数学分析第十七章课件隐函数存在性定理

（2） y f (x) 在(x0 , x0 )上连续(证明略)
（3） y f (x) 在(x0 , x0 ) 有连续的导数，且
f '(x) Fx (x, y) Fy (x, y)
(证明略)
可将条件（3）改优为秀课F件x，(精x0彩,无y限0！) 0 ，结论应改为？ 8
y 连续且

F
(
x,
y0

b)

0
F (x, y0 b) 0
y ( y0 b, y0 b) , 使F( x, y )= 0 唯一
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则：（1）存在 0 使得在 p0 点的某一邻域内，方程 F(x, y) 0 唯一地确定一个定义在区间(x0 , x0 ) 内的隐函数 y f (x) ，定义在 (x0 , x0 )内满足 F(x, f (x)) 0 且 y0 f (x0 )
固定 x x0 ,特别 F (x0, y) ( y0 b, y0 b) 严格单调上升
又 F (x0, y0 ) 0 ，所以
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F ( x0 , F ( x0 ,
y0 y0
b) b)

0,固定y 0,固定y

y0 y0
b关于x连续F(x, b关于x连续F(x,
第十七章 隐函数存在定理
前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐 函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。
本章：存在性问题及连续性、可微性。
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§1 单个方程的情况
F(x, y) 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z F(x, y) z 0
几何上
曲面 z F(x, y)与 z 0 面的交线
唯一确定隐
函数 y f (x)
曲面 z F(x, y) 必须与 z 0 相交


y f (x)（1）连续 （2）可微

（1）连续曲线存在 交线
p0
(
x0
,
y0
),使
（2）存在切线
F (x0 , y0 ) 0
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曲面 z F(x, y) 在 p0点有切平面且切平面的法线不平行于 z
F (x, y) 0
证明： 条件（1）
F ( x,
y)
在D连续

固定y,F(x, y)是x的连续函数 固定x,F(x, y)是y的连续函数
条件（3）不妨设 Fy (x0, y0 ) 0 Fy (x, y) 0 在D（不妨设）， 对每个 x (x0 a, x0 a) , F(x, y)关于 y 严格单调上升
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定理17.1：设 F(x, y) 满足下列条件： （1） Fx , Fy 在 D：| x x0 | a ，| y y0 | b上连续 （2） F (x0, y0 ) 0 （3） Fy (x0 , y0 ) 0
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则 （1）存在 0 使得在 p0 点的某一邻域内，方程 F(x, y) 0 唯一地确定一个定义在区间(x0 , x0 ) 内的隐函数 y f (x) ，定义在 (x0 , x0 )内满足 F(x, f (x)) 0 ,且 y0 f (x0 )
（2） y f (x) 在(x0 , x0 )上连续
（3） y f (x) 在(x0 , x0 ) 有连续的导数，且
f '(x) Fx (x, y) Fy (x, y)
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要证（1） ：
有任意 x (x0 , x0 ) ,y (y0 b, y0 b) ,使
轴（即切平面不是 xoy 平面）

p0 切平面的法向量为 n Fx, Fy , 1 P0 与 k 0,0,1 不共线

Fx , Fy P0 0, 0（即 Fx , Fy 不能同时为零）
交线 L存在切线 ，T意味着一元函数的可微性，也要求
Fx , Fy P0 0,0
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定理17.2
设函数 F (x1, x2, , xn, y) 满足下列条件：
（i）偏导数 Fxi (i 1, 2,
,
n)和Fy在D：| xi

x (0) i
|
ai
(i
1,
2,
, n)，
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例2． F (x, y) x2 y2 1 Fx 2x, Fy 2 y都在全平面连续，当y 0时，Fx 0 。由 x2 y2 1 0 知, 当 y 0时，x 1.因此除( 1,0)上任何 其它点(x0 ,y0 ) ，都存在(x0 ,y0 )的领域， 在这个邻域内可唯一 确定可微的隐函数 y f (x)
y0 y0
b) b)

0, x 0, x
(x0 (x0
1 2
, ,
x0 x0

1) 2)
取 min(1,2 )

F F
( (
x, x,
y0 y0

b) b)

0 0
x (x0 , x0 )
故对任意
x (x0 , x0 )，F (x, y)关于
例1．方程
cos y sin x exy
能否在原点的某邻域内确定隐函数
y f (x) 或 x g( y) ？
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解： 令 F (x, y) cos y sin x exy
则 Fx cos x yexy，Fy sin y xexy
他们都在全平面上连续，而 F (0, 0) 0, Fx (0, 0) 1, Fy (0, 0) 0， 故方程在(0, 0) 点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数x g( y) ， 它定义在 (, )，使得 g(0) 0， F(g( y), y) 0,( y )。 但由于 Fy (0, 0) 0 ，据此无法断定是否在 (0, 0) 点的某邻域内 有隐函数 y f (x) 存在。