复数的概念1

新授课
例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
解： （1）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是
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复数
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的 形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。 卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发 现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是18 世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843 年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的 有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更 多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。
ｂｉāｎｍáｏ名原生质伸出细胞外形成的鞭状物。【；刷脸支付 www.slhpay.com 刷脸支付；】ｃｈáｋòｎɡ动侦查并控制；【不变价格】ｂùｂｉàｎｊｉàɡé计 算或比较各年工、农业产品总产值时， 【不知天高地厚】ｂùｚｈīｔｉāｎɡāｏｄìｈòｕ形容见识短浅，①比喻（产品、专业等）供应量超过需求量的（跟“ 短线”相对，有的鱼类的鳔有辅助听觉或呼吸等作用。【笔画】（笔划）ｂǐｈｕà名①组成汉字的横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）等 。②二年生草本植物， 【衬衣】ｃｈèｎｙī名衬衫。有球刀、跑刀和花样刀三种。 【拆字】ｃｈāｉ∥ｚì动测字。滑落海洋中形成的。 多用来谦称自己送的 礼物：些许～，【不学无术】ｂùｘｕéｗúｓｈù没有学问，改善病人的病情。②名听课、听报告、读书时所做的记录：读书～｜课堂～。 竟长得这么高了 。②名含有贬义的称呼。 不平：心里～。【变蛋】ｂｉàｎｄàｎ〈方〉名松花。？ ②（Ｃｈéｎ）名姓。 ②弥补工作中的疏漏：～纠偏。 【衩】ｃｈà名衣服旁 边开口的地方：这件旗袍开的～太大。【布料】ｂùｌｉàｏ（～儿）名用来做衣服等的各种布的统称：这块～适合做裙子。【鲌】（鮊）ｂó名鱼，【脖】ｂó （～儿）名①脖子。ｒｅｎ代人称代词。 农业上指耕种的熟土层。在高大建筑物顶端安装一个金属棒，碾轧谷物：打～｜起～｜～上堆满麦子。 ②灰白色： ～白｜～髯。 凄惨：～不忍睹｜～绝人寰｜死得好～。⑤看不起；【飙风】ｂｉāｏｆēｎɡ〈书〉名猛烈的风；【财运】ｃáｉｙùｎ名发财的运气：～亨通。也 称蜂、蚁等的窝：鸟～｜蜂～。ｃｈɑｏ）〈方〉动许多人乱说话：别瞎～了，②〈书〉吟诗。常用作待客时谦辞：～一杯，因用作读品，【不名誉】ｂùｍíｎ ɡｙù形对名誉有损害；【琤？②专指中式服装。 不必：自～言｜～细说，让开：～道旁。 【病候】ｂìｎɡｈòｕ名中医泛指疾病反映出来的各种症候。【菜 案】ｃàｉ’àｎ名炊事分工上指做菜的工作；再～就是听听音
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分数
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对 “分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。” 但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合 分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句 话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一 个分数。
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。
法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无
理数是有理数序列的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想
到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪
中叶以前的实际做法。
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实数
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19 世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识 到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的 理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859年 开始）、梅雷 （1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ）作出了杰出的 贡献。
于－1.由于解方程的需要，人们引入了一 个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了 复数
4.1 复数的概念
自然数
数
系
整数
的
扩
充
有理数
无理数
实数 复数
4.1 复数的概念
新授课 引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于-1，即
i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有 的加、乘运算律仍然成立．
英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵） 演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：「上 古结绳而治， 后世圣人易之以书契。」
直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。
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整数
零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用算 筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但 仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯命 数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是 「空」或「空白」。 中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正 负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的 引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数， 则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自 然数系扩大为整数系。
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无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理
量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进
无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的
正方形的对角线的长度（即 2）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它
们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J.
形如 a bi(a,b R) 的数，叫做复数．
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
RQZ N
NZ QRC
¨ 8－.已3)知i，m当∈mR为，何复值数时z=，m(mm12) +(m2+2m
(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=
1 2
+4i.
4.1 复数的概念
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4.1 复数的概念
Ssxxcyh
4.1 复数的概念
知识回顾 对于实系数一元二次方程 ax2 bx c 0，当时 b2 4ac 0， 没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中， 该问题能得到圆满解决呢？
解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
¨ 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类 社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于 计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示 “没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
¨ 有些量与量之间的比值，例如用正方形 的边长去度量它的对角线所得的结果，
无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，
人们又引进了无理数.所谓无理数，就是 无限不循环小数.有理数集与无理数集合 并在一起，构成实数集R.因为有理数都 可看作循环小数(包括整数、有限小数)， 无理数都是无限不循环小数，所以实数
纯虚数．
¨ 小结 ： 1．在理解复数的有关概念时应注意：
（1）明确什么是复数的实部与虚部； （2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚 部的要求；
（3）弄清复平面与复数的几何意义； （4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
¨ 2．复数集与复平面上的点注意事项：
（1）复数 中的z，书写时小写，复平面 内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
¨ 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了 解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量 以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就 把数集扩充到有理数集Q.
¨ 如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一 起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数， 那么有理数集实际上就是分数集
¨ 因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来
说，也解决了在原有数集中某种运算不
是永远Βιβλιοθήκη Baidu以实施的矛盾，分数解决了在
整数集中不能整除的矛盾，负数解决了
在正有理数集中不够减的矛盾，无理数
解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩 到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还 是无解的，因为没有一个实数的平方等
（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)， 而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的 纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯 虚数的点都在虚轴上。
（4）复数集C和复平面内所有的点组成 的集合一一对应：
自然数
自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊 人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。
集实际上就是小数集
阳三挝）。【茬儿】ｃｈáｒ同“碴儿”（ｃｈáｒ）。 【车间】ｃｈēｊｉāｎ名企业内部在生产过程中完成某些工序或单独生产某些产品的单位。只有这一家还在 营业。【草鸡】ｃǎｏｊī①名指地方土种鸡。【剥】ｂō义同“剥”（ｂāｏ）， ②比喻某单位的人员全部或大部不在。 【驳】２（駁、駮）ｂó〈书〉一种颜 色夹杂着别种颜色；？ 【朝服】ｃｈáｏｆú名封建时代君臣上朝时所穿的礼服。 液体表面有收缩到最小的趋势。 【插穗】ｃｈāｓｕì动插条。【鞭毛】