第八章弯曲变形

Pa2 2EI
fma x f(L)6 PE2aI3La
y aP
L
§8-4 叠加法求弯曲变形
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
前提：小变形，线弹性．使梁的挠度、转角 均与载荷成线形关系。
( P 1 ,P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
y
L
P
x
M (x)P(xL)
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
E" IM w (x ) P (L x ) EI'w 12P(Lx)2C1 EIw 1 6P(Lx)3C 1xC2
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
叠加求复杂载荷下的变形
B
P1L2 P2La 16EI 3EI
fC1P1LE 62aIP 32E a3IP32aE2LI
I (D 4d 4) 64
3.14 (80 4 40 4 )10 12 64
188 10 8 m 4
图3
B 1 P 1 L E 2 6 P 3 I 2 E L 2 a I 0 .1 1 40 8 ( 4 1 8 0 6 2 0 30 )0 0 .4 0 2 1 4 ( 3 0 弧 ) 度
+
PA
Pa 2 4EI
f PC
Pa3 6EI
q
A
B
qA
qa 3 3EI
fqC
5qa4 24EI
P
A
q B
PA
Pa 2 4EI
f PC
Pa3 6EI
C
a
a
qA
qa 3 3EI
fqC
5qa4 24EI
P
=
叠加
A
B
APAqA
+
a2 (3P4qa) 12EI
q
A
B
fC
5qa4 Pa3 24EI 6EI
A1
A3
y1 G
A4y
MBy2 Iz
746 8 3 18 084.62MPa
校核强度
y2
A2
A4
A3
L m a2 x.2 8 L
ym a4 x.2 6 y
y2 G
T字头在上面合理。
y1 A4
4
5
6
7
第八章 弯曲变形
§8–1 梁的挠度和转角 §8–2 挠曲线近似微分方程 §8–3 积分法求弯曲变形 §8–4 叠加法求弯曲变形 §8–5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
的可能性却增大了，这点应引起注意。
40
（五）、选用高强度材料，提高许用应力值
同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故
换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜
E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳 定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生 很大的改变！
解：画弯矩图并求危面内力
R A 2 .5 k N ;R B 1.5 0 k N MC 2.5kNm (下拉、)上压 MB 4kNm（上拉、下压 画危面应力分布图，找危险3 点
2.5kNm M
A2LM IC zy272.5 6 18 30 882.2 8MPa
x -4kNm
A3LM IBzy1746 5 3 12 082.72MPa
ymax0.021PELI3
M
3PL/16
x
L/4
3L/4
P=qL
对称
L/5
4L/5
M qL2/10
ymax0.014PELI3
x
PL3
ymax0.0
037 73 EI
q L
q
L/5
L/5
q L/2 L/2
x x x
qL 2 M
8
ymax0.0百度文库3qELI4
M
qL2 40
qL2 50
ymax0.7871503qEL4I
x x
x
例４ 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
L1
L2
P
A
C
B
f
f f1f2
=
L1 A 刚化AC段C
L2
P 等价
B
+
L1
L2
P 等价
A
C
B
A
刚化BC段
L2
P
C
B
f1
L1
P L2
C
MB
f2
§8-5 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
一、梁的刚度条件
wmaxw
max
其中[]称为许用转角；[w]称为许用挠度。由具体工作条件定, 可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算：
M
9qL2/512
qL2 32
ymax0.32613803qEL4I
（四）、梁的侧向屈曲 1.矩形纯弯梁的临界载荷
M z
x
y
M
cr
b
GE L
IY IZ
39
2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷
h M
M
z x
y
crL E2 Lh2(IIY Z)2EG IIY Z 2 2IIY Z
由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳
C 21 6P3a
(a)(a)
C1 D1
f(a)f(a)f(a)
C 1aC 2D 1aD 2
C 1D 11 2P2a ;C 2D 21 6P3a
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)66P P E EII(ax3a3)a32x3a2xa3
(0xa) (axL)
x
最大挠度及最大转角
m
ax(a)
33
当 D 4 1 2[D 2 4 (0 .8 D )2]时 ,D 1 .6D 7 1 Wz33D32(1-0.48 )2.7W 5z1
z
Iz36D4 4(10.84)4.59 Iz1
max2m
0.8D D
2a1
当 D 412 2a12时 ,a1 2D1
Wz4b62h46a13 1.6W 7z1
* 简单静不定梁
8
§8－１ 梁的挠度和转角
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。
与 y 同向为正，反之为负。
y
C
P
x 2.转角：横截面绕其中性轴转
、校核刚度： wmaxw
max
、设计截面尺寸； (但：对于一般工程结构，强度常处于主要地 、设计载荷。 位。特殊构件例外）
例５ 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，
杆的E=210GPa，工程规定C点的[f]=0.00001m,B点的]=0.001
弧度,试校核此杆的刚度。
=+ =+
M (x) 0
(axL)
y
a
P
L
写出微分方程的积分并积分
EI" w 0 P(xa)
(0xa) (axL)
EIw'
1 2
P(x
a)2
C1
D1
EIw16P(xa)3 C1xC2 D1xD2
x
应用位移边界条件求积分常数
EI(0f)1 6P3aC20
EI(0)12Pa2C10
y
a
P
L
C 11 2P2a ;
EI z
1
f(x) 小变形
(1f(x)2)32
f(x)
f (x) Mz(x) EIz
f ( x ) M ( x ) EI
即挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI(x)M (x)
12
§8-3 积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程： EfI(x)M (x)
EI(0f)1 6P3LC20
E(I0)Ef(I0)1 2P2L C 10
C11 2P2L;C21 6P3L
y
P
L
x
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)P(Lx)33L 2xL 3 6EI
最大挠度及最大转角
m
ax(L)
PL2 2EI
fmax
f
(L)PL3 3EI
x
解：建立坐标系并写出弯矩方程
P(xa) (0xa)
f ( P , 1 P 2 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
P
q 例２ 按叠加原理求A点转角和
A
C
B
C点挠度。
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
1
2
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m
2.5kNm M
x -4kNm
A1
A3
y1 G
y2
A2
A4
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，
铸铁的[L]=30MPa，[y]=60 MPa，
其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？
fC1 P 1L E 2 6 a IP 3 2 E a3 IP 3 2a E 2L I5 .1 9 1 6 0 m
校核刚度
fm a 5 .x 1 1 9 6 m 0 f 1 5 m 0
m a0 x .4 2 1 3 4 0 0 .001
二、提高梁弯曲刚度的主要措施
强度：正应力： 剪应力：
41
y A EI L
MA A L
h 2时 ,强度;最 h大 3时 ,刚度最大。
b
b
32
一般的合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
z D
a
z
a
Wz1
D 3
32
max1.33m43Q A
当 D 41 2a2时 ,aR ;(D 1/2)
W z2b62 h( 6R)31.1 W z8 1
Iz2b1h231.0I5z1
max1.5m
z
G
（二）、采用变截面梁
最好是等强度梁，即 ma(xx)W M((xx))[]
P 若为等强度矩形截面，则高为
x
h(x) 6M(x)
b[ ]
同时
max1.5bQ h(x) []
h(x) 1.536 Q
b[]
（三）、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。 P
M
PL/4
x
+
L/2
L/2
P
Iz4b1h 3281a1422 .0Iz91
max1.5m
z
a1
34
2a2 1.6a2
当 D 41 22a2 20.8 1.6a2 2 时 ,a21.0D 5 1
Wz54.5W 7z1 z
Iz59.55 Iz1
0.8a2 a2
max2.3m (=QAf )
工字形截面与框形截面类似。
35
2、根据材料特性选择截面形状 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：
B
C
图3
解：结构变换，查表求简单 载荷变形。
1B
P1L2 16EI
2B0
f1C 1Ba1P16LE2aI
f
2C
P2a3 3EI
3B
ML 3EI
La2P 3EI
f3C
3Ba
P2L a2 3EI
y L=400mm a=0.1mP
x
A
D
B
C
200mm P1=1kN P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
用积分法求弯曲变形（挠曲线方程） 1.微分方程的积分
EfI(x)M (x)
E IE f(I x ) M (x )d x C 1
E E I( w x ) I [ f M ( x ) d x ] d x C 1 x C 2
C1、C2为积分常数，据边界条件确定
13
2.位移边界条件
P
A
C
B
P D
支点位移条件：
w0 A
wB0
w0 D
D0
P
连续光滑条件：
A
C
B
wC左 wC右
（集中力、集中力偶作用处， 截面变化处）
C左
C右
讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。
例３ 按叠加原理求C点挠度。
解：载荷无限分解如图
q0
b
C
x
dx
dPq(x)dx2bq0db L
x
由梁的简单载荷变形表，
0.5L
0.5L
查简单载荷引起的变形。
f
fdPC(dP)b4 (3L 8 E 2 I4b2)
叠加
q0b2(3L2
4b2) db
24EIL
fqC fdPC0 0 .5Lq 0 b 2( 2 3 L E 4 24 Ib L 2)d b2q4 E 4 L 0 I
Mmax
Wz
QS
* z
bI z
刚度：
M (X ) v"
EI z
稳定性： … … … … … … … … … … …
都与内力和截面性质有关。
31
（一）、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比
h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:
R
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
b
英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
C
A
D
B
200mm P1=1kN
C P2=2kN
A
D
B
C
P1=1kN
P2
a
B
C
P2
P2 M
A
D
B
C
A
D
B
C
P2=2kN
y L=400mm a=0.1mP
A
D
B
200mm P1=1kN
Cx P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
w
动的角度。用 表示，逆时
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
w =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系：tgdw f(x)
dx
(1
§8-2 挠曲线近似微分方程
y M>0
f(x)0 x
y M<0
f(x)0 x
挠曲线曲率:
1 M z (x)