物理光学第3章 光的衍射
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0,
0
a sin 0
)
2
1 Ka sin 2
I ( P) I 0
次极大
tg
19
3-3-2对光强分布公式的分析
条纹宽度及其影响因素
a
波长对条纹宽度的影响
20
3-3-2对光强分布公式的分析
缝宽对条纹宽度的影响
B 2r0 J 0 (2r0 )dr0 B 2
ie ikz ik BA exp ( x 2 y12 , z 2z
U ( x1 , y1 ) B 2
2 J (ka sin ) ka sin
J 0 ( x)
J1 ( x)
2
sin
第三章 光的衍射
3.1 概述
衍射:
是波动在传播途中遇到障碍物后所发生的偏离 “直线传播”的现象。
“光的衍射”也可以叫做“光的绕射”，就 是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上传 播到障碍物的几何阴影区。
光的干涉是多束分立的相干光迭加的结果， 而光的衍射是无限多光波叠加的结果。
1
3.1 概述
8
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
若在离很近的处观察透过的光，将看到边缘比较锐利的光斑， 其形状、大小和圆孔基本相同，可看作是圆孔的投影。这时光 的传播大约可看作是直线进行的。若距离再远些，例如，在K2 面上观察时，将看到一个边缘模糊的略大的圆光斑，光斑内有 一圈圈的亮暗环，这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。随着 观察平面距离的增大，光斑范围将不断扩大，但光斑中圆环数 目则逐渐减少（如K3面的情况），而且环纹的中心也表现出从 亮而暗，又从暗而亮的变化，当观察平面距离很远时，如在K4 面，将看到一个较大的中间亮边缘暗且在边缘外有较弱的亮暗 圆环的光斑。此后，观察距离再增大时，只是光斑扩大，但光 斑形状不变。
x 0
y 0
dxo dy0
22
3-4 夫琅和费圆孔衍射
ie iKz 2 z ( x12 y12 ) i 2 ( f x x0 f y y0 ) e u ( x y ) e dxo dy0 光强分布公式 u( x, y) 0 0 z
ik
x0 r0 cos 0 y0 r0 sin 0
3
3.2衍射的基本理论
①狭缝衍射
②圆孔衍射
4
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
5
3.2衍射的基本理论
惠更斯原理是描述波的传播过程的一个原理。设波 源在某一时刻的波阵面，面上每一点都是一个次波 源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹 面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的 传播方向。这就是惠更斯原理。 菲涅耳在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来 自同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光 振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的 次波迭加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原 理叫作惠更斯-菲涅耳原理。
( x0 , y 0 ) A
0
0 ~ 2
r0
0~a
23
3-4 夫琅和费圆孔衍射
光强分布公式
ie iKz 2 z ( x12 y12 ) i 2 ( f x x0 f y y0 ) u ( x, y) e u ( x y ) e dxo dy0 0 0 z
13
3-3-1衍射光强的计算
实验装置
14
3-3-1衍射光强的计算
衍射光强的计算
ik ik
( x1 x0 y1 y0 ) ie ikz 2 z ( x12 y12 ) z u ( x1 y1 ) e dx0 dy0 u( x0 y0 ) e z
u ( x0 y 0 ) A
y0 , y1 0
i x1 x0 i ikz 2 Z x12 2 2 u ( x1 y1 ) e e A b dy0 a e Z dx0 z 2 2
i x1x0 i ikz ikx12 e Ab 2a e z dx0 z 2z 2 a k
1 Ka sin 2
16
3-3-1衍射光强的计算
物理意义
I ( P) I 0 ( lim I 0 (
0
sin
)
2
sin 2 ) I0
1 Ka sin 2
1 2
2
17
3-3-2对光强分布公式的分析
对光强分布公式的分析
极值条件和极值 极小
10
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
菲涅耳近似：（z足够大）
x x2 1 x 1 x 1 2 8
1 x x0 2 1 y1 y0 2 r z 1 ( ) ( ) 2 z 2 z
u ( x1 , y1 )
i u ( x0 , y 0 )e ikr dx0 dy0 z
9
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
初步近似（小角度近似）
1 (1 cos ) 1; r z 2
i e ikr u ( P) (1 cos )u ( ) ds 2 r
i e ikr (1 1)u ( ) ds 2 z
i u ( x0 , y 0 )e ikr dx0 dy0 z
6
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
e ikr dU ( P) K ( )U (Q)ds r 复振幅U (Q) 代表开孔上的场强分布。 e ikr代表从点发出的球面波传到P点 r 时的振幅和相位的变化。 K ( )是一个倾斜因子，它描写次波振 幅随方向的改变，其中 是QP方向 和入射波前法线间的夹角，称为衍
两种类型： 菲涅耳（Fresnel）衍射: 这是光源和衍射场或者二者之一到衍射 孔（或屏障）的距离都比较小的情况； 夫琅和费（Fraunhofer）衍射: 这是光源与衍射场都在离衍射物无限远 处的情况。
2
3.2衍射的基本理论
衍射现象的主要特点
两个特点：
①波传播方向会变，经障碍物后会 在某种程度上绕到其几何阴影区域 中去。 ②在几何阴影区附近，波的强度会 有起伏。 只有当障碍物的尺寸与波长相近时， 衍射现象才开始显著。一般在空气 中无线电波在10~103米的范围，可 闻声波的波长是10~10米的范围，因 此其衍射现象极为常见。
a
21
3-4 夫琅和费圆孔衍射
实验装置
fx
x1 y , fy 1 z z
衍射条纹也从长的平行的明暗条纹变成为圆的明暗 ik 条纹 ie iKz 2 z ( x y ) i 2 ( f x f y )
u ( x, y)
z
e
2 1
2 1
u ( x0 y 0 )e
1
2
ik z ( x1 x0 ) i 2z u ( x1 , y1 ) u ( x , y ) e 0 0 z
1 ( y1 y0 ) 2 2z
dx 0 dy 0
( x1 x0 ) 2 ( y1 y0 ) 2 i ikz e u ( x0 , y 0 )e 2 z dx0 dy0 z ik
1 0 2 1 0 2
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( x1 y1 )( x0 y0 )2( x0 x1 y0 y1 ) i i ikz 2Z e u ( x0 y0 )e dx0 dy0 z ik 2 2 ik ( x0 y0 ) ( x1 x0 y1 y0 ) i ikz 2ez k ( x12 y12 ) 2z z e e u ( x0 y0 )e e dx0 dy0 z
射角。
K ( )
i (1 cos ) 2
i e ihr U ( P) U (Q) (1 cos )ds 2 r
7
3.2衍射的基本理论
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
光的衍射现象可以分为两种类型——菲涅耳衍射与夫琅和 费衍射，又分别称为近场衍射与远场衍射。
2 2 k ( x1 y1 ) ( x1 x0 y1 y0 ) i ikz 2z z e e u ( x0 y 0 ) e dx0 dy0 z
i
ik
12
3-3 夫琅和菲单缝衍射
3-3-1衍射光强的计算
如何在近处观察远场衍射
当利用透镜时，在它的焦面 上得到的就是不用透镜时的 远场衍射现象，只是空间范 围缩小了，光能集中了。
ka sin
24
I ( p ) u( x1 , y1 ) u( x1 , y1 )
2 J 1( ) I ( P) I 0
I 0 B 2 ( 2 ) 2
3-4 夫琅和费圆孔衍射
a sin
i ikz 2 z kx12 e e Ab z
I u( x1 ) u( x1 )
i iKz 2 z Kx12 sin u( x1 ) e e Ab a z
i
u( x1 )
i iKz 2 z Kx12 sin e e Ab a z
ik
b
a
k
a
sin(
X K a 1) 2 z X1 K a 2 z
15
3-3-1衍射光强的计算
角很小
x1 tg z
x1 sin z
u ( x1 y1 )
a sin(
K a sin ) 2
K a sin 2
i
1 Ka sin 2
u( x1 y1 )
x1 r1 cos y1 r1 sin
r1 f
z f
空间频率
fx
x1 y , fy 1 z z
fx
sin
r1 cos f
sin cos cos
设
f x cos
f y sin
dx0 dy0 r0 dr0 d 0
i
I u( x1 )u( x1 ) a, b, , , z, u( x0 , y0 ) A
I ( P) I 0 ( sin )2
2 1 2 2 2 sin 2 2 Ab a z 2 2 1 sin 2 2 2 2 sin A a b I0 ( ) 2 2 2 z
11
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
夫琅和菲近似：衍射屏到孔的距离 z很大，透光孔很小 2 2
2 2 x0 y 0 k ( x0 y0 )max 0 z 2 z 2 2 2 2 y0 x1 x0 y1 y 0 1 ( x1 x0 ) ( y1 y0 ) 2 1 x12 y12 1 x0 z 1 r z 1 2 2 2 2 2 2 z z z 2 z k ( x x ) ( y y ) i i u ( x1 y1 ) e ikz u ( x0 y0 )e 2 Z dx0 dy0 z k 2 2 2 2
ik
ie ikz 2 z ( x12 y12 ) U ( x1 , y1 ) e A expi 2r0 (cos 0 cos sin 0 sin )r0 dr0 d 0 z 0
ik
2
B
0 2 0
2
a
0
expi 2r0 cos( 0 )r0 dr0 d 0 2 J (2) 2
I ( P) I 0 (
m
sin
)
2
sin 0
0
1 ka sin m 2
(m 1,2,3,)
a sin m
m0
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3-3-2对光强分布公式的分析
主极大
0
I ( P) I 0 ( sin
lim ( sin ) 1
0,
0
a sin 0
)
2
1 Ka sin 2
I ( P) I 0
次极大
tg
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3-3-2对光强分布公式的分析
条纹宽度及其影响因素
a
波长对条纹宽度的影响
20
3-3-2对光强分布公式的分析
缝宽对条纹宽度的影响
B 2r0 J 0 (2r0 )dr0 B 2
ie ikz ik BA exp ( x 2 y12 , z 2z
U ( x1 , y1 ) B 2
2 J (ka sin ) ka sin
J 0 ( x)
J1 ( x)
2
sin
第三章 光的衍射
3.1 概述
衍射:
是波动在传播途中遇到障碍物后所发生的偏离 “直线传播”的现象。
“光的衍射”也可以叫做“光的绕射”，就 是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上传 播到障碍物的几何阴影区。
光的干涉是多束分立的相干光迭加的结果， 而光的衍射是无限多光波叠加的结果。
1
3.1 概述
8
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
若在离很近的处观察透过的光，将看到边缘比较锐利的光斑， 其形状、大小和圆孔基本相同，可看作是圆孔的投影。这时光 的传播大约可看作是直线进行的。若距离再远些，例如，在K2 面上观察时，将看到一个边缘模糊的略大的圆光斑，光斑内有 一圈圈的亮暗环，这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。随着 观察平面距离的增大，光斑范围将不断扩大，但光斑中圆环数 目则逐渐减少（如K3面的情况），而且环纹的中心也表现出从 亮而暗，又从暗而亮的变化，当观察平面距离很远时，如在K4 面，将看到一个较大的中间亮边缘暗且在边缘外有较弱的亮暗 圆环的光斑。此后，观察距离再增大时，只是光斑扩大，但光 斑形状不变。
x 0
y 0
dxo dy0
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3-4 夫琅和费圆孔衍射
ie iKz 2 z ( x12 y12 ) i 2 ( f x x0 f y y0 ) e u ( x y ) e dxo dy0 光强分布公式 u( x, y) 0 0 z
ik
x0 r0 cos 0 y0 r0 sin 0
3
3.2衍射的基本理论
①狭缝衍射
②圆孔衍射
4
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
5
3.2衍射的基本理论
惠更斯原理是描述波的传播过程的一个原理。设波 源在某一时刻的波阵面，面上每一点都是一个次波 源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹 面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的 传播方向。这就是惠更斯原理。 菲涅耳在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来 自同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光 振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的 次波迭加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原 理叫作惠更斯-菲涅耳原理。
( x0 , y 0 ) A
0
0 ~ 2
r0
0~a
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3-4 夫琅和费圆孔衍射
光强分布公式
ie iKz 2 z ( x12 y12 ) i 2 ( f x x0 f y y0 ) u ( x, y) e u ( x y ) e dxo dy0 0 0 z
13
3-3-1衍射光强的计算
实验装置
14
3-3-1衍射光强的计算
衍射光强的计算
ik ik
( x1 x0 y1 y0 ) ie ikz 2 z ( x12 y12 ) z u ( x1 y1 ) e dx0 dy0 u( x0 y0 ) e z
u ( x0 y 0 ) A
y0 , y1 0
i x1 x0 i ikz 2 Z x12 2 2 u ( x1 y1 ) e e A b dy0 a e Z dx0 z 2 2
i x1x0 i ikz ikx12 e Ab 2a e z dx0 z 2z 2 a k
1 Ka sin 2
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3-3-1衍射光强的计算
物理意义
I ( P) I 0 ( lim I 0 (
0
sin
)
2
sin 2 ) I0
1 Ka sin 2
1 2
2
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3-3-2对光强分布公式的分析
对光强分布公式的分析
极值条件和极值 极小
10
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
菲涅耳近似：（z足够大）
x x2 1 x 1 x 1 2 8
1 x x0 2 1 y1 y0 2 r z 1 ( ) ( ) 2 z 2 z
u ( x1 , y1 )
i u ( x0 , y 0 )e ikr dx0 dy0 z
9
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
初步近似（小角度近似）
1 (1 cos ) 1; r z 2
i e ikr u ( P) (1 cos )u ( ) ds 2 r
i e ikr (1 1)u ( ) ds 2 z
i u ( x0 , y 0 )e ikr dx0 dy0 z
6
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
e ikr dU ( P) K ( )U (Q)ds r 复振幅U (Q) 代表开孔上的场强分布。 e ikr代表从点发出的球面波传到P点 r 时的振幅和相位的变化。 K ( )是一个倾斜因子，它描写次波振 幅随方向的改变，其中 是QP方向 和入射波前法线间的夹角，称为衍
两种类型： 菲涅耳（Fresnel）衍射: 这是光源和衍射场或者二者之一到衍射 孔（或屏障）的距离都比较小的情况； 夫琅和费（Fraunhofer）衍射: 这是光源与衍射场都在离衍射物无限远 处的情况。
2
3.2衍射的基本理论
衍射现象的主要特点
两个特点：
①波传播方向会变，经障碍物后会 在某种程度上绕到其几何阴影区域 中去。 ②在几何阴影区附近，波的强度会 有起伏。 只有当障碍物的尺寸与波长相近时， 衍射现象才开始显著。一般在空气 中无线电波在10~103米的范围，可 闻声波的波长是10~10米的范围，因 此其衍射现象极为常见。
a
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3-4 夫琅和费圆孔衍射
实验装置
fx
x1 y , fy 1 z z
衍射条纹也从长的平行的明暗条纹变成为圆的明暗 ik 条纹 ie iKz 2 z ( x y ) i 2 ( f x f y )
u ( x, y)
z
e
2 1
2 1
u ( x0 y 0 )e
1
2
ik z ( x1 x0 ) i 2z u ( x1 , y1 ) u ( x , y ) e 0 0 z
1 ( y1 y0 ) 2 2z
dx 0 dy 0
( x1 x0 ) 2 ( y1 y0 ) 2 i ikz e u ( x0 , y 0 )e 2 z dx0 dy0 z ik
1 0 2 1 0 2
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( x1 y1 )( x0 y0 )2( x0 x1 y0 y1 ) i i ikz 2Z e u ( x0 y0 )e dx0 dy0 z ik 2 2 ik ( x0 y0 ) ( x1 x0 y1 y0 ) i ikz 2ez k ( x12 y12 ) 2z z e e u ( x0 y0 )e e dx0 dy0 z
射角。
K ( )
i (1 cos ) 2
i e ihr U ( P) U (Q) (1 cos )ds 2 r
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3.2衍射的基本理论
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
光的衍射现象可以分为两种类型——菲涅耳衍射与夫琅和 费衍射，又分别称为近场衍射与远场衍射。
2 2 k ( x1 y1 ) ( x1 x0 y1 y0 ) i ikz 2z z e e u ( x0 y 0 ) e dx0 dy0 z
i
ik
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3-3 夫琅和菲单缝衍射
3-3-1衍射光强的计算
如何在近处观察远场衍射
当利用透镜时，在它的焦面 上得到的就是不用透镜时的 远场衍射现象，只是空间范 围缩小了，光能集中了。
ka sin
24
I ( p ) u( x1 , y1 ) u( x1 , y1 )
2 J 1( ) I ( P) I 0
I 0 B 2 ( 2 ) 2
3-4 夫琅和费圆孔衍射
a sin
i ikz 2 z kx12 e e Ab z
I u( x1 ) u( x1 )
i iKz 2 z Kx12 sin u( x1 ) e e Ab a z
i
u( x1 )
i iKz 2 z Kx12 sin e e Ab a z
ik
b
a
k
a
sin(
X K a 1) 2 z X1 K a 2 z
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3-3-1衍射光强的计算
角很小
x1 tg z
x1 sin z
u ( x1 y1 )
a sin(
K a sin ) 2
K a sin 2
i
1 Ka sin 2
u( x1 y1 )
x1 r1 cos y1 r1 sin
r1 f
z f
空间频率
fx
x1 y , fy 1 z z
fx
sin
r1 cos f
sin cos cos
设
f x cos
f y sin
dx0 dy0 r0 dr0 d 0
i
I u( x1 )u( x1 ) a, b, , , z, u( x0 , y0 ) A
I ( P) I 0 ( sin )2
2 1 2 2 2 sin 2 2 Ab a z 2 2 1 sin 2 2 2 2 sin A a b I0 ( ) 2 2 2 z
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3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
夫琅和菲近似：衍射屏到孔的距离 z很大，透光孔很小 2 2
2 2 x0 y 0 k ( x0 y0 )max 0 z 2 z 2 2 2 2 y0 x1 x0 y1 y 0 1 ( x1 x0 ) ( y1 y0 ) 2 1 x12 y12 1 x0 z 1 r z 1 2 2 2 2 2 2 z z z 2 z k ( x x ) ( y y ) i i u ( x1 y1 ) e ikz u ( x0 y0 )e 2 Z dx0 dy0 z k 2 2 2 2
ik
ie ikz 2 z ( x12 y12 ) U ( x1 , y1 ) e A expi 2r0 (cos 0 cos sin 0 sin )r0 dr0 d 0 z 0
ik
2
B
0 2 0
2
a
0
expi 2r0 cos( 0 )r0 dr0 d 0 2 J (2) 2
I ( P) I 0 (
m
sin
)
2
sin 0
0
1 ka sin m 2
(m 1,2,3,)
a sin m
m0
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3-3-2对光强分布公式的分析
主极大
0
I ( P) I 0 ( sin
lim ( sin ) 1