固体物理学_金属电子论之驰豫时间近似和导电率公式
合集下载
固体物理-金属电子理论解析
N’ N(EF)f(EF)E N(EF0)(2kBT)/2＝ N(EF0) kBT
1
由于：N EF0 C EF0 2
及
N 2C 3
EF0
3 2
N
EF0
3N 2EF0
于是，
N
3N 2EF0
kBT
而每个电子热运动的平均能量为
3 2 kBT
由于热激发，系统所获得的能量为
E T
N
3 2
3. 能态密度
E k
2k 2
2
2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
这表明，在k空间中，自由电子的等能面为球面，在能 量为E的球体中，波矢k的取值总数为
k 4k3
3
每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋， 根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两 个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能 量为E的球体中，电子能态总数为
另一方面，电子由于碰撞而失去其定向运动。设电
子相邻两次碰撞之间的时间间隔为，且一旦发生碰撞， 电子就完全失去其定向运动。粗略假想，所有电子都在 时间内同时发生碰撞，其结果使分布回到平衡状态， 这样反复循环。于是，可求出费米球心移动的距离为
k dk e
dt
所以，电子的定向漂移速度为
1
d
m
2. Pauli顺磁 这里只考虑T 0的极端情况。
当B=0时，由于电子 自旋方向相反的两种 取向的几率相等，所 以，整个系统不显示 磁性，即M=0。
E
- B
E0
F
当B 0时，自旋磁矩 在磁场中的取向能：
N(E)/2
0
B=0
B
N(E)/2
B平行于B： －BB； B反平行于B： ＋ BB
1
由于：N EF0 C EF0 2
及
N 2C 3
EF0
3 2
N
EF0
3N 2EF0
于是，
N
3N 2EF0
kBT
而每个电子热运动的平均能量为
3 2 kBT
由于热激发，系统所获得的能量为
E T
N
3 2
3. 能态密度
E k
2k 2
2
2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
这表明，在k空间中，自由电子的等能面为球面，在能 量为E的球体中，波矢k的取值总数为
k 4k3
3
每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋， 根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两 个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能 量为E的球体中，电子能态总数为
另一方面，电子由于碰撞而失去其定向运动。设电
子相邻两次碰撞之间的时间间隔为，且一旦发生碰撞， 电子就完全失去其定向运动。粗略假想，所有电子都在 时间内同时发生碰撞，其结果使分布回到平衡状态， 这样反复循环。于是，可求出费米球心移动的距离为
k dk e
dt
所以，电子的定向漂移速度为
1
d
m
2. Pauli顺磁 这里只考虑T 0的极端情况。
当B=0时，由于电子 自旋方向相反的两种 取向的几率相等，所 以，整个系统不显示 磁性，即M=0。
E
- B
E0
F
当B 0时，自旋磁矩 在磁场中的取向能：
N(E)/2
0
B=0
B
N(E)/2
B平行于B： －BB； B反平行于B： ＋ BB
固体物理14-金属电子理论
成功的解释了金属的电导。
几年之后Lorentz 又假定自由电子的运动速度服从MaxwellBoltzman分布， 由此解释了Wiedemann-Franz 定律。这些成功使自 由电子模型得到承认。虽然之后发现经典模型并不能解释金属比热、 顺磁磁化率等多种金属性质，不过这些困难并不是自由电子模型本 身造成的，而是采用经典气体近似所造成的。改用自由电子的量子 理论后，上述困难得到了圆满解决。因此自由电子模型成为固体理
U R E R ' E E
0 F6
R" E k T
0 F B
2
对自由电子
2 k T 0 B 1 EF EF E0 12 F
R ' E EN E ~ E 3 / 2
2
N个电子在k空间填充半径为 kF 的球，球内包含的状态数恰好 为N，
2
2 3
V
4 3 kF N 3
1/ 3
3 N k F 2 8 V
1/ 3
3 1/ 3 2 n 8
1/ 3
几个重要概念：
EF
费米球：自由电子在k 空间的填充方式 费米面：基态时k空间中电子占据与非占据的 分界面。 费米能EF：费米面对应的能量 费米动量：费米面对应的动量（费米球的半径）
电导是电场驱动的，热导是温度驱动的！
Hall效应
将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流方向垂直， 那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象称为Hall 效应。
在如下图所示装置下，导体中电荷e 受的洛伦兹力 FB ev B 受到的电场力为 平衡条件下：
FE eE
固体物理第五章5.2 金属的电导率
e
it
s e s
it
1 iq Rn e 其中：s A e V ( r R ) L n 2 R n
it it H e s e s
(曾谨言p558)
因而,这是量子力学中的含时周期性微扰问题,它将 引起本征态之间的跃迁. 跃迁几率为：
显然 ê垂直于波矢 q 对应横波；ê平行于波 矢 q 对应纵波。
由晶格振动的解(取实数形式)知
u (Rn ) Ae cos(qRn t )
1 i(q 1 Aee Rn t ) Aee i ( q Rn t ) 2 2
1 i(q 1 i ( q Rn t ) u ( Rn ) Aee Aee Rn t ) 2 2 H u ( Rn ) VL (r Rn )]
n (k ) n (k )
d
vn (k ) vn (k )
ky ds
dk
2.电流密度
f 0 1 e J 3 evf (k )dk 3 v f 0 e (E v ) dk 4π 4π
f ( x x) f ( x) xf ( x)
Rn
H u ( R ) V ( r R )] n L n
Rn
进一步假设研究对象为简单晶格，此时仅有 声学支。 并假定简正模的波矢为q、频率为ω、振幅 为A、振动方向上的单位矢量为ê 。
k k 即： ； 号分别相应于吸收或放出一个声子。 k k
由于声子的能量和费米面上的电子的能量相比很小, 所以,上述散射过程可以看成是弹性散射.
固体物理第六章 金属电子论
由于发射热电子的能量必须大于势井的深度，所以要求：
1 mV 2 x 2
实际上， 所以有：
(
1 mV 2
2
E F ) k BT
mv 2 2 k BT
m 3 E F / k BT dn 2 ( ) e e 2
dvx dvy dvz
同经典情况 完全类似。 同样可以得出量子理论所相应的电流表示式：
V dk 在体积 dk 内包含的量子态数为：2 3 ( 2 )
统计平均的电子数为： f ( E ) 2V 3 dk (2 )
• 能级E上的平均电子数为： f ( E ) N ( E )dE
2. 费米能级
• T=0K时 • ∴ • T≠0K时
EF
的确定：
0 EF EF 此时f(E) ≈1
电子系统的热容为： CV
近自由电子为例：
[
2
3
0 N ( EF )(k BT )]k B
讨论晶体中电子的热容量： 对于近自由电子：N ( E ) 4V ( 2m ) 3 / 2 E 1/ 2
h2
在费米能级处：
N(E0 ) F
3N 2E0 F
2
k BT 代入上面的公式得： CV N 0 ( 0 )k B 即： Cv T 2 EF 可见，与温度成线性关系。 而前面讨论晶格振动时， bT 3 T 得到晶格振动的热容量是 在一般温度下： 与温度的三次方成正比。 而当温度接近0K时： 物理解释是什么？ bT 3 T
• 定积分： • 所以： • 附近展开
1 2 (e 1)(e 1) d 3
2
N Q( EF )
1 2 Q( EF )( k BT ) 2 6
固体物理学_金属电子论之驰豫时间近似和导电率公式
nq m
2
根据能量均分定理
—— 室温下
—— 电子的自由程 —— 实际电子的自由程在低温下可达到
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
以上
0 nq2 ( EF ) 导电率 0 * m
—— 金属电导理论
—— 金属电子论的结果 —— 电子的质量和连续两次碰撞所需的时间
在观察时间t内，电子的平均速度
电子对电流的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 有外场的情形 任一时刻、任一电子的速度
在观察时间t内，电子的平均速度
电子对电流的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
nq j m
2
E —— j E 对比
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设
假设电子和周围环境达到热平衡
仅仅是通过电子与原子实碰撞实现的 —— 碰撞前后电子的速度毫无关联
速率和碰撞发生处的温度相适应的
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 无外场情形 —— 任一时刻、任一电子的速度
2
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
3 导电率公式 —— 固体的各向异性，导电率是一个张量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 dk 2q (k ) v (k ) v (k ) 3 E (2 )
06_04 驰豫时间近似和导电率公式 —— 玻耳兹曼方程
q E k f (k ) b a —— 一个积分 － 微分方程
固体物理第五章5.2 金属的电导率
k k 即： ； 号分别相应于吸收或放出一个声子。 k k
由于声子的能量和费米面上的电子的能量相比很小, 所以,上述散射过程可以看成是弹性散射.
声子能量在D 300 K时， 1/ 40eV
2 2 2 wk ,k [ k s k ( k k ) k s k ( k k )]
这样上述积分简化为在费米面SF上的面积分。
e2 J 3 4π
dS F SF v (E v ) k
1 e2 J 3 4π
又：k vk
vk vk vk dS F E
SF
vk vk 1 e2 所以电导率为： 3 dS F s 4π F vk
2 2 2 wk ,k [ k s k ( k k ) k s k ( k k )]
( k k )和 ( k k )是能量守恒所要求的。
2 纯金属的电阻率
1).实验规律： 实验发现，纯净金属的电阻率满足如下经验公式：
AT 5 (T ) M 6 D
D / T
0
x5dx (e x 1)(1 e x )
其中，A为金属的特性常数，M为金属原子的质量， ΘD是金属的德拜温度。此经验公式称为布洛赫—格律 乃森定律(Bloch- Grü neisen T5 law)。 显然，由布洛赫—格律乃森定律，高温下T > 0.5 ΘD 时，上式可化为: AT (T ) 4M 2 D 即高温下T > 0.5 ΘD时，满足ρ T
所以： s k k
1 i ( k k q ) Rn A e k e VL (r ) k 2 Rn
由于声子的能量和费米面上的电子的能量相比很小, 所以,上述散射过程可以看成是弹性散射.
声子能量在D 300 K时， 1/ 40eV
2 2 2 wk ,k [ k s k ( k k ) k s k ( k k )]
这样上述积分简化为在费米面SF上的面积分。
e2 J 3 4π
dS F SF v (E v ) k
1 e2 J 3 4π
又：k vk
vk vk vk dS F E
SF
vk vk 1 e2 所以电导率为： 3 dS F s 4π F vk
2 2 2 wk ,k [ k s k ( k k ) k s k ( k k )]
( k k )和 ( k k )是能量守恒所要求的。
2 纯金属的电阻率
1).实验规律： 实验发现，纯净金属的电阻率满足如下经验公式：
AT 5 (T ) M 6 D
D / T
0
x5dx (e x 1)(1 e x )
其中，A为金属的特性常数，M为金属原子的质量， ΘD是金属的德拜温度。此经验公式称为布洛赫—格律 乃森定律(Bloch- Grü neisen T5 law)。 显然，由布洛赫—格律乃森定律，高温下T > 0.5 ΘD 时，上式可化为: AT (T ) 4M 2 D 即高温下T > 0.5 ΘD时，满足ρ T
所以： s k k
1 i ( k k q ) Rn A e k e VL (r ) k 2 Rn
弛豫时间计算公式
弛豫时间计算公式
弛豫时间是物理学中一个重要的概念，它指的是一个系统从某种初始状态到达平衡状态所需的时间。
在核磁共振成像等领域中，弛豫时间被广泛应用。
弛豫时间可以分为纵向弛豫时间和横向弛豫时间。
纵向弛豫时间指的是磁化强度从初始状态到达平衡状态所需的时间，通常用T1表示。
横向弛豫时间指的是磁化强度在垂直于初始方向上的衰减时间，通常用T2表示。
计算纵向弛豫时间和横向弛豫时间的公式如下：
T1 = -t / ln(Mz / M0)
T2 = -t / ln(Mxy / M0)
其中，t为时间，Mz为磁化强度在z方向上的分量，M0为磁化强度在z方向上的平衡值，Mxy为磁化强度在xy平面上的分量。
在实际应用中，弛豫时间的计算还需要考虑到一些影响因素，如磁共振仪器的性能和样品的物理性质等。
因此，弛豫时间的计算常常需要结合实验数据和模型来进行。
总之，弛豫时间是一项非常重要的物理概念，在科学研究和工程领域都有广泛的应用。
- 1 -。
固体物理学_金属电子论之各向同性弹性散射和弛豫时间
外，碰撞项又可化为：
E k , k k k
dk 3 2 x
由弹性散射的性质 k k ，故积分实际上在关于 k 的等能面上进行。 我们可以在极坐标下完成这一积分，取k 的方向为极轴，k 和 k 的夹角为 ，如 下图：
2
3
2
3
将 f 按 E 的级数展开，有：
f f 0 f1
f1 代入方程 将 f 0 代入玻耳兹曼方程，则碰撞项为0，故将 f 0 代入方程左方， 右方，得到一级方程：
q dk E k f0 k k , k f k f k 3 1 1 2
f1 k f1 k k , k dk
2
3
E kx k , k E k x
dk
2
3
k 变化，否则 k , k 0。故 E 可提出积分号 由弹性散射的性质E E且不随
第5节 各向同性弹性散射和弛豫时间
上节引入的弛豫时间 (k ) 物理意义不够明确,因此考虑一个具体的实例导出 弛豫时间是很有意义的,晶体的各向同性弹性散射正是这样一个特例。
各向同性弹性散射的含义： 1、它的能带情况是各向同性的，也就是说 E (k )与 k 的方向无关，只是 k 的函数
k 只跃迁到能量相同的 k 态，用公式表示如下： 2、散射是弹性的，
qE k x dE f 0 dk k , k f k f k 1 3 1 k dk E 2
取试探解：
f1 (得：
k k
E k , k k k
dk 3 2 x
由弹性散射的性质 k k ，故积分实际上在关于 k 的等能面上进行。 我们可以在极坐标下完成这一积分，取k 的方向为极轴，k 和 k 的夹角为 ，如 下图：
2
3
2
3
将 f 按 E 的级数展开，有：
f f 0 f1
f1 代入方程 将 f 0 代入玻耳兹曼方程，则碰撞项为0，故将 f 0 代入方程左方， 右方，得到一级方程：
q dk E k f0 k k , k f k f k 3 1 1 2
f1 k f1 k k , k dk
2
3
E kx k , k E k x
dk
2
3
k 变化，否则 k , k 0。故 E 可提出积分号 由弹性散射的性质E E且不随
第5节 各向同性弹性散射和弛豫时间
上节引入的弛豫时间 (k ) 物理意义不够明确,因此考虑一个具体的实例导出 弛豫时间是很有意义的,晶体的各向同性弹性散射正是这样一个特例。
各向同性弹性散射的含义： 1、它的能带情况是各向同性的，也就是说 E (k )与 k 的方向无关，只是 k 的函数
k 只跃迁到能量相同的 k 态，用公式表示如下： 2、散射是弹性的，
qE k x dE f 0 dk k , k f k f k 1 3 1 k dk E 2
取试探解：
f1 (得：
k k
固体物理第10课金属电子论
n 利用气体压强 P RT NA 金属中的电子气体压强非常大 电子不会逸出到金属晶体以外。
5条假设
1. 独立电子假设 ：忽略电子-电子之间的库仑排斥力 2. 自由电子假设：电子速度各向同性，电子和离子碰 撞，忽略电子-离子的库仑吸引力。 3. 碰撞假设：碰撞后电子方向随机，速度只与温度有 关，单个电子的平均能量为：
直流电导
特鲁德：j nev
欧姆定律：E j
无外电场时，平均速度v 0,方均根速率v 3k BT / m， 在E作用下，电子获得加速度 : a eE / me 电子得到附加速度vt at eEt / me， 称为漂移速度 根据假设，和以前速度无关，故有v vt eEt 故有v 代入j nev me ne 2 由于t的平均值即是 ,故得j m e ne 2 与欧姆定律相比有 me 1 E
1 2 3 E mv k BT 2 2
4. 驰豫时间近似(relaxation time approximation) 电子与离子两次碰撞之间的平均时间间隔，1/ 为碰 撞概率，平均自由程(mean free path)：l=v。在无外 力作用时，电子的平均集体运动速度按照exp(-T/ )的 方式趋于0，弛豫时间与电子速度和位置无关。 5 . 隐含假设：电子是经典粒子（当时没有量子力学）
作业
1.
2.
特鲁德模型对金属晶体中的电子作了哪些假 设,试根据特鲁德模型推导金属晶体中电压与 电流的关系. 试说明特鲁德模型中金属中的电子对热容的 贡献.
n V N La
3
Z
M
Z
M
其中NL为单胞数，na为单胞中 原子数，Z为价电子数，a3为单 胞体积，ρ为元素密度，NA为 阿伏加德罗常数，M为原子量， 典型值为1022~1023个/cm3 电子平均半径 rs
驰豫时间近似和导电率公式
] ]
01/ 22
一、弛豫时间近似
1.外场和温度梯度存在
rK∇
K r
f
+ kK∇ K f k
=b−a =
−
f
− τ
f0
⋅
r
=
1 =
∇
k
E
kK
=
−
e =
(εK
+
K v
×
K B)
∇r
f
=
∂f ∂T
∇ rT
玻尔兹曼方程为：
1 =
(∇
K k
E
⋅
∇T
)
∂f ∂T
−
e =
(εK
+
K v
×
K B
)
⋅
∇
K k
=
σ0
=
1 3
(σ
11
+ σ 22
+ σ33)
K
∫ σ 0
=
−
2q2 3
=2 m*2
(k12
+
k22
+
k32
)τ
(k )( ∂f0 ∂E
)
dk (2π )3
K dk = 4π k 2dk
E
=
=2k 2 2m*
dE = =2k dk m*
∫ 导电率
σ0
=
q2 3π 2m*
[k 3τ (k )](− ∂f0 )dE ∂E
电子的能量可以写为：
E
=
=2k 2 2m*
电子的速度分量：
K
vα
=
1 =
∂E(k ) ∂kα
=
=kα m*
固体物理复习题(已解答)
1 简述Drude 模型的基本思想把金属中的电子看做气体，金属由可以自由运动的电子和固定不动的离子实两部分组成，这些可以自由运动的电子使金属导电的成分。
将自由电子看做带电的小硬球，它们的运动遵循牛顿第二定律。
应用独立自由电子气假设：在忽略电子-电子和电子-离子间电磁相互作用（内场）的情况下，它们在金属中运动或并发生碰撞。
2 简述Drude 模型的三个基本假设并解释 独立电子近似：电子与电子无相互作用自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无相互作用弛豫时间近似：一给定的电子在单位时间内受一次碰撞的几率为1/τ 3在Drude 模型下，固体如何建立热平衡 碰撞前后速度无关联 碰撞后获得的速度方向随机 速率与碰撞后的温度相适应4 Drude 模型中对金属导电率的表达式为：mnq τσ2=5 在自由电子气模型中，由能量均分定理知在特定温度T 下电子的动能为： 1.5K B T6 在Drude 模型当中，按照理想气体理论，自由电子气的密度为n ·cm -3，比Cv= 1.5 nK B7 1853年维德曼和弗兰兹在研究金属性质时发现一个定律，即在给定温度下金属的 导热率 和 电导率 的比值为常数。
8 简述Drude 模型的不足之处？电子对比热的贡献与温度无关，被严重高估（210） 对电子速度 2v 低估（210）误认磁化率与温度成反比，而实际无关 什么决定传到电子的数目？价电子？ 导体？绝缘体？半导体？他之所以解释 维德曼-弗兰兹 成功，是因为对比热的高估正好抵消对速度的低估 9 对于自由电子气体，系统的化学势随温度的增大而 降低 。
10 请给出Fermi-Dirac 统计分布中，温度T 下电子的能量分布函数，并进一步解释电子能量分布的特点。
11)(/)('+=-TK E E FD B F eE f在温度T 下，能量为E 的状态被占据的几率。
式中EF 是电子的化学势，是温度的函数。
当温度为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能级。
固体物理学 自由电子论
自由电子费米气体 (金属自由电子论)
§1. 金属自由电子论的物理模型 1.Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体，服从波尔兹曼分 布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，认为电子之间无相互作用， 同时也不考虑原子实势场的作用，这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的。
f ( T )D( )d N
0
当T《 TF时:
u
F
[1
2
12
(
kBT
F
)2
]
0(kB
T
F
)4
与处理点阵振动的热能相仿，由
电子气的轨道密度D(ε)可求出电子气
的内能，轨道密度定义为：
在能量ε附近，单位能量间隔中
的轨道数定义为轨道密度度，在dε能
量间隔中的轨道数为D(ε)dε，色散
关系为：
2 k 2
k2
2 2m
(k2x
k
2 y
kz2 )
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物
线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数
ms
1 2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上
自旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
εk
2 2m
此时 k(r) eikr （省去了归一化常数）， 波矢 Kx.K y.KZ 取一系列分立值：
kx
2π L
nx
ky
2π L
ny
0. 1. 2......
kz
2π L
nz
将 (r) eikr ei(k xxk y yk zz) k 代回薛定锷方程可求出能级：
§1. 金属自由电子论的物理模型 1.Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体，服从波尔兹曼分 布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，认为电子之间无相互作用， 同时也不考虑原子实势场的作用，这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的。
f ( T )D( )d N
0
当T《 TF时:
u
F
[1
2
12
(
kBT
F
)2
]
0(kB
T
F
)4
与处理点阵振动的热能相仿，由
电子气的轨道密度D(ε)可求出电子气
的内能，轨道密度定义为：
在能量ε附近，单位能量间隔中
的轨道数定义为轨道密度度，在dε能
量间隔中的轨道数为D(ε)dε，色散
关系为：
2 k 2
k2
2 2m
(k2x
k
2 y
kz2 )
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物
线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数
ms
1 2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上
自旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
εk
2 2m
此时 k(r) eikr （省去了归一化常数）， 波矢 Kx.K y.KZ 取一系列分立值：
kx
2π L
nx
ky
2π L
ny
0. 1. 2......
kz
2π L
nz
将 (r) eikr ei(k xxk y yk zz) k 代回薛定锷方程可求出能级：
固体物理 第6章 金属电子论2
同样可以看出,电导率的贡献主要来自附近的情况
�
(2π ) v f (k) ,就可以直接计算电流密度.
2
j =
∫ f (k )v(k )dk
(2)碰撞项-由于晶格原子的振动或者杂质的存在等原因,电子不 断发生从一个状态到另一状态的改变,电子态的这种变化叫做散射. vv v v 定义单位时间由 k →k ′ 的跃迁几率 Θ(k, k′) .这里仅考虑自旋不变的跃迁
§6-3 分布函数和波耳兹曼方程 v v v v 以 f 0 [ E (k ),T ]表示费米分布函数,则单位体积内处于 k → k + dk 态范 v 围的电子数即电子数密度为: v
v v v v 平衡分布时,由于E(k) =E(k) ,分布函数f0[E(k),T] 对于两态 k , k 是对称 的,因此不会表现出宏观电流. v v j 当存在外场时,很快形成稳定的电流密度: = σE ,稳定的电流分 布反映了恒定外场下,电子达到一个新的定态统计分布,假定对应分 v 布函数 f (k) ,则总的电流密度: vv v v v 2e
f f0 v τ(k) 其中 f 0 指平衡时的费米函数, 为描述系统趋于平衡所用时间的参 量,称为驰豫时间.通过求解关于分布函数的方程: b a =
τ
v 2e j = 可以得到分布函数,再利用 ( 2π ) 2
v 一般表示:j = 2e 2 v v v v v f 0 τ v ( k )[ v ( k ) E ] 3 ∫ E (2 π ) E=E
vv vv dk vv v v 对于定态问题:k rv f (k , r,t) + ( dt ) k f (k , r ,t) = b a ,如果问题的分布函数
又和位置无关(如一根均匀导线内的情形),则波耳兹曼方程可以 v 简化为: e E v f ( kv ) = b a
金属电子论
f1, f2, … 分别表示包含 E 的一次幂, 二次幂, … 项, 0 级 项实际上就是平衡情况下的费米分布函数 f0 . 得到
q
E
k
f0
q
E
k
f1
f1 f2
等式两边 E 的同次幂的项相等给出f1qEFra bibliotekkf0,
f2
q
E k
f1
从一次幂方程得
f1
q
E k
f0
由于 f0 只是 E(k) 的函数, 上式又可以写成
§6-5 各向同性弹性散射和弛豫时间
考虑一个可以具体导出弛豫时间的特例, 即完全各向 同性而且电子散射（碰撞跃迁）是弹性的情况
首先它的能带情况是各向同性的, E(k) 只是 k 的函数, k 空间的等能面是一些围绕原点的同心球面
其次, 散射是弹性的, k 只跃迁到相同能量的 k’ 态, 可 以表示如下：
2
m*
k12 k22 k32
(k) f0 d k /(2 )3
E
2q2
3
k m*
2
(k
)
f0 E
d
k
/(2
)3
8 q2
3
2k 2 m*2
(k
)
f0 E
dk
/(2 )3
q2
3 2m*
k
3
(k
)
f0 E
dE
q2 m*
k03
3 2
(k0 )
其中 k0 表示 E=EF0 时的 k 值
另外, 弹性波具有恒定的速度
cq
c 是常数, 对横波和纵波各有不同的值: c ct (横波) c cl (纵波)
由一个格波引起的整个晶格中的势场变化
高二物理竞赛课件：驰豫时间近似和电导率公式
f
f0
方程的解就是存在电场时定态分布函数f，f将是电场E的 函数，把f按E的幂级数展开
f f0 f1 f2
f1,f2分别代表包含电场E的一次幂、二次幂…， 代入方程得
q
E k
f0
q
E k
f1
f1
f2
q
E k
f0
f1
q
E k
f1
f2
f1
q
E k
f0
q
E
k
E
(k )(
f0 E
碰撞 b a
一般形式的玻耳兹曼方程为
f t
v f
k k
f
ba
对于定态问题，如恒定的电磁场的情况下， f 0
玻耳兹曼方程为
t
v f k k f b a
如果f与位置无关（不存在空间不均匀的情况） f 0
k k f 又 dk
ba
qE
dt
q
E
k
f
(k )
b
a
驰豫时间近似和电导率公 式
驰豫时间近似和电导率公式
q
E
k
f
(k )
b
a
碰撞项b-a包含未知的分布函数，因此，玻耳兹曼方程是
一个积分微分方程。在实际中都采用近似方法求解，一个
被
广泛引用的近似方法是假定碰撞项可以写成下列简单的形
式
b a f f0
(k )
其中f0为平衡时的费米分布函数，τ是引入的一个参量，称 为驰豫时间，它是k的函数。这个假定的一般依据是考虑到碰撞 促使系统趋向平衡态这一基本特点。
(2
dk
(2 )3
t)
t dk 以上两式之差就是 时间内
固体物理学6自由电子论
第六章 自由电子论和电子的输运性质6-1电子气的费米能和热容量自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。
一 费米能量1.模型(索末菲)(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)； (3)价电子速度服从费米—狄拉克分布。
2.费米分布函数在热平衡时，能量为E 的状态被电子占据的概率是1e 1)(B F )(+=-T k E E E fE F ---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。
它是温度T 和晶体自由电子总数N的函数。
随着T 的增加，f (E )发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在E F附近±k B T 范围内。
3.费米面0.a =T ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=F FF 01)(E E E E E E E f 陡变0.b ≠T ⎪⎩⎪⎨⎧>>=<<=FFF0211)(E E E E E E E fE=EF 的等能面称为费米面。
在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有电子。
T ≠0时，费米球面的半径k F 比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离EF 约k B T 范围的能级上的电子被激发到EF 之上约k B T 范围的能级。
4.求EF 的表达式E~E+dE 间的电子状态数：E E N )d ( E~E+dE 间的电子数：E E N E f )d ()( 系统总的电子数：⎰∞=０E E N E f N )d ()(分两种情况讨论：(1)在T=0K 时，上式变成：⎰=0)d (FE E E N N ０将自由电子密度N(E)=CE 1/2代入得：()23021032d ⎰==FE FE C E CE N ０其中23222π2⎪⎭⎫⎝⎛= m V C c()23023222π232FE m V N ⎪⎭⎫ ⎝⎛=令n=N/V ，代表系统的价电子浓度()32220π32n mE F=金属中一般 n~1028m-3，电子质量m=9×10-31kg ， 自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算NN E E ⎰d ＝０⎰=0023d FE E E NC053F E =由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。
能带论 电场下的电子 弛豫时间 电导率公式
如果在这个能带中放入一个ke态的电子，有
由此得到
由此可见，近满带的电流就如同一个带正电荷e的粒子 所荷载的，它具有逸失电子ke态电子相同的速度 这个假想的粒子称为空穴。一个缺少了少数电子的近 满带的性质应该由剩下的所有电子来决定，但也可以 用少数空穴取替代它。
2.空穴的性质
1.
如果满带中失去一个波矢为ke的电子，定义系统中剩 下电子的总波矢为空穴的波矢，有
以上推导基于Drude模型，该模型首次尝试 使用电子气来解释金属的一些行之，它有以 下几个假设：
电子只受到原子核散射
两次散射之间，电子之间无相互作用， 电子与原子核也无相互作用
碰撞是瞬间发生的，它改变电子的速度
电子的碰撞概率为：1/τ(即散射概率) 电子只能通过碰撞达到热平衡。
Drude模型在电子导电方面获得了比较好的结果，但是在 电子比热方面有很大问题，它预测电子比热为：
§6.8 布洛赫电子在恒定电场中 的准经典运动
一、碰撞、驰豫时间、金属电导率公式 （Drude模型）
从电子的准经典运动方程出发，得到违背实验的结果 （布洛赫振荡）。实验上，加一个恒定的电场总得到 一个恒定的电流。其原因在于准经典运动方程是一个 无碰撞机制的弹道方程。
自由电子完全忽略了离子实的散射，而布洛赫电子考 虑到了离子实的散射，但它作为严格的周期势出现在 薛定谔方程中，得到的布洛赫函数是一个定态解。
实际上，碰撞或散射总是存在的。任何导致偏离周 期势的机制（晶格振动或者晶格中的缺陷）都将散 射电子，改变电子的速度。这种碰撞是无规的，我 们定义电子两次碰撞之间的平均自由时间为τ，而 1/τ就是碰撞概率。
只有当τ远大于TB（布洛赫振荡周期）时候，即在 两次碰撞间电子的k空间移动的距离远大于布里渊区 的尺度时，才能观测到布洛赫振荡。也就是只有样 品几乎是理想晶体，且温度很低的时候，才有可能 观测到布洛赫振荡。
由此得到
由此可见，近满带的电流就如同一个带正电荷e的粒子 所荷载的，它具有逸失电子ke态电子相同的速度 这个假想的粒子称为空穴。一个缺少了少数电子的近 满带的性质应该由剩下的所有电子来决定，但也可以 用少数空穴取替代它。
2.空穴的性质
1.
如果满带中失去一个波矢为ke的电子，定义系统中剩 下电子的总波矢为空穴的波矢，有
以上推导基于Drude模型，该模型首次尝试 使用电子气来解释金属的一些行之，它有以 下几个假设：
电子只受到原子核散射
两次散射之间，电子之间无相互作用， 电子与原子核也无相互作用
碰撞是瞬间发生的，它改变电子的速度
电子的碰撞概率为：1/τ(即散射概率) 电子只能通过碰撞达到热平衡。
Drude模型在电子导电方面获得了比较好的结果，但是在 电子比热方面有很大问题，它预测电子比热为：
§6.8 布洛赫电子在恒定电场中 的准经典运动
一、碰撞、驰豫时间、金属电导率公式 （Drude模型）
从电子的准经典运动方程出发，得到违背实验的结果 （布洛赫振荡）。实验上，加一个恒定的电场总得到 一个恒定的电流。其原因在于准经典运动方程是一个 无碰撞机制的弹道方程。
自由电子完全忽略了离子实的散射，而布洛赫电子考 虑到了离子实的散射，但它作为严格的周期势出现在 薛定谔方程中，得到的布洛赫函数是一个定态解。
实际上，碰撞或散射总是存在的。任何导致偏离周 期势的机制（晶格振动或者晶格中的缺陷）都将散 射电子，改变电子的速度。这种碰撞是无规的，我 们定义电子两次碰撞之间的平均自由时间为τ，而 1/τ就是碰撞概率。
只有当τ远大于TB（布洛赫振荡周期）时候，即在 两次碰撞间电子的k空间移动的距离远大于布里渊区 的尺度时，才能观测到布洛赫振荡。也就是只有样 品几乎是理想晶体，且温度很低的时候，才有可能 观测到布洛赫振荡。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设
电子与原子实的碰撞是随机事件
—— 可以改变电子运动的方向
每次碰撞后，电子的运动方向也是随机的
忽略电子与电子的碰撞
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设 电子与原子实连续两次发生碰撞的时间间隔 —— 平均自由时间 时间里，电子发生碰撞的次数为 1 —— dt时间里碰撞的次数 —— 单位时间内电子发生碰撞的几率
与 无关
—— 积分中其余的因子都是球对称__积分结果为奇函数 导电率
0
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
各向同性
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 [k (k )] 导电率 0 dE 2 * 3 m E q
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f f0 q 玻耳兹曼方程 E k f (k )
2 欧姆定律 —— 求解玻耳兹曼方程得到 —— 可以将分布函数按电场强度的幂级数展开
—— 第一、第二、第三项 分别是电场强度的零次、一次、二次幂
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
2 3
—— 对比金属电子总数的积分式和结果___不计
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
导电率 —— —— 在k空间的等能面是球面 等能面内的状态数
电子密度
0 nq2 ( EF ) 导电率 0 m*
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
4 金属电子论 —— 特鲁德关于金属电子模型的假设 金属由原子实和自由电子构成，原子实不动 电子可以自由运动，忽略电子与电子 电子与原子实相互作用，电子与原子实可以发生碰撞 —— 就像硬橡皮球与固定的物体发生碰撞一样 在无外场作用下，每个电子做匀速直线运动 —— 电子的能量就是动能
在观察时间t内，电子的平均速度
电子对电流的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 有外场的情形 任一时刻、任一电子的速度
在观察时间t内，电子的平均速度
电子对电流的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
nq j m
2
E —— j E 对比
—— 方程两边同次幂的项相等
是能量
的显函数
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 在一般电导问题中 电流与电场成正比，只考虑分布函数中电场的一次项
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
电流密度
第一项 —— 平衡分布时，积分结果为零
f 0 dk 欧姆定律 j 2q v(k ) v (k ) E 3 E (2 )
2
06_0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
3 导电率公式 —— 固体的各向异性，导电率是一个张量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 dk 2q (k ) v (k ) v (k ) 3 E (2 )
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设
假设电子和周围环境达到热平衡
仅仅是通过电子与原子实碰撞实现的 —— 碰撞前后电子的速度毫无关联
速率和碰撞发生处的温度相适应的
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 无外场情形 —— 任一时刻、任一电子的速度
2
—— 是关于的一个函数 积分的贡献主要来自 附近
—— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
各向同性的固体 —— 导带中的电子具有单一的有效质量电子的能量 电子的能量
电子的速度分量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 各向同性下，驰豫时间 —— 只要
06_04 驰豫时间近似和导电率公式 —— 玻耳兹曼方程
q E k f (k ) b a —— 一个积分 － 微分方程
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
1 驰豫时间近似 采取近似方法 —— 假定碰撞项表示为 —— 碰撞促使系统趋于平衡
只有碰撞的情形
驰豫时间 —— 反映了分布函数恢复平衡所需的时间
驰豫时间和有效质量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 根据金属电导论，可以得出电子的自由程
—— 因为在低温时
费密能量处电子的速度要比v0高出几个数量级 —— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
nq m
2
根据能量均分定理
—— 室温下
—— 电子的自由程 —— 实际电子的自由程在低温下可达到
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
以上
0 nq2 ( EF ) 导电率 0 * m
—— 金属电导理论
—— 金属电子论的结果 —— 电子的质量和连续两次碰撞所需的时间
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设
电子与原子实的碰撞是随机事件
—— 可以改变电子运动的方向
每次碰撞后，电子的运动方向也是随机的
忽略电子与电子的碰撞
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设 电子与原子实连续两次发生碰撞的时间间隔 —— 平均自由时间 时间里，电子发生碰撞的次数为 1 —— dt时间里碰撞的次数 —— 单位时间内电子发生碰撞的几率
与 无关
—— 积分中其余的因子都是球对称__积分结果为奇函数 导电率
0
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
各向同性
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 [k (k )] 导电率 0 dE 2 * 3 m E q
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f f0 q 玻耳兹曼方程 E k f (k )
2 欧姆定律 —— 求解玻耳兹曼方程得到 —— 可以将分布函数按电场强度的幂级数展开
—— 第一、第二、第三项 分别是电场强度的零次、一次、二次幂
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
2 3
—— 对比金属电子总数的积分式和结果___不计
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
导电率 —— —— 在k空间的等能面是球面 等能面内的状态数
电子密度
0 nq2 ( EF ) 导电率 0 m*
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
4 金属电子论 —— 特鲁德关于金属电子模型的假设 金属由原子实和自由电子构成，原子实不动 电子可以自由运动，忽略电子与电子 电子与原子实相互作用，电子与原子实可以发生碰撞 —— 就像硬橡皮球与固定的物体发生碰撞一样 在无外场作用下，每个电子做匀速直线运动 —— 电子的能量就是动能
在观察时间t内，电子的平均速度
电子对电流的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 有外场的情形 任一时刻、任一电子的速度
在观察时间t内，电子的平均速度
电子对电流的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
nq j m
2
E —— j E 对比
—— 方程两边同次幂的项相等
是能量
的显函数
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 在一般电导问题中 电流与电场成正比，只考虑分布函数中电场的一次项
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
电流密度
第一项 —— 平衡分布时，积分结果为零
f 0 dk 欧姆定律 j 2q v(k ) v (k ) E 3 E (2 )
2
06_0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
3 导电率公式 —— 固体的各向异性，导电率是一个张量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 dk 2q (k ) v (k ) v (k ) 3 E (2 )
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设
假设电子和周围环境达到热平衡
仅仅是通过电子与原子实碰撞实现的 —— 碰撞前后电子的速度毫无关联
速率和碰撞发生处的温度相适应的
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 无外场情形 —— 任一时刻、任一电子的速度
2
—— 是关于的一个函数 积分的贡献主要来自 附近
—— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
各向同性的固体 —— 导带中的电子具有单一的有效质量电子的能量 电子的能量
电子的速度分量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 各向同性下，驰豫时间 —— 只要
06_04 驰豫时间近似和导电率公式 —— 玻耳兹曼方程
q E k f (k ) b a —— 一个积分 － 微分方程
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
1 驰豫时间近似 采取近似方法 —— 假定碰撞项表示为 —— 碰撞促使系统趋于平衡
只有碰撞的情形
驰豫时间 —— 反映了分布函数恢复平衡所需的时间
驰豫时间和有效质量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 根据金属电导论，可以得出电子的自由程
—— 因为在低温时
费密能量处电子的速度要比v0高出几个数量级 —— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
nq m
2
根据能量均分定理
—— 室温下
—— 电子的自由程 —— 实际电子的自由程在低温下可达到
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
以上
0 nq2 ( EF ) 导电率 0 * m
—— 金属电导理论
—— 金属电子论的结果 —— 电子的质量和连续两次碰撞所需的时间