福大大学物理规范作业(本一)05解答

3 0 ′ ′ m, l oy = 1 × sin 30 = 0.5m S'系中 lox = 1× cos 30 = 2
0
S系中，尺与OX轴成45°角， l ox = l oy = 0.5m 根据长度缩短效应，l ox =
γ=
1 u2 1− 2 c = 3
′ l ox
γ
=
3 2γ
= 0 .5
解得： u = 0.816c
γ=
1 u 1− 2 c
2
又因为
∆x ∆t = u
代入得：
∆x 2 2 ′= ∆t 1− u / c u
9
三、计算题 1.在S系中观察到在同一地点发生两个事件，第二事 1.在 系中观察到在同一地点发生两个事件， 件发生在第一事件之后2s 2s。 S′系中观察到第二事 件发生在第一事件之后2s。在S′系中观察到第二事 件在第一事件后3s发生。求在S′ 3s发生 S′系中这两个事件的 件在第一事件后3s发生。求在S′系中这两个事件的 空间距离。 空间距离。
分析一： 以地球为S系，火箭为S'系，
3.一宇航员要到离地球为 光年的星球去旅行。如果宇 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行 一宇航员要到离地球为 光年的星球去旅行。 航员希望把这路程缩短为3光年 光年， 航员希望把这路程缩短为 光年，则他所乘的火箭相对 应为： 于地球的速度 应为： （C） ）
2. 一根米尺静止在S'系中，与 O'X'轴成30°角 ， 如果 一根米尺静止在S'系中， O'X'轴成30° S' 系中 轴成 30 系中测得该尺与OX轴成45 OX轴成45° S'系相对于 系相对于S 在 S 系中测得该尺与 OX 轴成 45° 角 ， 则 S' 系相对于 S 系 的速度u是多少？ 系测得该尺的长度是多少？ 的速度u是多少？S系测得该尺的长度是多少？ 解：
( D) t ' = 50.25s , L' = 1.48 ×1010 m (c) t ' = 50.25s , L' = 100m ;
分析：以地面为S系，飞船为S’系， 1 γ = = 5.025 u = 0.98c 1 − 0.98 2
已知： ∆x = 100 m , ∆t = 10 s
求： ∆t ′, ∆x′
u
解： 在S系中观察，A'钟与A钟相遇后再与B钟相遇所需 的时间为： ∆t = ∆x u
u ∆t ' = γ (∆t − 2 ⋅ ∆x) c ∆x u u2 =( − 2 ⋅ ∆x ) / 1 − 2 u c c
A
B
s
s'
8
A'
（法二）：在钟A’从A运动到B的过程中，对于S’系是 同地发生的事情，而对于S系则是异地发生的事情， 所以S’系中测得的时间为本征时间。根据时间膨胀效 应，有： ∆ t = γ∆ t '
直接用洛伦茨变换，地面上
x2 − x1 = 16年 ⋅ c
由洛伦茨变换 x2 − x1 = γ [( x2 '− x1 ' ) + u (t 2 '−t1 ' )] 宇航员在同一地点
x2 − x1 = γu (t 2 '−t1 ' ) = u (t 2 '−t1 ' ) 1 − (u / c) 2
大学物理规范作业
总（05） 相对论效应 洛仑兹变换
1
一、选择题 1.一个短跑手在地球上以 的时间跑完 一个短跑手在地球上以10s的时间跑完 一个短跑手在地球上以 的时间跑完100m,在飞行 在飞行 速度为0.98c的与运动员同向飞行的飞船中的观察者来 速度为 的与运动员同向飞行的飞船中的观察者来 这短跑手跑的时间和距离为： 看，这短跑手跑的时间和距离为： （D） ） ( A) t ' = 10s , L' = 100m ; ( B) t ' = 10s , L' = 1.48 ×1010 m ;
u 0.98c ∆t ′ = γ ( ∆t − 2 ∆x) = 5.025(10 − 2 × 100) = 50.25( s ) c c ∆x ′ = γ (∆x − u∆t ) = 5.025(100 − 0.98c × 10) = −1.48 × 1010 (m)
2
2.宇宙飞船相对地面以速度 作匀速度直线飞行，某一 宇宙飞船相对地面以速度u作匀速度直线飞行 宇宙飞船相对地面以速度 作匀速度直线飞行， 时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号， 时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号， 经过 ∆t（飞船上的钟）时间后，被接收器收到，由此 飞船上的钟）时间后，被接收器收到， 可知宇航员测出的飞船长度为： 可知宇航员测出的飞船长度为：
6
2.测得不稳定 π 介子的固有寿命平均值是 ×10-8 s ， 测得不稳定 介子的固有寿命平均值是2.6× 的速度运动时， 当它相对某实验室以 0.8c 的速度运动时，实验室所测 −8 得的寿命应是 。 4.3 ×10 s
+
分析：由时间膨胀原理
∆t = γτ =
τ
1− 1 − 0.8
2
= 4.33×10 s
−8
7
3.在S系中的 轴上相距为 ∆x 的两处有两只同步的钟A 在 系中的x轴上相距为 的两处有两只同步的钟 系中的 系的x’轴上也有一只同样的钟 和B，读数相同，在S’系的 轴上也有一只同样的钟 ， ，读数相同， 系的 轴上也有一只同样的钟A’， 系相对于S系的运动速度为 轴正方向且当A 若S’系相对于 系的运动速度为 ，沿x轴正方向且当 系相对于 系的运动速度为u， 轴正方向且当 相遇时， 与A’相遇时，刚好两钟的读数均为零，那么，当A’钟 相遇时 刚好两钟的读数均为零，那么， 钟 钟相遇时， 系中B钟的读数是 此时S’ 与B钟相遇时，在S系中 钟的读数是 ∆x u ，此时 钟相遇时 系中 系中A’ 系中 钟的读数是 ∆ x 1 − u 2 / c 2 。
S系测得该尺 的长度为：l =
2l ox = 0.707(m)
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( A) c∆t ,
( B) u∆t ,
（A） ）
(C ) c∆t 1 − v 2 c 2 ,
( D)u∆t 1 − v 2 c 2
分析：根据光速不变原理可得结论为（A）。
3
1 3 4 9 ( A)u = c , ( B) u = c , ( C ) u = c , ( D) u = c 2 5 5 10
1 S系：∆x = 0, ∆t = 2s γ= 解：由题知 u2 ′系： x′, ′ = 3s S ∆ ∆t 1− 2 c u∆x 由洛仑兹变换 ∆t ′ = γ ( ∆t − 2 ) = γ∆t c
3 代入数据，解得：γ = , 2 5 u= c 3
10
′ = γ (∆x − u∆t ) = −γu∆t = −6.71× 108t ′ = u u 根据时间膨胀效应： t = γ∆t ′ 解得：u = 0.8c ∆
4
∆x 5 = ∆ 根据长度缩短效应，有： x = r∆ x ′, γ = ∆x′ 3 1 4 又因为 γ = 2 代入得 u = c u 1− 2 5
c
二、填空题 牛郎星距离地球约16光年, 16光年 1.牛郎星距离地球约16光年 ,宇宙飞船若以 0.97c 的 匀速度飞行,将用4年的时间( 匀速度飞行,将用4年的时间(宇宙飞船上的钟指示的时 抵达牛郎星。 间)抵达牛郎星。 分析：设宇宙飞船的速度为u。地球上的观察者测量 飞船到达牛郎星所需的时间为：t = 16光年 u 根据时间膨胀效应，4年为本征时间，有： 16c 16c u2 4= = 1− 2 uγ u c 16 c = 0.97c 解得：u = 17 （说明：本题亦可用长度缩短效应求解，16光年为本 征长度） 16年 ⋅ c 1 − u 2 / c 2 = 4年 ⋅ u 5