人大附中2021年1月期末模拟数学试题-学生版

人大附中2020-2021学年度高三1月期末模拟统一练习

数 学

2021年1月9日

本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．

一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项．

1． 已知集合{}

13A x x =∈−≤≤R ，{

}

24x

B x =∈

为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若(1)2z i i −=，则z 的虚部为（ ）

A ．1

B ．1−

C ．i

D ．i −

3．在6

2⎛⎫ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为（

） A ．

15

16

B ．1516

−

C ．

316

D ．316

−

4．已知平面向量(3 1)a =−，，||4b =，且(2)a b a −⊥，则||a b −=（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．如图，AB 是

O 的直径，PA 垂直于O 所在平面，

C 是圆周上不同于,A B 两点的任意一点，且2AB =，

PA BC ==A BC P −−的大小为（ ）

A ．30︒

B ．45︒

C ．60︒

D ．90︒

6．已知()()21sin sin 0222

x f x x ωωω=

+−>， 则下列说法错误的是（ ）

A ．若()f x 在()0,π内单调，则2

03ω<≤ B ．若()f x 在()0,π内无零点，则1

06

ω<≤

C ．若()y f x =的最小正周期为π，则2ω=

D ．若2ω=时，直线2π

3

x =−

是函数()f x 图象的一条对称轴 7．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则“数列{}n S 为等差数列”是“数列{}n a 为常数列”

的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．设抛物线C ：()2

20x py p =>的焦点为F ，点P 在C 上，17

4

PF =

，若以线段 PF 为直径的圆过点(1 0)，

，则C 的方程为（ ） A ．2x y =或28x y = B ．22x y =或28x y = C ．2x y =或216x y =

D ．22x y =或216x y =

9．在△ABC

中，a =

cos 3sin A a B =，则△ABC 面积的最大值是（ ）

A

．B

．

C

．

D

．10．已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关

于()f x 有下述四个结论：

①()f x 的一个周期是2π； ②()f x 是偶函数；

③()f x

； ④()f x 在(0π)，单调递减． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．②④

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案全部填写在答题卡上．

11．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共

有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有 青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为 ．

12．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知2416a a ⋅=，632a =，记1n n n b a a +=+，

则数列{}n b 的前六项和6S 为 ．

13．已知F 是双曲线C ：2

2

18

y x −=的右焦点，P 是双曲C

上的点，(0A ，

① 若点P 在双曲线右支上，则AP PF +的最小值为 ； ② 若点P 在双曲线左支上，则AP PF +的最小值为 ．

14．已知函数3

10()1ln 20kx x f x x x kx x ⎧+−≤⎪

=−⎨⎪+−>⎩

，，，若()f x 恰有4个零点，则实数k 的取值范

围为 ．

15．某校开展“我身边的榜样”评选活

动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为 ．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．(本题13分)

已知△ABC 中，cos 0b A c −>．

（Ⅰ）△ABC 中是否必有一个内角为钝角，说明理由． （Ⅱ）若△ABC 同时满足下列四个条件中的三个：

①sin 2A =

；②sin 2

C =；③2a =；④c =

请证明使得△ABC 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b 的值．

17. (本题13分)

如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，M 分别是线段AD ，BD ，AC 的中点，

90ABD BCD ∠=∠=，EC =2AB BD ==．

（Ⅰ）证明：

EM ∥平面BCD ；

（Ⅱ）证明：EF ⊥平面BCD ；

（Ⅲ）若直线EC 与平面ABC 所成的角等于30，求二面角A CE B −−的余弦值．

18. (本题14分)

某企业发明了一种新产品，其质量指标值为[]()

70,100m m ∈，其质量指标等级如下表：

随机抽取了1000件，将其质量指标值m 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（Ⅰ）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；

（Ⅱ）若从质量指标值85m ≥的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求[)90,95m ∈的件数

X 的分布列及数学期望；