全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件理北师大版

C.xcos x
D.－xcos x
解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝
－xsin x.
答案 B
3.(教材改编)曲线
y＝sinx
x在
π x＝ 2 处的切线方程为(
)
A.y＝0
B.y＝π2
C.y＝－π4 2 x＋π4
D.y＝π4 2 x
解析
∵y′＝xcos
x－sin x2
x，∴y′|x＝π2＝－π4 2，当
π x＝ 2 时，y
＝π2 ，∴切线方程为 y－π2 ＝－π42x－π2 ，即 y＝－π42x＋π4 .
答案 C
4.(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导 函数，则f′(0)的值为________. 解析 因为f(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3. 答案 3
(2)几何 意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在 曲线 y＝f(x)上点__(_x_0，__f_(_x_0)_)_处的_切__线__的__斜__率__.相应地，切线方 程为_____y_－__y0_＝__f_′(_x_0)_(_x_－__x_0)______. 2.函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝__e_x_
f′(x)＝_a_xl_n__a
1 f′(x)＝___x___
1 f′(x)＝__x_l_n_a___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝____f′_(x_)_±__g_′(_x_)__；
(2)[f(x)·g(x)]′＝_____f′_(_x)_g_(_x_)＋__f_(_x)_g_′_(x_)___； (3)gf（（xx））′＝__f′__（__x_）__g_（_[_gx_（）__x－_）_f_（]_2 _x_）__g_′（__x_）__ (g(x)≠0).
知识梳理 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：当 x1 趋于 x0，即Δx 趋于 0 时，如果平均变化率趋于 一个固定的值，那么这个值就是函数 y＝f(x)在 x0 点的瞬时变化 率.在数学中，称瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常 用符号 f′(x0)表示，记作 _f_′__(_x_0)_＝__xl1_imx_0 f_（__x_1）_x_1－－__xf_（0__x_0）__＝___lxim_ f_（__x_0_＋__Δ__Δx_）_x_－__f（__x_0_）__.___.
规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减 少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较 为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式， 再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导.
f(x)＝xα(α是实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝__α_x_α－__1__ f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x_
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0, a≠1)
f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
5.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数 间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与 ____u_对__x__的导数的乘积.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x)′＝x·2x－1.( ) (4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.( )
第1讲 导数的概念及运算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观 理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常 数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数；4.能利用基本 初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b)的复合函数)的 导数.
解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·1x＝exln x＋1x. (2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23. (3)∵y＝x－12sin x，∴y′＝1－12cos x. (4)∵y＝ln 1＋2x＝12ln(1＋2x)， ∴y′＝12·1＋12x·(1＋2x)′＝1＋12x.
5.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方 程为y＝2x，则a＝________.
解析 y′＝a－x＋1 1，由题意得 y′|x＝0＝2，即 a－1＝2，所 以 a＝3.
答案 3
考点一 导数的运算 【例 1】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin2xcos2x；(4)y＝ln 1＋2x.
如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数 f（x＋Δx）－f（x）
值记为 f′(x)：f′(x)＝_________Δ__x_________，则 f′(x)是关于 x 的
函数，称 f′(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数.
3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝c(c为常数)
解析 (1)f′(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0))′是常数f(x0)的 导数即(f(x0))′＝0；(3)(2x)′＝2xln 2； (4)(e2x)′＝2e2x. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.函数y＝xcos x－sin x的导数为( )
A.xsin x
B.－xsin x