第一章 n阶行列式

线性代数讲稿

讲稿编者：王杰

使用教材：《线性代数》

教学参考：《线性代数典型题分析解集》

第一章 n 阶行列式

§1.2 排列及其逆序数

1．排列：n 个依次排列的元素．

例如, 自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种．

1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243

2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143

3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142

4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互异元素n p p p ,,,21 构成的不同排列有!n 种．

解 在n 个元素中选取1个 n 种取法

在剩余1-n 个元素中选取1个 1-n 种取法

在剩余2-n 个元素中选取1个 2-n 种取法

……………… …………

在剩余2个元素中选取1个 2种取法

在剩余1个元素中选取1个 1种取法

------------------

总共!n 种取法

2．标准排列：n 个不同的自然数从小到大构成的排列．

n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．

3．逆序数：

(1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序．

(2) 排列n p p p 21中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作)(21n p p p τ． 算法：固定),,2(n i =, 当i j <时,

满足的“”的个数记作（称为的逆序数）,

那么．

例2 排列6372451中, ．

例3 排列, 求逆序数．

解 记作

,

, , …,

4．奇偶性：排列

奇数时, 称为奇排列；

偶数时, 称为偶排列．

5．对换：

相邻对换：

一般对换：

定理1 排列经过1次对换, 其奇偶性改变．

证先证相邻对换：(1)

(2)

：对换后增加1, 不变, 故；

：对换后不变, 减少1, 故．

所以与的奇偶性相反．

再证一般对换：(1)

(2)

(3)

(1)(2)经过次相邻对换

(2)(3)经过次相邻对换

(1)(3)经过次相邻对换, 所以与的奇偶性相反．

推论奇排列标准排列, 对换次数为奇数．

偶排列标准排列, 对换次数为偶数．

§1.3 阶行列式的定义

1．二阶：

2．三阶：

(1) 乘积中三个数不同行、不同列：

行标(第1个下标)：标准排列123

列标(第2个下标)：是1,2,3的某个排列(共6种)

(2) 正项：123, 231, 312为偶排列

负项：132, 213, 321为奇排列

于是, ．

3．阶：个数, 称

为阶行列式, 它表示数值

,

其中, 求和式中共有项．

例3 计算, .

解中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为, 故．

中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为

故．

结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．

以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素

的乘积, 并冠以符号．

特例：

，

定理2 (2)

证由定义知(1)

先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得

(3)

①偶数

偶数次对换

偶数次对换

所以偶数

②奇数

奇数次对换

奇数次对换

所以奇数

因此, 由(3)可得

同理可证(1)中的项都是(2)中的项．

课后作业：习题一1，2，3