截距式方程

x x1 y y1 z z1 即 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0. x3 x1 y3 y1 z3 z1
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5、截距式方程
设平面与 x, y , z 三轴分别交于 P(a,0,0), Q(0, b,0),
R(0,0, c) （其中 a 0, b 0, c 0 ） ，求此平面方程。
解：将三点坐标代入平面的三点式方程整理得： 平面的截距式方程
x y z 1 a b c
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
x
a
z
c
o
b

y
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二、平面的一般式方程
任何平面的方程都可以用它上面的一点和它的一个方
x x0 y y0 z z0
位向量来确定： X 1
X2
Y1 Y2
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由一点和方位向量确定的平面方程
4、三点式方程
建立过不共线的三点 M i ( xi , yi , zi ) ， ( i 1, 2, 3)的 平面方程。
设 ri =OM i {xi , yi , zi }( i 1, 2,3),取a r2 r1， b r3 r1 为平面的方位向量，令 r =OM ={x, y, z}, 则： r r1 u (r2 r1 ) v(r3 r1 )。
Leabharlann Baidu第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.2-3 平面与点 两平面的相关位置 §3.4 空间直线的方程
§3.5-6 直线与平面 直线与点的相关位置
§3.7 §3.8 空间两直线的相关位置 平面束
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第三章 平面与空间直线 教学安排说明
教学时数： 12课时 本章教学目标及要求：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标 系下平面、 直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种 位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。 本章教学重点：1.空间坐标系下平面 、直线方程的几种重要形 式； 2. 平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；3.平面与空间 直线各种度量关系的量化公式。 本章教学难点： 1. 空间直线一般方程向标准方程的转化； 2. 综 合运用位置关系解析条件求平面、空间直线方程。
1. D 0 平面过原点;
A
, 0, 0)
和不共线向量 B, A, 0 和
① D 0 时平行于 z 轴； 2. A, B, C 之一为 0, 如 C 0 : ② D 0 时，经过 z 轴. ① D 0 时平行于 yoz面； 3. A, B,C 中两个为 0,如 B C 0: ② D =0 时，经过 yoz面.
2
§3.1 平面的方程（1）
教学时数： 2课时 教学重点：平面方程的应用； 教学难点：1.平面的一般方程；2.平面基本定理。 教学目标： 1.理解平面的概念； 2.掌握平面方程的求法； 3.熟悉平面的基本定理； 4.培养学生的空间想象能力。
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一、由一点和方位向量确定的
平面方程
方位向量：不共线且与平面 平行的两向量 a { X 1 , Y1 , Z1} 、 b { X 2 , Y2 , Z 2 }，叫平面的一组方位 向量。已知平面上的一点及其方位向量，可以确 定它的方程。
r r0 ua vb (u、v是参数)
叫平面 的向量式参数方程。
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由一点和方位向量确定的平面方程
2、坐标式参数方程 x x0 X1u X 2v, 将a 、 b 的坐标代入上式得 ： y y0 Y1 u Y2 v, z z0 Z1 u Z 2 v,
Z1 Z2
0 , 即Ax By Cz D 0,
其中 : A
Y1 Y2
Z1 Z2
,B
Z1 X 1 Z2 X 2
,C
X 1 Y1 X 2 Y2
. a, b 不共线,
A, B, C 不全为0, 即任一平面可用 x, y, z 的三元一次方程表 示,反之对于给定的三元一次方程 Ax By Cz D 0,不妨设
xD/ A y z A 0,可写成 A2 ( x ) ABy ACz 0, 凑成： B A 0 0 A C 0 A
D
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平面一般方程的讨论
表示由点M 0 (
D
C ,0, A 所确定的平面。于是有：
平面基本定理：在空间坐标系下，任意平面的方程都 可表为三元一次方程，反过来任一个三元一次方程都表示 一个平面。称它是平面的一般方程。
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由一点和方位向量确定的平面方程
1.向量式参数方程
设M ( x0 , y0 , z0 )是 上的动点， 则 r =OM {x, y, z} ,
r0 =OM0 {x0 , y0 , z0} ，则M 0 M 与a 、 b 共面 r r0 ua vb
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例1
例1. 求平行于平面 6 x y 6 z 5 0，而与三个坐标面 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。 x y z 解 : 设平面为 1, V 1, a b c
x
a
z
c
1 1 abc 1, 由所求平面与已知 3 2
1
o
b

y
1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 平面平行得 . 即 ,令 6a b 6c 6 a b 6c 6 1 6 1 1 1 t a , b , c , 代入体式得a 1, b 6, 6t t 6t
(u, v是参数) 叫平面的坐标式参数方程。
3、点位式方程 方程 r r0 ua vb 两边点乘(a b) 得 (r r0 , a, b) 0，
即 X1 x x0 y y0 z z0
X2 Y1 Y2 Z1 Z2
0，叫平面的点位式方程。