重庆大学物理化学_第1章_气体

2kBT m
或
vm
2RT M
最概然速率与分子的质量或摩尔质量的平方 根成反比。
所有分子速率的数学平均值称为分子的
平均速率
va

N1v1 N2v2 N

Nivi
i

vidNi
N
N

4

m 2πkT
1.5

0
v2
exp

mv2 2kT

dv
令：
x mv2 2kT
ni

u2 i,x
ux2 i
ni
i n
i
或
ni

u2 i,x

nux2
i
得：
px mnux2
同理
py

mnu
2 y
pz mnuz2
气体分子动理论的基本公式
各个方向的压力应该相同，所以有
px py pz p
从而可得：
ux2

u
2 y

uz2
对于所有分子而言，显然应该有：
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（2）Charles-Gay-Lussac 定律
已知：
Et

1 mu2 2

f
(T )
设温度在0℃和 t 时的平均平动能之间的关系为
Et ,t Et ,0 (1t)
根据气体分子动理论
Vt

1 3p
Nmux2

2 3p
N Et ,t
V0

1 3p
Nmu02
V C'T
代入上式，得：

V T
p,N

C'

V T
dV V dp V dT
或
dV dp dT
pT
V
pT
将上式积分，得
lnV ln p lnT 常数
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（4）理想气体的状态方程
取气体为1 mol，体积为 Vm ，常数为 ln R
niui2
ni
u2 i,x

niui2, y
niui2,z
i
i
i
i
上式两边同除以n，得：
niui2
ni
u2 i,x
niui2, y
niui2,z
i
i
i
i
n
n
n
n
ux2 uy2 uz2
气体分子动理论的基本公式
令根均方速率u为：
niui2
i
图1.4(a)
理想气体
T3 (531K) T2 (410K) T1(333K)
2
10
20
30
40 50
p /(100 kPa)
§1.2 摩尔气体常数（R）
图1.4(b)
R 8.3145
8
6
理想气体
N2 CO
4
O2
2
10
20
30
40 50
p /(100 kPa)
§1.3 理想气体的状态图
等温线
Maxwell 速率分布定律
设容器内有N个分子，速率在 v (v dv) 范围内的分子数为 d Nv
则 d Nv Ndv 或 d Nv Nf (v)dv f (v) 称为分子分布函数，
即速率在v (v 1) 范围内的分子占总分子数
的分数
Maxwell证得
f (v)
4


m 2kT
p p1 p2 或
pi p

xi
这就是Dalton分压定律。
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（6）Amagat分体积定律
在定温、定压下，设两种气体的混合过程如下
混合后的体积为 若有多种气体混合 或
V3 V1 V2 V V1 V2
Vi Vxi
这就是Amagat分体积定律。
分子数，如图1.1所示
图1.1
气体分子动理论的基本公式
uidt
dA
ui,xdt
气体分子动理论的基本公式
在 dt 时间内，第 i 群分子碰到 dA 面上的
垂直总动量为：
(ni ui,xdtdA)mui,x
在 dt 时间内，碰到dA 面上的垂直总动量
为对各群求和：
g
M1 m
ni

u2 i,x
分子平均平动能与温度的关系
已知分子的平均平动能是温度的函数
Et 1 mu2 f (T ) 2
从如下两个公式
pV 1 Nmu2 (1 mu2 )( 2 N ) Et 2 N
3
2
3
3
pV NkBT
可得
Et

3 2
kBT
E t,m 3 RT 2
对1 mol的分子而言

kB

R L

§1.2 摩尔气体常数（R）
各种气体在任何温度时，当压力趋于零时， pVm / T 趋于共同的极限值 R。
如CO2(g)在不同温度下的实验结果，如 图1.4(a)所示。
在同一温度下不同气体的实验结果，如 图1.4(b)所示。
§1.2 摩尔气体常数（R）
R 8.3145
8
6 4
dtdA
i 1
新组成的 g ' 群分子在 dt 时间内，碰到 dA
面上的垂直总动量为：
gg'
M2 m ni ui2,xdtdA
ig 1
气体分子动理论的基本公式
u z
uy
dA
ux
u z
uy
ux
气体分子动理论的基本公式
在垂直于 dA 面方向上的动量的总变化量为：
gg'
M M1 M2 m ni ui2,xdtdA m ni ui2,xdtdA
在p，V，T的立体图上
所有可作为理想气体 的都会出现在这个曲面上，
等压线
并满足
p
p1V1 p2V2
T1
T2
这理想气体的状 态图也称为相图。
§1.4 分子运动的速率分布
Maxwell速率分布定律 *Maxwell速率分布函数的推导 分子速率的三个统计平均值——最概然速率、数 学平均速率与根均方速率
dN
当气体分子数不变
dV


V p
T ,N
dp


V T
p,N
dT
根据Boyle-Marriote定律
V C p
V

p
T ,N


C p2

V p
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（4）理想气体的状态方程
根据Charles-Gay-Lussac 定律
T (t /℃ 273.15)K
气体分子动理论的基本公式
气体分子的微观模型 (1)气体是大量分子的集合体 (2)气体分子不停地运动，呈均匀分布状态 (3)气体分子的碰撞是完全弹性的 设在体积为V的容器内，分子总数为N，单位体 积内的分子数为n（n = N/V），每个分子的质量为m。
令：在单位体积中各群的分子数分别是 n1 ，n2 ， … 等。则
u
n
则有： u2 ux2 uy2 uz2 3ux2
p

1 3
mnu 2
等式两边同乘以V，得：
pV 1 mNu2 3
压力和温度的统计概念
单个分子在单位时间、单位体积上所引起的动 量变化是起伏不定的。但由于气体是大量分子的集 合，尽管个别分子的动量变化起伏不定，而平均压 力却是一个定值，并且是一个宏观可测的物理量。
f (v) /103
3
N2 (100 K)
2 N2 (300 K)
1
H2 (100 K)
H2 (300 K)
500 1000 1500
v /(m s1)
分子速率的三个统计平均值—— 最概然速率、数学平均速率与根均方速率
在Maxwell速率分布曲线上，最高点所对应 的速率称为最概然速率
vm
*§1.11 分子间的相互作用力
§1.1 气体分子动理论
气体分子动理论的基本公式 压力和温度的统计概念 气体分子运动公式对几个经验定律的说明 分子平均平动能与温度的关系
§1.1 气体分子动理论
理想气体的状态方程
pV nRT
p 是压力，单位为 Pa V 是体积，单位为 m3 n 是物质的量，单位为 mol R 是摩尔气体常数，等于 8.3145 J mol1 K1 T 是热力学温度，单位为 K
同的分子数，
N1 N2
这就是Avogadro 定律。
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（4）理想气体的状态方程
气体的体积是温度、压力和分子数的函数
V f ( p,T , N)
或
dV


V p
T ,N
dp


V T
p,N
dT


V N
T , p
测定分子速率分布的分子射线束实验装置图
§1.5 分子平动能的分布
各分子的能量为 E 1 mv2 2
dE mvdv
能量在 E (E dE) 之间分子所占的分数为
dNE N
2 π

1 kT
1.5
E
e kT
1
E 2dE
f (E)dE
f (E)
2 π

1 kT
代入得：
va
8kT x ex dx πm 0
所有分子速率的数学平均值称为分子的
平均速率
根据定积分公式
x ex dx 1
0
所以
va
8kT πm
前已证明根均方速率为
u 3kT m
这三种速率之比为
vm∶va∶u
2kT ∶ 8kT ∶ 3kT m πm m
1∶1.128∶1.224
1.5
exp

mv2 2kT

v2

分子速率分布曲线与温度及分子质量的关系
f (v) /103
3
N2 (100 K)
2
N2 (300 K)
1
H2 (100 K)
H2 (300 K)
500 1000 1500
v /(m s1)
从图可知，温度低时分子速率分布较集中， 温度高时分子速率分布较宽
得： pVm RT
若气体的物质的量为n ，则
pV nRT
令
R L

kB
得： pV NkBT
这些都是理想气体的状态方程。
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（5）Dalton分压定律
在定温下，在体积为V的容器中，混合如下气体
混合前
p1

1 3V
N1m1u12

2 3
N1 V
E1
p2

1 3V
n1 n2 ni ni n i
气体分子动理论的基本公式
设其中第 i 群分子的速度为 ui ，它在 x, y, z
轴方向上的分速度为 ui,x , ui, y , ui,z ，则
ui2 ui2,x ui2,y ui2,z
在单位时间内，
在 dA 面上碰撞的
分速度为 ui,x 的
i1
i
根据压力的定义：
压力

力 面积

质量 加速度 面积

质量 速度 面积 时间

动量 面积 时间
因此
m ni ui2,xdtdA
px
i
dtdA
m
ni

u2 i,x
i
气体分子动理论的基本公式
令：ux2 代表各分子在x方向上分速度平方的平均值：
ni

u2 i,x
N2m2u22

2 3
N2 V
E2
……
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（5）Dalton分压定律
将所有的分压相加
i
pi

2 3V
N1 E1

N2 E2


混合后
p

2 3V
N E mix mix
由于温度相同，分子具有相同的平均动能
因为 所以
E1 E2 Emix
Nmix N1 N2
若两种气体的温度相同，则两种气体的平均平动 能也相同，所以可以用温度计来测量温度。
温度也具有统计平均的概念。
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（1）Boyle-Marriote定律
将（1.10）式写作： pV 1 mu2 N 2
2
3
定温下，有
pV C
这就是Boyle-Marriote定律。式中C为常数。 即：定温下，一定量的气体的体积与压力成反比。
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
（3）Avogadro 定律
任意两种气体当温度相同时，具有相等的平均
平动能 从分子运动公式
1 2
m1u12
p1V1

1 3
1 2
m2u22
N1m1u12
2 3
N1
(
1 2
m1u12
)
p2V2

1 3
N2m2u22
Hale Waihona Puke Baidu
2 3
1 N2 ( 2
m2u22 )
在同温、同压下，相同体积的气体，应含有相
物理化学电子教案 ——第一章
第一章 气体
§1.1 气体分子动理论 §1.2 摩尔气体常数（R） §1.3 理想气体的状态图 §1.4 分子运动的速率分布 §1.5 分子平动能的分布 §1.6 气体分子在重力场中的分布 §1.7 分子的碰撞频率与平均自由程 §1.8 实际气体 §1.9 气液间的转变 §1.10 压缩因子图

2 3p
N Et ,0
气体分子运动公式对几个经验定律的说明
因为
Et ,t Et ,0 (1t)
所以
Vt V0 (1 t)
令：
T t 1

则
Vt V0T C'T
式中 C ' 为常数， 是体膨胀系数
对定量的气体，在定压下，体积与T成正比，这 就是Charles定律，也叫做Charles-Gay-Lussac定律。
对于一定量的气体，当温度和体积一定时， 压力具有稳定的数值。
压力p是大量分子集合所产生的总效应，是 统计平均的结果。
压力和温度的统计概念
aa', bb' 是两个半透膜 aa' 只允许A分子出入 bb' 只允许B分子出入
在中间交换能量，直至 双方分子的平均平动能相等
分子的平均平动能是温度的函数：12 mu2 f (T )
1.5