-最大公因数最小公倍数应用讲义
第5讲-最大公因数与最小公倍数.doc
第5讲最大公因数与最小公倍数第一部分知识梳理1.公因数和最大公因数的意义几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个叫作它们的最大公因数。
2.求公因数和最大公因数的方法（1）列举法：先分别求出两个数的因数，再找出它们的公因数，然后找出最大的一个（2）试除法：先找出较小的那个数的因数，从中找出另一个数的因数，再找出最大的一个。
3.约分的含义及方法含义：把一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数，分数的值不变，这个过程叫作约分。
分子和分母只有公因数1的分数，叫作最简分数。
方法：（1）逐次约分法：用分数的分子和分母的公因数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最简分数。
（2）一次约分法：用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母。
4.公倍数和最小公倍数的意义几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。
其中最小的一个叫作最小公倍数。
5.求最小公倍数的方法：（1）列举法：分别写出两个数各自的倍数，再找出它们的公倍数，然后找出最小的一个。
（2）试除法：先找出较大的那个数的倍数，从找出另一个数的倍数，再找出最小的一个。
6.通分的含义方法（1）含义：把几个分母不同的分数化成同分母且分数值保持不变的分数，这个过程叫作通分。
（2）方法：通分时，用原分母的公倍数作为公分母，通常选用最小公倍数作公分母。
7.比较分数大小的方法（1）画图比较法（2）通分比较法（3）同分子比较法第二部分课前热身一、判断题1.5和7没有最大的公因数（）2.分子和分母都是偶数的分数，一定不是最简分数（）3.分子和分母都是奇数的分数，一定是最简分数（）4．最简分数的分子一定小于分母（）5.分子和分母是两个不同的质数时，这个分数一定是最简分数（） 6．分母是8的最简真分数有7个（）7.3和6的最小公倍数是12（）8.两个不同自然数的最大公因数一定比最小公倍数小（）9.两个自然数的乘积一定是这两个自然数的公倍数（）10.两个数的最小公倍数一定比这两个数大（）11.两个数的最小公倍数一定是这两数的最大公因数的倍数（）12.通分时，只能用两个数或几个数分母的最小公倍数作公分母（）13.通分的依据是分数的基本性质（）14.两个分数通分后，都比原分数大（）二、选择题1.既有公因数2，又有公因数3的一组是（）A15和6 B 27和28 C12和18 D16和302.最大公因数是1的一组是（）A15和5 B11和12 C 38和20 D100和23.甲数是乙数的倍数，甲乙两数的最大公因数是（）A1 B甲数 C乙数 D 甲乙两数的乘积4.两个数的最大公因数是1，最小公倍数是35，这两个数分别是（）A 5和7 B15和20 C 35和5第三部分精讲点拨考点一、用列举法和图解法解决复杂的找最大公因数的问题1．一个长方形，长80dm,宽20dm。
奥数最大公因数、最小公倍数讲义及答案
数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。
3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。
（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。
【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。
（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。
最大公因数和最小公倍数讲解
最大公因数和最小公倍数讲解最大公因数和最小公倍数是数学中常用的概念，它们在我们的日常生活中也有很多应用。
本文将以最大公因数和最小公倍数为主题，分别对它们的定义、性质和应用进行讲解。
一、最大公因数最大公因数也被称为最大公约数，简称为GCD（Greatest Common Divisor）。
它表示两个或多个整数共有的约数中最大的一个数。
例如，对于整数12和16来说，它们的约数分别是1、2、3、4、6和12，其中最大的一个约数为4，因此12和16的最大公因数就是4。
最大公因数的计算方法有很多种，常用的有质因数分解法和辗转相除法。
质因数分解法是将两个或多个数分别进行质因数分解，然后取出它们的公共质因数，并将这些质因数相乘得到最大公因数。
辗转相除法是通过不断用较小数去除较大数，然后用余数代替较大数，再继续进行除法运算，直到余数为0为止，此时较小数就是最大公因数。
最大公因数有很多重要的性质。
首先，最大公因数大于等于1，因为任意一个数都可以被1整除。
其次，最大公因数可以整除两个或多个数的所有公倍数。
最后，最大公因数与最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。
这些性质在数论、代数和几何等领域都有广泛的应用。
最大公因数在日常生活中也有很多实际应用。
例如，在化简分数时，可以将分子和分母的最大公因数约掉，从而得到最简分数。
此外，在求解线性方程时，最大公因数可以帮助我们找到方程的整数解。
另外，最大公因数还可以用于求解模运算、密码学等领域的问题。
二、最小公倍数最小公倍数也被称为最小公约数，简称为LCM（Least Common Multiple）。
它表示两个或多个整数公有的倍数中最小的一个数。
例如，对于整数4和6来说，它们的倍数分别是4、8、12、16、20和6、12、18、24，其中最小的一个公倍数为12，因此4和6的最小公倍数就是12。
最小公倍数的计算方法有很多种，常用的有质因数分解法和列表法。
质因数分解法是将两个或多个数分别进行质因数分解，然后取出它们的所有质因数，并将这些质因数相乘得到最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数讲解
最大公因数和最小公倍数讲解最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们在我们的生活中有着广泛的应用。
本文将以最大公因数和最小公倍数为主题，介绍它们的定义、计算方法以及实际应用。
一、最大公因数的定义和计算方法最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
最大公因数的计算方法有几种常见的方式。
1.1 辗转相除法辗转相除法是一种简单而有效的计算最大公因数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个数中较大的数除以较小的数，得到商和余数。
（2）将较小的数除以余数，再次得到商和余数。
（3）重复上述步骤，直到余数为0为止。
此时，较小的数就是最大公因数。
例如，计算30和45的最大公因数：30 ÷ 45 = 0余3045 ÷ 30 = 1余1530 ÷ 15 = 2余0因此，最大公因数为15。
1.2 素因数分解法素因数分解法是一种将数进行质因数分解的方法。
具体步骤如下：（1）将两个数分别进行质因数分解。
（2）将两个数中相同的质因数相乘，得到的结果即为最大公因数。
例如，计算72和96的最大公因数：72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 396 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3公共质因数为2 × 2 × 2 = 8，因此，最大公因数为8。
二、最小公倍数的定义和计算方法最小公倍数指的是两个或多个数的公倍数中最小的一个。
最小公倍数的计算方法有几种常见的方式。
2.1 常用倍数法常用倍数法是一种简单而直观的计算最小公倍数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个数列出它们的倍数。
（2）找出两个数中相同的倍数，其中最小的一个即为最小公倍数。
例如，计算6和8的最小公倍数：6的倍数：6、12、18、24、...8的倍数：8、16、24、32、...公共倍数为24，因此，最小公倍数为24。
-最大公因数最小公倍数应用讲义
练习：已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，则少5人。该校六年级有学生多少人？
练习：有一车苹果，每3箱一数，剩1箱；每5箱一数，剩1箱；每7箱一数，盛1箱。这车苹果至少多少箱？
有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人的年龄乘积是1620，这三个学生的年龄是多少岁？
巩固作业：
1.在（）内填入适当的质数。
10＝（）＋（）
10＝（）×（）
20＝（）＋（）＋（）
8＝（）×（）×（）
2、填空
所有自然数的公因数为（）。
如果m和n是互质数，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
课题
最大公因数、最小公倍数应用
教学目标
1、学求两个数的最大公因数。
2、能够运用关于最大公因数的应用题。
3、提高自己对两质数积的敏感性，便于质因数的分解。
重点、难点
重点：学求两个数的最大公因数。
难点：能够运用关于最大公因数的应用题。
考点及考试要求
1、学求两个数的最大公因数。
2、能够运用关于最大公因数的应用题。
教学内容
知识框架
1、两个数的最大公因数的方法。
2、关分解。
考点一：最大公因数、最小公倍数的应用
典型例题：
例一：已知A=2×2×3×5，B=2×3×3×5，C=3×5×7，则A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）；B、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）；A、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
考点三：综合拓展辨析
两个质数的和一定是偶数。（）
用最大公因数与最小公倍数解决问题教学课件
CHAPTER
04
用最大公因数与最小公倍数解 决问题
最大公因数在生活中的应用
物品分配
密码学
在分配物品时，如分糖果给多个孩子 ，可以使用最大公因数来确定每个孩 子能得到多少糖果，使得分配既公平 又合理。
在密码学中，最大公因数可以用于加 密和解密算法，保护信息安全。
时间规划
在规划活动时间时，如安排多个会议 或活动，可以使用最大公因数来确定 最标02入题
01
判断两个数是否互质的常用方法有
03
2. 质因数分解法：如果两个数的质因数不完全相同， 则它们不是互质的。
04
1. 辗转相除法：如果两个数的最大公因数不是1，则 它们不是互质的。
分解质因数法
01
02
03
04
05
分解质因数法是求两个 整数的最大公因数的另 一种有效方法。其基本 思想是将两个数分别进 行质因数分解，然后找 出它们的公共质因数， 将公共质因数的乘积即 为所求的最大公因数。
最大公因数与最小公倍数的综合应用
数学问题解决
在解决数学问题时，如求解几何 图形的面积或体积，有时需要同 时使用最大公因数和最小公倍数
来找到最佳的解决方案。
编程算法
在编写算法时，如排序或搜索算 法，可能需要使用最大公因数和 最小公倍数的概念来优化算法的
性能。
物理学
在物理学中，最大公因数和最小 公倍数可以用于计算物理量之间 的关系，如速度、加速度和力等
公式法
总结词
利用公式计算最小公倍数
详细描述
对于任意两个整数a和b，它们的最小公倍数可以通过公式计算：LCM(a,b)=∣a×b∣GCD(a,b)，其中GCD(a,b)表 示a和b的最大公因数。
用最大公因数和最小公倍数解决问题课件
03
最小公倍数的求法
两数乘积等于两数最大公约数与最小公倍数的乘积
定义
两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。
证明
设两个数为a和b，它们的最大公约数为GCD(a, b)，最小公倍数为LCM(a, b)。根 据最大公约数的定义，a和b都可以被GCD(a, b)整除，所以a×b能被GCD(a, b)整 除。同时，a×b也能被LCM(a, b)整除。因此，a×b = GCD(a, b) × LCM(a, b)。
和应用。
在实际生活中，最小公倍数也有 广泛的应用，如计算工作时间、
工程进度等。
04
用最大公因数和最小公 倍数解决问题
最大公因数在生活中的应用
物品分配
在分配物品时，如分糖果给多个 孩子，可以使用最大公因数来确 定每个孩子能得到多少糖果，使 得分配既公平又满足每个孩子的
需求。
时间规划
在规划活动时间时，如安排多个 会议或活动，可以使用最大公因 数来确定最佳的开始和结束时间 ，以便参与者能够准时参加并充
最小公倍数的应用
• 最小公倍数的应用也非常广泛，例如在解决数学问题、计算 机编程、密码学等领域都有应用。在数学问题中，最小公倍 数可以用于解决一些与分数、比例和单位换算相关的问题。 在计算机编程中，最小公倍数可以用于实现一些算法和数据 结构的设计。在密码学中，最小公倍数可以用于加密和解密 算法的实现。
最大公因数和最小公倍数可以用于解代数方程，通过将方程中的系数进行因式分解或使用 最小公倍数来消去分母，可以简化方程并找到解。
05
练习题与答案解析
练习题
题目1
求两个数的最大公因数 和最小公倍数。
题目2
用最大公因数和最小公 倍数解决生活中的实际
最大公因数和最小公倍数的应用题课件
如果两个整数a和b互质，则它们的乘 积ab等于它们的最小公倍数。
02
最大公因数的应用
求两个数的最大公因数
总结词
求两个数的最大公因数是最大公因数应用的基础，通 过因式分解、辗转相除法等方法可以求得。
详细描述
最大公因数是两个或多个整数共有的最大的正整数因子 。求两个数的最大公因数有多种方法，如质因数分解法 、辗转相除法等。质因数分解法是将两个数分别进行质 因数分解，找出它们共有的质因数，然后将这些质因数 相乘得到最大公因数。辗转相除法则是用较大的数除以 较小的数，再用较小的数除以得到的余数，如此反复， 直到余数为0，除数即为最大公因数。
举例
最大公因数是10的两个整数是20 和30，因为10是20和30的最大的 共同因子。
最小公倍数的定义
最小公倍数
两个或多个整数的最小的公倍数。
举例
最小公倍数是60的两个整数是15和20，因为60是15和20的最小的公倍数。
最大公因数和最小公倍数的关系
互质关系
如果两个整数互质（最大公因数为1 ），则它们的乘积等于它们的最小公 倍数。
03
最小公倍数的应用
求两个数的最小公倍数
总结词
求两个数的最小公倍数，需要先找到这两个数的最大公因数，然后用两数之积除以最大 公因数。
详细描述
最小公倍数是两个或多个整数共有的最小的倍数。求两个数的最小公倍数有多种方法， 其中一种是先求出这两个数的最大公因数，然后用两数之积除以最大公因数，得到的结 果就是它们的最小公倍数。这种方法基于数学定理：两数的乘积等于它们的最大公因数
利用最大公因数解决实际问题
总结词
最大公因数在实际问题中有着广泛的应 用，如约分、分数化简、求解方程等。
最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)教学文案
最大公因数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公因数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。
例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。
例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11，求这两个自然数。
”例3 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。
再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。
[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数。
例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
习题四1．已知某数与24的最大公因数为4，最小公倍数为168，求此数。
求最大公因数、最小公倍数方法课件
最小公倍数的性质和特点
总结词
最小公倍数具有一些重要的性质和特点，这些性质和 特点有助于更好地理解最小公倍数的概念和应用。
详细描述
最小公倍数是两个或多个整数的最小正整数倍数。它具 有一些重要的性质和特点，如最小公倍数是公共倍数、 是所有倍数中最小的一个、是所有倍数的因数的乘积等 。此外，最小公倍数还可以通过一些特定的运算性质进 行计算，如两数的乘积等于它们的最大公因数与最小公 倍数的乘积、两数的最小公倍数等于其中一数与两数的 最大公因数的乘积等。这些性质和特点有助于更好地理 解最小公倍数的概念和应用。
最小公倍数的定义
最小公倍数
两个或多个整数的最小的公倍数。
举例
对于数字12和15，它们的最小公倍数是60，因为60是12和15都能被整除的最 小的正整数。
最大公因数和最小公倍数的关系
互为倒数的倍数关系
最大公因数和最小公倍数之间存在一 种互为倒数的倍数关系，即两数的乘 积等于它们的最大公因数与最小公倍 数的乘积。
求最大公因法数课、件最小公倍数方
contents
目录
• 最大公因数和最小公倍数的概念 • 求最大公因数的方法 • 求最小公倍数的方法 • 最大公因数和最小公倍数的应用 • 练习题和答案
01
最大公因数和最小公倍数 的概念
最大公因数的定义
最大公因数
两个或多个整数共有的最大的正 整数因子。
举例
对于数字24和36，它们的最大公 因数是12，因为12是24和36都能 被整除的最大的正整数。
使用公式计算最小公倍数
总结词
通过使用特定的公式，可以直接计算出两个数的最小公倍数。
详细描述
这种方法需要使用特定的数学公式来计算最小公倍数。对于两个互质的整数a和b，它们的最小公倍数是它们的乘 积除以它们的最大公因数，即lcm(a, b) = (a * b) / gcd(a, b)。对于任意整数a和b，可以先求出它们的最大公因 数，再使用上述公式计算最小公倍数。
人教版五年级下《最大公因数与最小公倍数》讲义(教师版)
最大公因数与最小公倍数一、因数概念假如（、、都是整数)，那么我们称和就是的因数．例：的因数有：．的因数有：．的因数有：．的因数有：．的因数有：．的因数有：．的因数有：．备案：需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 被排除在因数与倍数之外．二、公因数概念两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数．例：求和的公因数．的因数有：；的因数有：．则和的公因数有．求和的公因数．的因数有：；的因数有：．则和的公因数有：．三、求最大公因数的方法1. 分解质因数法先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．口诀：大家都有我才要，我要最少的．例：求和的最大公因数．，，和都有质因数，且最小的都是次，所以．2. 短除法先找出所有共有的因数，然后相乘．例：求18与12 的最大公因数3. 辗转相除法每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是，那么原来的两个数是互质的)．例：求和的最大公因数．；；；；；所以和的最大公因数是．四、最大公因数的性质①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以．五、倍数假如（、、都是整数)，那么我们称就是和的倍数．例：，则是的倍数．备案： 一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集． 不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数．六、公倍数公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．例：求和的公倍数．的倍数有：．的倍数有：．和的公倍数有：．七、最小公倍数这些公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数．例：求和的最小公倍数．和的公倍数有：．则和的公倍数是：．八、求最小公倍数的方法1. 分解质因数的方法先分解质因数，然后把不同的因数连乘起来．口诀：谁有我都要有，我要最多的．例：求和的最小公倍数．，，和有质因数，且最高次分别是次，所以．2. 短除法求最小公倍数先用短除法找出所有的因数，然后相乘．例：求与的最小公倍数．短除：所以．3. 利用最大公因数求最小公倍数两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积除以它们的最大公因数．．例：已知，，求根据上面条件可得．九、最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．十、例题1.请求出和的最大公因数和最小公倍数．【答案】，解析:，2.自然数，，如果除以的商是11，那么，这两个数的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．【答案】;解析:最大公因数和最小公倍数；由题目知，则与的最大公因数为，最小公倍数为．3.幼儿园的大班有个小朋友，中班有个小朋友，小班有个小朋友，按班分组，三个班的各组人数一样多，则每组最多有 个小朋友．【答案】解析:每组最多人数：（人）．4.有一批砖，长厘米，宽厘米，至少用这样的砖多少块，才能铺成一块正方形？【答案】.解析:.（块）．答：至少用这样的砖块，才能铺成一块正方形．5.甲、乙两人同时从点背向出发，沿米的环形跑道行走，甲每分钟走米，乙每分钟走米，两人至少经过多长时间才能在点相遇？【答案】分钟解析:甲、乙走一圈分别需要分钟和分钟，因此他们要是在点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是和的最小公倍数分钟．6.放暑假的前一天，静静、小刚和阿罗三位好朋友商量好暑假里去“快乐图书城”看书.静静每天去一次，小刚每天去一次，阿罗每天去一次，月日那天，他们三人第一次在图书馆相遇，那么，下一次相遇在几月几日？【答案】月日解析:[，，]，，下一次相遇在月日．。
求最大公因数和最小公倍数课件
小组讨论
鼓励学员分组讨论，分享 解题思路和计算方法，提 升团队协作能力。
进阶练习
复杂数字处理
设计包含多个数字、有一定难度 的题目，如求多组数字的最大公 因数和最小公倍数，让学员学会 处理复杂数字和多个数字之间的
关系。
一题多解
设计具有多种解法的题目，引导 学员思考不同解题思路，拓展数
学思维。
错题解析
探索规律
探索最大公因数和最小公倍数 在计算中的规律，如倍数关系 、互质关系等。
综合运用
将最大公因数和最小公倍数的 知识与其他数学知识相结合，
综合运用解决实际问题。
THANKS
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06
总结与回顾
主要知识点回顾
最大公因数和最小公倍数的定义
最大公因数的求法
最大公因数是指两个或多个整数共有的最 大的正整数，最小公倍数是指两个或多个 整数的公有的最小的倍数。
使用质因数分解法，先将两个数进行质因 数分解，然后找出所有公共的质因数并相 乘，得到最大公因数。
最小公倍数的求法
最大公因数和最小公倍数的应用
最小公倍数
两个或多个整数的公有的最小的 倍数，且该倍数能够被这几个整 数共同整除。
最大公因数和最小公倍数的意义
最大公因数
反映了几个整数共有的因子个数，是 数学中的一个重要概念。
最小公倍数
反映了几个整数的公共倍数情况，对 于解决与时间相关的应用问题有重要 作用。
最大公因数和最小公倍数的应用
01
02
定义法
最小公倍数的定义
两个或多个整数公有的倍数中最小的一个，称为它们的最小 公倍数。
求法
利用最小公倍数的定义，我们可以先求出两个数的最大公因 数，再用这个最大公因数去除这两个数，得到它们的最小公 倍数。
讲课最大公因数与最小公倍数课件
03
最大公因数与最小公倍数的关 系
最大公因数与最小公倍数的定义
最大公因数
两个或多个整数共有的最大的正整数因子。
最小公倍数
两个或多个整数的最小的公倍数。
最大公因数与最小公倍数的关系
互为逆运算
最大公因数和最小公倍数是互为逆运 算的关系，即两个数的乘积等于它们 的最大公因数与最小公倍数的乘积。
唯一性
练习题
题目1
求18和24的最大公因数 。
题目2
求30和45的最小公倍数 。
题目3
已知A=2×3×5， B=2×3×7，求A和B的 最大公因数和最小公倍
数。
题目4
已知C=3×5×7， D=2×3×5，求C和D的 最大公因数和最小公倍
数。
答案解析
题目1解析
最大公因数是两个或多个 整数共有的最大的正整数 因子。对于18和24，它们 的最大公因数是6。
辗转相除法
用较大的数除以较小的数，再用除数 除以得到的余数，如此反复，直到余 数为0，此时除数即为最大公因数。
02
最小公倍数
最小公倍数的定义
最小公倍数
两个或多个整数的最小正整数倍数。
举例
对于整数2和3，它们的最小公倍数是6，因为6是2和3的最小正整数倍数。
最小公倍数的性质
互质关系
如果两个整数互质（最大公因数为1 ），则它们的最小公倍数等于它们的 乘积。
最大公因数的性质
互质关系
如果两个数的最大公因数为1，则这两个数互质。
整除性质
如果两个数的最大公因数为G，那么存在整数a和b，使得G|a和G|b，即G能够 整除a和b。
最大公因数的求法
质因数分解法
欧几里得算法
最小公倍数和最大公因数的应用公开课获奖课件
老师买来24本练习本，36块橡皮发给小朋 友作为奖品，每位小朋友所得练习本和橡 皮分别相等。最多可以分给几种小朋友？
第14页
处理问题我灵活
1.把一张长20厘米，宽12厘米长方形纸，
剪成尽量大正方形纸片，没有剩余，剪 成正方形纸片边长是多少？可剪多少个？
剪成正方形边长是长 方形长和宽最大公因数。
①a ②b
③ab ④1
第7页
运用最小公倍数
一种长方形砖长3分米，宽2分米，用这样 砖铺一种正方形，所得正方形面积至少是 多少平方分米？至少需要多少块？
第8页
发车问题
1路车和2路车早上7时同步从起始站发车， 1路车每隔6分钟发一辆，2路车每隔9分钟 发一辆，这两路车下一次同步发车是什么 时刻？
９和６尚有
９６
公因数，还 要继续除
３６和２４最小公倍数是：
2×2×6×9 ＝216
第4页
小马虎作业：
（4） ２ 36 24 2 １８ １２ 3９ ６ 32
３６和２４最小公倍数是： 2×2×3＝12
应该把除数和商一 起连乘起来
第5页
根据已知条件求出每组数最大公因 数和最小公倍数
（1）28=2×2×7 （2）16=2×2×2×2
35=5×7
12=2×2×3
（28,35）=（ ） （16,12）=（ ） [28,35]=（ ） [16,12]=（ ）
第6页
（1）a和b都是自然数,a÷b=5,那么它们
最大公因数是( ②),最小公倍数是
( ① ).
①a
②b ③5 ④无法确定
(2) a和b是互质数，那么它们最大公因数
是( ④)，最小公倍数是( ③).
这包糖有多少个?
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课题
最大公因数、最小公倍数应用
教学目标1、学求两个数的最大公因数。
2、能够运用关于最大公因数的应用题。
3、提高自己对两质数积的敏感性，便于质因数的分解。
重点、难点重点：学求两个数的最大公因数。
难点：能够运用关于最大公因数的应用题。
考点及考试要求1、学求两个数的最大公因数。
2、能够运用关于最大公因数的应用题。
教学内容
知识框架
1、两个数的最大公因数的方法。
2、关于最大公因数的应用题。
3、提高自己对两质数积的敏感性，便于质因数的分解。
考点一：最大公因数、最小公倍数的应用
典型例题：
例一：已知A=2×2×3×5，B=2×3×3×5，C=3×5×7，则A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）；B、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）；A、C的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
（已知两个数的最小倍数和其中一个数，用分解质因数法可求出另一个数）。
甲乙两数不是倍数关系，也不是互质数，甲数是27，甲乙两数的最小公倍数是108.乙数是多少？
练习1：甲乙两数不是倍数关系，也不是互质数，甲数是27，甲乙两数的最小公倍数是378.乙数是多少？
练习2：甲乙两数不是倍数关系，也不是互质数，甲数是36，甲乙两数和最大公因数是18，乙数是多少？
例二：王老师买了80枝康乃馨和48枝万寿菊，准备扎成花束带同学们去看望敬老院的老人们。
要使每束花中康乃馨的数量相同，万寿菊的数量也相同，请你算一算，每束花至少有几枝？
练习：用96朵红花和72朵折花做花束，如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花的朵数也都相等。
每个花束里最少有几朵花？
练习：李老师带领五（2）班4组同学去种树，每组同学人数相同，如果老师和学生每人种树棵树相同，共种了637棵，五（2）班有多少同学去种树？平均每人种几棵？
例三：六年级同学参加环保宣传活动。
9人一组多6人，8人一组多5人，10人一组多7人，参加宣传活动的同学有多少人？
练习：已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，则少5人。
该校六年级有学生多少人？
练习：有一车苹果，每3箱一数，剩1箱；每5箱一数，剩1箱；每7箱一数，盛1箱。
这车苹果至少多少箱？
考点三：综合拓展辨析
两个质数的和一定是偶数。
（）
两个数的最大公因数是1，最小公倍数是323，这两个数是（）和（）或者（）和（）。
如果整数a除以整数b的商是6，那么这两个数的最小公倍数是（）。
既是54的因数，又是6的倍数，这样的数有（）。
三个不同的质数和是82，这三个质数的积最大可能是多少？
把23拆成若干个质数之和，如果要使这些质数的积最大，积是多少？
有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人的年龄乘积是1620，这三个学
生的年龄是多少岁？
巩固作业：
1. 在（ ）内填入适当的质数。
10＝（ ）＋（ ）
10＝（ ）×（ ）
20＝（ ）＋（ ）＋（ ）
8＝（ ）×（ ）×（ ）
2、填空
所有自然数的公因数为（ ）。
如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
在4、9、10和16这四个数中，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数，（ ） 和（ ）是互质数。
用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（ ）。
子
两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
两个相邻奇数的和是16，它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（ ）。
甲=⨯⨯235，乙=⨯⨯237，甲和乙的最大公因数是（ ）×（ ）＝（ ），甲和乙的 最 小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（ ）。
3、三个不同的质数的和是82，这三个质数的积最大可能是多少？
4、有三根钢管分别长12米、18米、24米，把他们截成同样长的小段，每小段钢管最长是多少米？一共可以截多少段？
5、学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？。