数据模型决策05网络优化
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所有变量非负
最佳的解决办法
2W
为各个节点间运输量
2
min z 700xF1W 1 300xF1DC 200xDCW 1 400xF 2DC 400xDCW 2 900xF 2W 2
xF1W 1 xF1DC 80 xF1W 1 xDCW 1 60 xDCW 1 xDCW 2 xF1DC xF 2DC 0 s.t.xF 2DC xF 2W 2 70 xDCW 2 xF 2W 2 90 xF1DC , xDCW 1 , xF 2DC , xDCW 2 50
F
W={E，F，G}
算法的应用： 第四次连接
B
7
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
A
5
C
4
4
1
3
5
G
E
7 1
D
4
V={A，B，C，D，F}
F
W={E，G}
算法的应用： 第五次连接
B
7
2
2
A
5
C
4
4
1
3
5
G
E
7 1
D
4
F
V={A，B，C，D，E，F} W={G}
算法的应用： 最后的连接
B
7
2
2
A
5
C
4
4
1
3
5
G
E
7 1
D
4
F
高速通信的成本最低。
公园光缆通信问题的路径系统
B 2
5 A
7 2
C
4
5
G
E
4 1
7
3
1
D
F
4
图中虚线表示可供选择的边
最佳的解决办法
B
2
2
A
C
5
G
E
1
3
1
D
F
由于任意两个节点之间均可以通信，这个图必须是连通图。 并且，这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去掉一条边， 剩下的图仍然满足条件,并且成本更小。
数据模型决策05网络优化
树图结构：最小支撑树问题
光缆通信连接问题 • 某公园决定铺设最先进的光纤网络，为它的主要景点之间
提供高速通信(数据，声音和录像)。 • 为了利用光纤技术在景点之间高速通信的优势，不需要在
每两个景点之间都用一条光缆把他们直接联系起来。 • 问题：确定需要铺设那些光缆使得提供给每个景点之间的
7 1
D
4
F
V={C，D} W={A，B，E，F，G}
从V中的节点连向W中节点的备选边中选择成本最小的一条边
算法的应用： 第二次连接
B
7
2
2
A
5
C
4
4
1
3
5
G
E
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D
4
F
V={B，C，D} W={A，E，F，G}
算法的应用： 第三次连接
B
7
2
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A
5
C
4
4
1
3
5
G
E
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D
4
V={A，B，C，D}
2. 通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动，通过弧的最大流 量取决于该弧的容量。
3. 网络中有足够的弧提供足够的容量，使得所有在供应点产 生的流都能够到达需求点。
4. 在流的单位成本已知的前提下，通过每一条弧的流的成本 与流量成正比（费用系数是确定的）。
5. 最小费用流问题的目标是在给定需求的条件下，使通过网 络供应的总成本最小。
$20 0 [5 0]
[- 60] W1
$40 0 [5 0]
W2 [- 90]
净流量=流出-流入
最小费用流的专有名词
1. 网络中的圆圈被称为节点。 2. 如果节点要求的净流量(流出减去流入) 是一个确定的正
数的话，这个点就是一个供应点。 3. 如果节点要求的净流量(流出减去流入) 是一个确定的负
还没有边连接的节点之间选择成本最低的备选边。 3. 重复第2个步骤，直到所有的节点都有一条边（可能会有
多于一条边）与其相连 . 此时，就得到了最优解(最小支 撑树) 其中第2步的目的是为了保证每次生成的树都是连接当前子 图的所有顶点的成本最小的树。
算法的应用： 首次连接
B
7
2
2
A
5
C
4
4
1
3
5
G
E
无限配送公司问题
• 无限配送公司有两家工厂生产产品,这些产品需要运到两 个仓库。
• 工厂1生产80个单位；工厂2生产70个单位。 • 仓库1需要60个单位；仓库2需要90个单位 。 • 工厂1和仓库1之间以及工厂2和仓库2之间各有一条铁路运
输轨道。 • 卡车司机总共可以从每家工厂运输50个单位到配送中心，
一个网络模型
[8 0] F1
$30 0 [5 0]
$40 0 [5 0] F2 [7 0]
$70 0 [0 ] DC
$90 0
$20 0 [5 0]
[- 60] W1
$40 0 [5 0]
W2 [- 90]
净流量=流出-流入
数学模型
设xF
1W
1
,
xF
1DC
,
xDCW
1
,
xF
2
DC
,
xDCW
2
,
xF
数的话，这个点就是一个需求点。 4. 若节点要求的净流量恒为0，这个点称为转运点。我们把
流出接点的量等于流入节点的量称为流量守恒。 5. 在网络里的箭头被称为弧。 6. 允许通过某一条弧的最大流量被称为该弧的容量。
最小费用流问题的假定
1. 至少有一个节点是供应点；至少有一个节点是需求点；所 有剩下的节点都是转运点。
连起来，则称该图为连通图。 • 连通并且不含圈的无向图称为树。
• 若树Ｄ中点的集合等于图Ｇ的点的集合，树Ｄ中边的集合是图 Ｇ的边的集合的子集，称树Ｄ为图Ｇ的支撑树。
• 在所有的支撑树中总成本最小的树称为最小支撑树。
最小支撑树问题的算法
1. 选择第一条边：选择成本最低的备选边（图中虚线）。 2. 选择下一条边：在一个已经有一条边连接的节点和另一个
V={A，B，C，D，E，F，G}
最小费用流问题
这里的流是一个广泛的概念，例如在交通运输网络中有 人流、车流、货物流、供水系统中有水流，金融系统中有现 金流，通信系统中有信息流，等等。
问题的提出：在一个关于流的网络中，每一个流量都 有一定的费用，流所走的路线不一样，单位费用不一样。同 样数量的流量，因为走的路线不一样，总的费用也不一样。 从而我们希望确定在给定网络流量的基础上，让流沿着怎样 的路线走，能使总的费用最小。
然后可以从配送中心运输50个单位到每个仓库 （任何运 输到配送中心的产品必须随后运送到仓库）。 • 问题：确定一个运输方案（即每条路线运送多少单位的产 品），使得运输成本达到最小。
网络模型
[8 0] F1
$30 0 [5 0]
$40 0 [5 0] F2 [7 0]
$70 0 [0 ] DC
$90 0
树、图的专有名词
• 图G定义为点和边的集合,记为G={V，E},其中，Ｖ是点的集合， Ｅ是边的集合。有向图区别于无向图的关键，在于它的边（此
时也称弧）是有方向的。 • 一个图连同定义在其边集上的实函数一起称为一个网络，我们
把定义在边集上的实函数称为边的权数。该网络记为
Ｎ＝{V，E，W}。 • 对于图G={V，E},如果任意两个节点间都可以由一条或几条边
最佳的解决办法
2W
为各个节点间运输量
2
min z 700xF1W 1 300xF1DC 200xDCW 1 400xF 2DC 400xDCW 2 900xF 2W 2
xF1W 1 xF1DC 80 xF1W 1 xDCW 1 60 xDCW 1 xDCW 2 xF1DC xF 2DC 0 s.t.xF 2DC xF 2W 2 70 xDCW 2 xF 2W 2 90 xF1DC , xDCW 1 , xF 2DC , xDCW 2 50
F
W={E，F，G}
算法的应用： 第四次连接
B
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2ห้องสมุดไป่ตู้
2
A
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C
4
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1
3
5
G
E
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D
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V={A，B，C，D，F}
F
W={E，G}
算法的应用： 第五次连接
B
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2
A
5
C
4
4
1
3
5
G
E
7 1
D
4
F
V={A，B，C，D，E，F} W={G}
算法的应用： 最后的连接
B
7
2
2
A
5
C
4
4
1
3
5
G
E
7 1
D
4
F
高速通信的成本最低。
公园光缆通信问题的路径系统
B 2
5 A
7 2
C
4
5
G
E
4 1
7
3
1
D
F
4
图中虚线表示可供选择的边
最佳的解决办法
B
2
2
A
C
5
G
E
1
3
1
D
F
由于任意两个节点之间均可以通信，这个图必须是连通图。 并且，这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去掉一条边， 剩下的图仍然满足条件,并且成本更小。
数据模型决策05网络优化
树图结构：最小支撑树问题
光缆通信连接问题 • 某公园决定铺设最先进的光纤网络，为它的主要景点之间
提供高速通信(数据，声音和录像)。 • 为了利用光纤技术在景点之间高速通信的优势，不需要在
每两个景点之间都用一条光缆把他们直接联系起来。 • 问题：确定需要铺设那些光缆使得提供给每个景点之间的
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D
4
F
V={C，D} W={A，B，E，F，G}
从V中的节点连向W中节点的备选边中选择成本最小的一条边
算法的应用： 第二次连接
B
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A
5
C
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G
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V={B，C，D} W={A，E，F，G}
算法的应用： 第三次连接
B
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A
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C
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V={A，B，C，D}
2. 通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动，通过弧的最大流 量取决于该弧的容量。
3. 网络中有足够的弧提供足够的容量，使得所有在供应点产 生的流都能够到达需求点。
4. 在流的单位成本已知的前提下，通过每一条弧的流的成本 与流量成正比（费用系数是确定的）。
5. 最小费用流问题的目标是在给定需求的条件下，使通过网 络供应的总成本最小。
$20 0 [5 0]
[- 60] W1
$40 0 [5 0]
W2 [- 90]
净流量=流出-流入
最小费用流的专有名词
1. 网络中的圆圈被称为节点。 2. 如果节点要求的净流量(流出减去流入) 是一个确定的正
数的话，这个点就是一个供应点。 3. 如果节点要求的净流量(流出减去流入) 是一个确定的负
还没有边连接的节点之间选择成本最低的备选边。 3. 重复第2个步骤，直到所有的节点都有一条边（可能会有
多于一条边）与其相连 . 此时，就得到了最优解(最小支 撑树) 其中第2步的目的是为了保证每次生成的树都是连接当前子 图的所有顶点的成本最小的树。
算法的应用： 首次连接
B
7
2
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A
5
C
4
4
1
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G
E
无限配送公司问题
• 无限配送公司有两家工厂生产产品,这些产品需要运到两 个仓库。
• 工厂1生产80个单位；工厂2生产70个单位。 • 仓库1需要60个单位；仓库2需要90个单位 。 • 工厂1和仓库1之间以及工厂2和仓库2之间各有一条铁路运
输轨道。 • 卡车司机总共可以从每家工厂运输50个单位到配送中心，
一个网络模型
[8 0] F1
$30 0 [5 0]
$40 0 [5 0] F2 [7 0]
$70 0 [0 ] DC
$90 0
$20 0 [5 0]
[- 60] W1
$40 0 [5 0]
W2 [- 90]
净流量=流出-流入
数学模型
设xF
1W
1
,
xF
1DC
,
xDCW
1
,
xF
2
DC
,
xDCW
2
,
xF
数的话，这个点就是一个需求点。 4. 若节点要求的净流量恒为0，这个点称为转运点。我们把
流出接点的量等于流入节点的量称为流量守恒。 5. 在网络里的箭头被称为弧。 6. 允许通过某一条弧的最大流量被称为该弧的容量。
最小费用流问题的假定
1. 至少有一个节点是供应点；至少有一个节点是需求点；所 有剩下的节点都是转运点。
连起来，则称该图为连通图。 • 连通并且不含圈的无向图称为树。
• 若树Ｄ中点的集合等于图Ｇ的点的集合，树Ｄ中边的集合是图 Ｇ的边的集合的子集，称树Ｄ为图Ｇ的支撑树。
• 在所有的支撑树中总成本最小的树称为最小支撑树。
最小支撑树问题的算法
1. 选择第一条边：选择成本最低的备选边（图中虚线）。 2. 选择下一条边：在一个已经有一条边连接的节点和另一个
V={A，B，C，D，E，F，G}
最小费用流问题
这里的流是一个广泛的概念，例如在交通运输网络中有 人流、车流、货物流、供水系统中有水流，金融系统中有现 金流，通信系统中有信息流，等等。
问题的提出：在一个关于流的网络中，每一个流量都 有一定的费用，流所走的路线不一样，单位费用不一样。同 样数量的流量，因为走的路线不一样，总的费用也不一样。 从而我们希望确定在给定网络流量的基础上，让流沿着怎样 的路线走，能使总的费用最小。
然后可以从配送中心运输50个单位到每个仓库 （任何运 输到配送中心的产品必须随后运送到仓库）。 • 问题：确定一个运输方案（即每条路线运送多少单位的产 品），使得运输成本达到最小。
网络模型
[8 0] F1
$30 0 [5 0]
$40 0 [5 0] F2 [7 0]
$70 0 [0 ] DC
$90 0
树、图的专有名词
• 图G定义为点和边的集合,记为G={V，E},其中，Ｖ是点的集合， Ｅ是边的集合。有向图区别于无向图的关键，在于它的边（此
时也称弧）是有方向的。 • 一个图连同定义在其边集上的实函数一起称为一个网络，我们
把定义在边集上的实函数称为边的权数。该网络记为
Ｎ＝{V，E，W}。 • 对于图G={V，E},如果任意两个节点间都可以由一条或几条边