第2章电磁场的基本规律第4讲.

在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电 荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍 然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡 并传播，这就是电磁波。
2.4.4 电磁场的边值关系
• 什么是电磁场的边界条件?
eGn
媒质1
• 实为际什电么磁要场研问题究都边是界在条一件定?的物理空 媒质2
间物内理发：生由的于，在该分空界间面中两可侧能介是质由的多特种性不参同
D = εE B = μH
GG
J = σE
代入麦克斯韦方程组
限定形式的麦
克斯韦方程
⎪⎧∇ ⎪ ⎪⎨∇ ⎪ ⎪∇ ⎪⎩∇
GG
× H = σE +
×
G E
= G
−
∂ ∂t
(
⋅ ( μHG ) = 0
⋅ (εE ) = ρ
∂ ∂t
(ε
G
μH )
G E
)
⎧ ⎪∇ ⎪ ⎪⎪⎨ ∇ ⎪
× ×
G H
G E G
G
=σE +ε
充的介电常数为ε 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。
解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为+ ρl 和 − ρl，
应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
∫K K
E ⋅ dS = Q / ε
S
G
E(ρ)
=
eGρ
ρl 2περ
ε
内外导体间的电位差
∫ ∫ U =
b a
G E
(
ρ
)
⋅
eGρ
dρ
其中
v∫ ∫ P
=
KK K − (E × H ) ⋅ dS −
S
∂w ∂t
=
K ∂B ∂t
⋅
K H
+
K E
⋅
KV ∂D ∂t
∂∂wt dV
S 是包围任意空间区域V 的闭合曲面。
V为全空间时：
P
=
−
d dt
∫
V
wdτ
电磁场能量
w 就是电磁场的能量密度。 的减少率
电磁场的能量密度
一般情况下：
∂w ∂t
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
坡印廷定理
−v∫ S
(E × H)
⋅
dS
=
dW dt
+
Pτ
单位时间穿过闭 合面s进入体积 的电磁场能量
坡印廷矢量
体积内单位时间 电场能量和磁场 能量的增加
K KK S = E×H
单位时间体积内 电磁场对电荷做 功的总功率
(W/m2 )
能流密度矢量（坡印廷矢量）：单位时间内穿过与能 量流动方向垂直的单位面积的能量，大小为电磁场中 某点的功率密度，方向为该点能量流动方向。
K B)
∂w ∂t
=
∂ ∂t
⎡ ⎢⎣
1 2
(
K H
⋅
K B
+
K E
⋅
DK )⎤⎥⎦
则电磁场的能量密度的表达式为：
w
=
1
K (H
⋅
K B
+
K E
⋅
K D)
2
电磁能量及守恒关系
∫ ∫ 磁电场场能能量量密密度度：：wwem==1212EGHG⋅
G D
G ⋅B
电磁能量密度：w
=
w e
+
w m
=
空间区域V中的电磁能量：W =
I U
同轴电缆
a
R
ε
b
解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和
磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表
面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯
定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和
磁场分别G为 E=
eGρ
U
ρ ln(b
a) ,
G H
=
eGφ
I
2πρ
(a < ρ < b)
媒•质组数如成学何数的：讨发。麦生论边克突边界斯变界条韦，件方条场就程件在是组?界不是面同微两媒分侧质方也的程发分组，其
界同面媒上质的分生形电界突式磁面解作变在场上是用麦。分矢电不。克麦界量磁确斯克面满场定韦斯两足的的方韦侧的基，程方失关本边组程去系属界的组意，性条积的义是。件分微，在起形分 必不定式解在的不同媒 须采质用的积分分界形面式上求仍解然边适界用条，件由。此可导出电磁
1 2
GG E⋅D wdV
+ =
1 2
G H⋅ (1
S
G B G E⋅
G D
∂w ∂t
+1
G H
V
G ⋅ B)dV
V
V2
2
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密
度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。
电磁能量守恒关系：
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
电磁场的能流密度
∂t
=
If
+
K ∂D
⋅
K dS
S ∂t
KK E ⋅ dl = −
K ∂B
⋅
K dS
C
S ∂t
KK
⎧ ⎪∇ ⎪ ⎪⎨∇ ⎪
× ×
G H
G E G
= =
G J −
G + ∂D
G ∂t ∂B ∂t
B ⋅ dS = 0
∫S
KK
D ⋅ dS =
∫ ∫ S
ρdV
v
=
Qf
⎪∇ ⎪ ⎩∇
⋅ ⋅
BG D
= =
0
ρ
各向同性线性媒质： GGK K
=
ρl 2πε
b 1 dρ aρ
ab
= ρl ln(b / a)
同轴线
2πε
故得同轴线单位长度的电容为
C 1
=
所以
K E
=
K eρ
U
ln(b / a)ρ
ρl
U
=
2πε
ln(b / a)
(F/m)
例2-5：同轴线的内导体半径为a 、外导体的 内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导 体间的电压为U ，导体中流过的电流为I 。在导体 为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率。
G
=
−μ
∂H ∂t
G ∂E ∂t
均匀媒质
⎪∇ ⎪ ⎪⎩ ∇
⋅ ⋅
H G E
=0
=ρ/
ε
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化 的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流 以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激 发源，相互激发。
时变电磁场的电场和磁场 不再相互独立，而是相互 关联，构成一个整体 — — 电磁场。电场和磁场 分别是电磁场的两个分量。
场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。
边界条件的一般表达式
⎧
∫ ∫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
∫ ∫ ⎨
⎪
∫⎪
⎪
∫ ∫ ⎪⎩
C C
G H
G E G
G ⋅ dl
G ⋅ dl
G
= =−
S
(
S
G J+
G ∂B ∂t
G ∂D ∂t )
G ⋅ dS
⋅
G dS
B ⋅dS = 0
SG G
⎧eG ⎪⎪⎨⎪⎪⎩eeeGGGnnnn
流入内外导体间的横截面A的功率为
∫ ∫ P = −
KK S ⋅ dA =
A
b a
UI
2πρ 2 ln(b /
源自文库
a)
2πρdρ
=
UI
作业：2.1(1), 2.2，2.5，2.9
下周一交
第二章 电磁场的基本规律 第四讲
赛北412-1 郎婷婷
langtingting@cjlu.edu.cn
主要内容
2.1 静电场 2.2 恒定电场 2.3 稳恒磁场 2.4 时变电磁场 2.5 电磁场的能量和能流
麦克斯韦方程组
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ K K H ⋅ dl =
C
K (J +
S
K ∂D
)
⋅
K dS
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
G S
=
GG E×H
= [eGρ
U
ρ ln(b
a)]× (eGφ
I
2πρ )
= eGz
UI
2πρ 2 ln(b
a)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流 动，即由电源流向负载，如图所示。
E H
S
I
U
H E
S
ZL
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
坡印廷矢量
描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量。
G GG 定义：S = Ε × H ( W/m2 )
G E
物理意义：
G
S 的方向 —— 电磁能量传
输的方向。
G
S 的大小 —— 通过垂直于能量
O
G
G
S
H
能流密度矢量
传输方向的单位面积的电磁功率。
例 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内外导体间填
K
=G∂∂Bt
⋅
K H+
G
线性各向同性介质满足：D = εE
EKG⋅ ∂∂DtK B=
G
μH
HEKK ⋅⋅∂∂∂∂DBtKtK
= =
EHKK⋅⋅∂∂((∂εμ∂tEKtH)K
)= =1
2
KK
1 2
∂(μ
K
H⋅ ∂tK
H
)
=
∂(ε
E⋅ ∂t
E
)
=
∂ ∂t
∂ ∂t
(1 2
(1
K H
⋅
2
KK E ⋅ D)
GG G
×
(
H G1
−
H G2
)
=
JS
× (GE1 −GE2 ) = 0
⋅ (BG1 − BG2 ) = 0
⋅ (D1 − D2 ) = ρS
D ⋅ dS = ρdV
S
eGn V
分界面上的电荷面密度
媒质1
媒质2
分界面上的电流面密度
2.5 电磁场的能量和能流
• 电磁场具有能量。
电磁场对电荷 做功的总功率