2)三台机床中至多有一台需要工人照管的概率.

4. 甲、乙二人独立地射击同一个目标，命中的概率分别为0.9和0.8. 现在

每人射击一次，求下列事件的概率：

(1) 二人都命中；

(2) 甲命中而乙未命中；

(3) 目标被击中；

(4) 只有一人命中.

5. 证明：若P(A∣B)=P(A∣B)，则事件A与B独立.

1. 0.006．

2. 0.867．

3. (1) 0.504；(2) 0.902．

经济数学基础第9章随机事件与概率

4. (1) 0.72； (2) 0.18； (3) 0.98； (4) 0.26．

5. (略)