数学312《不等式的性质》(新人教A版必修5)精品PPT课件

推论1：移项法则 a>b ⇔a+c>b+c 性质4：相加法则 a>b， c>d ⇒ a+c>b+d 性质5：可乘性 a>b,且c>0 ⇒ac>bc
a>b，且c<0⇒ac<bc 性质6 ：相乘法则 a>b >0，且c>d>0⇒ac>bd
性质7：乘方法则 a>b>0 anbn (n N,n>1)
性质8：开方法则 a>b>0 ⇒ n an b(n N,n>1)
m5,n 8
33
所以9a－b= 5 3
(a－b)+
8 3
(4a－b)
由－4≤a－b≤－1，得
5≤5(ab)≤20
33
3
由－1≤4a－b≤5，得
a＞b，c＞0 ac＞bc；
(可乘性)
a＞b，c＜0 ac＜bc
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd
(正数同向不等式的可乘性) 证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc， 又因为c>d，b>0，所以bc>bd， 根据不等式的传递性得 ac>bd。
4 f( 1 ) 1 , 1 f( 2 ) 5
求: f (3) 的取值范围.
解：因为f(x)=ax2－c,
所以
f (1) a c
f
(2)
4a
c
解之得
a
c
1 [ f (2) f 3
1 f (2) 4
3
3
(1)] f (1)
所以f(3)=9a－c= 8 f (2) 5 f (1)
例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b，ab>0，求证：
1 a
1 b
；
证明：（1）因为ab>0，所以 1 0
ab
又因为a>b，所以 a 1 b 1
ab ab
即1 1
ba
因此 1 1
ab
（2）已知a>b， c<d，求证：a－c>b－d；
证明：（2）因为a>b，c<d， 所以a>b，－c>－d， 根据性质3的推论2，得 a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
a＞b，b＞c a＞c；
a＜b，b＜c a＜c（传递性）
证明：根据两个正数之和仍为正数，得
a bab 0 b c bc 0
(a－b)+(b－c)>0
a－c>0 a>c.
这个性质也可以表示为c<b，b<a，则c<a. 这个性质是不等式的传递性。
性质3：如果a>b，则a+c>b+c.
(n∈N+，n>1). 证明：用反证法，假定 n a ≤ n b ，即
wenku.baidu.comnanb 或na nb ，
根据性质7和根式性质，得a<b或 a=b，
这都与a>b矛盾，因此 n a n b
a＞这b个＞性0质是不等n 式a 的＞开方n b法(则n(。∈可开N*方) 性)
不等式的基本性质总结
性质1：对称性 a>b b<a 性质2：传递性 a>b，且b>c⇒ a>c 性质3：可加性 a>b ⇒ a+c>b+c
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：ac
b d
证明：（3）因为0<c<d，根据（1）的结
论得 1 1 0
cd
又因为a>b>0，所以 a 1 b 1
cd
即
a c
b d
例2. 已知a>b，不等式:（1）a2>b2；
（2） 1 1 ab
；（3） 1 1
ab a
成立的个数是（ A ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
a+b>c a>c－b.
性质4：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
a＞b，c＞d a+c＞b+d（同向可加性）
证明：因为a>b，所以a+c>b+c， 又因为c>d，所以b+c>b+d， 根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
性质5：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. （不等式的可乘性）
不等关系与不等式（2）
教学目标
• 1、掌握不等式的性质及其推论，并能证明 这些结论。
• 2、进一步巩固不等式性质定理，并能应用 性质解决有关问题。
• 教学重点： • 1、不等式的性质及证明。 • 2、不等式的性质及应用
知识回顾
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别 相乘，所得的不等式与原不等式同向。
性质7：如果a>b>0，则an>bn，(n∈N+，
n>1). 证明：因为
a b 0
a
b ......
0
n
个，
a b 0
根据性质6，得an>bn.
a＞b＞0 an＞bn(n∈N*) (可乘方性)
性质8：如果a>b>0，则，n a n b
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
新知探究
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.
a＞b b＜a（对称性）
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
a＞b a+c＞b+c（可加性）
证明：因为a>b，所以a－b>0， 因此(a+c)－(b+c)=a+c－b－c=a－b>0， 即 a+c>b+c.
性质3表明，不等式的两边都加上同一 个实数，所得的不等式与原不等式同向.
由性质3可以得出 a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
推论1：不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 （移项法则）
3
3
因为 4 f( 1 ) 1 , 1 f( 2 ) 5
所以 8≤8 f(2)≤40
33
3
5≤5 f(1)≤20
33
3
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
练习1.已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5， 求9a－b的取值范围。
解（待定系数法）
设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)
=(m+4n)a－(m+n)b， 令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，
例3．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A， B的大小关系是 A≥B 。
例4．（1）如果30<x<36，2<y<6，求x－
2y及 x 的取值范围。
y
18<x－2y<32，
5 x 18 y
例5．若 ≤≤，求
2
2
,
22
的取值范围。
,≤ 0
2 2 22 2
例6 已知:函数 f(x)a2xc,