高斯坐标正反算

正形投影的一般条件基本出发点：在正形投影中，长度比与方向无关。

1、长度比的通用公式如图4-42，在微分直角三角形P1P2P3及P1′P2′P3′中有：其中l=L-L0，L0通常是中央子午线的经度，L是P点的经度令：()()222222d=d cos dd=d dS M B N B ls x y++(1)m平方可为：()()()22222222222d d d d dd d cos d dcos dcoss x y x ymS M B N B l M BN B lN B++⎛⎫===⎪⎡⎤⎝⎭+⎛⎫+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(2)为简化公式，令：ddcosM BqN B=dc o sB M BqN B=⎰(3) q称为等量纬度，因为它只与纬度B有关。

这样，式(2)可表示为：()()222222d dd dx ymr q l+=⎡⎤+⎣⎦(4)我们投影的目的是：建立平面坐标xy和大地坐标BL之间的函数关系，由式(3)可知，即建立xy和bl的函数关系。

令()(),,x x l q y y l q==(5) 对上式进行全微分可得：d d dd d dx xx q lq ly yy q lq l∂∂⎧=+⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩(6)将上式代入式(1)中第二项，并令：2222x yEq qx x y yFq l q lx yGl l⎧⎛⎫⎛⎫∂∂=+⎪ ⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎝⎭⎪∂∂∂∂⎪=+⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂⎛⎫⎛⎫⎪=+⎪ ⎪∂∂⎪⎝⎭⎝⎭⎩(7)可得： ()()()()222d d 2d d d s E q F q l G l =++ (8) 则式(4)可写为： ()()()()()()222222d 2d d d d d E q F q l G l m r q l ++=⎡⎤+⎣⎦ (9)2 柯西-黎曼条件在上式引入方向，如图4-42所示：2313d d cot d d P P M B q A PP r l l === (10) 即： d tan d l A q = (11)将式(11)代入式(9)可得：注意sec 1cos A A =()()()()()222222222222222d 2tan d tan d d tan d 2tan tan sec cos 2sin cos sin E q F A q G A q m r q A q E F A G A r AE AF A AG A r ++=⎡⎤+⎣⎦++=++=(12)要想让m 和A 无关，必须使F=0，E=G ，即22220x x y y q l q l x y x y q q l l ∂∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎪+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ (13) 由上式第一式可得：y y x q l x lq∂∂∂∂∂=-∂∂∂(14)代入第二式可得： 222222y x y y x lq q q q x q ∂⎛⎫⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎝⎭+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎣⎦⎪∂⎝⎭(15) 消去公共项可得： 22x y q l ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (16)开方并代入式(13)的第一项：x y q l x y lq ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ (17)高斯投影坐标正算高斯投影三条件：L0为直线；L0长度不变；正形投影 1、幂级数展开公式（x 偶y 奇）l /ρ微小量(ρ''=206265)，可进行级数展开，可得：2402435135x m m l m l y m l m l m l ⎧=+++⎪⎨=+++⎪⎩(18) 式中mi 为待定系数，是q 、B 的函数。

由第3个条件，分别对上式求偏导，可得：x yq l x y lq ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ (19) 2424024135333124d d d 35d d d d d 24d d m m m m m l m l l l q q q m m m l m l l l q q ⎧+++=+++⎪⎪⎨⎪++=---⎪⎩(20) 为使上式两边相等，必有l 的同次幂的系数相等，即：011223d d d 12d d 13d m m q m m q m m q ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ (21) 由高斯投影的第二个条件可知，位于L0上的点投影后的纵轴坐标应该等于投影前从赤道至改点的子午线弧长，即在式(18)中，当l =0时，有：0x m X == (22)顾及子午线弧长微分公式d d X M B =（P108 4-53）及式d d cos M Bq N B =，可得： 00d d d d cos cos d d d d m m B X N BN B q B q B M=⋅=⋅= (23) 于是有：1cos cos cm N B B V==(24) 其次求1d d m q，类似的有：1122222d cos d d d d d d d d d d cos d cos sin d d d 2cos sin d 11cos tanB d d c B m m B B V q B q B q c B c V c V B B B V B Ve B B V e B tBBV Vη⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭=--'-'===-=- (25)于是有：()()1223223222323d cos d d d d d cos 1cos sin cos sin cos sin cos sin 1cos sin cos c B m B V q B qc B c c V B t B c V V V V c c t B B V B V V c B V V B V c c B V B B BV V ηηη⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅⎛⎫⎪⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦(26) 于是：12d 11sin cos sin cos 2d 22m c N m B B B B q V ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭(27) 类似可求m 3、m 4等关键是求X （P115 4-101）P111高斯投影坐标反算高斯投影三条件：x 投影为中央子午线；x 轴上投影长度不变；正形投影 1、幂级数展开公式（x 偶y 奇） y /R 微小量，可进行级数展开，可得：2402435135B n n y n y l n y n y n y ⎧=+++⎪⎨=+++⎪⎩(28) 式中n i 为待定系数，是纵坐标x 的函数。

反算必满足柯西-黎曼条件：q lx y l q xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ (29) 注意到：d cos MdBq N B=，故上式可改写为：cos cos B N B l x M y B N B dl yM x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂⎪=-⎪∂∂⎩ (30) 分别对式(28)求偏导，可得：()242402413533535124d d d cos 35d d d d d d cos 24d d d n n n N B y y n n y n y xx x M n n n N B n y n y y y y M x x x ⎧+++=+++⎪⎪⎨⎛⎫⎪++=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎩(31) 类似的，要使等式成立，必有：11223d cos d 1cos 23cos n M n N B x dn N B n M dx dn Mn N B dx ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪⎩(32)确定上式各系数，关键是确定n0。

由高斯投影的第二个条件可知，当y=0，x=X ，此时对应的F 点成为底点，对应的纬度称为底点纬度。

用f B 表示。

且有：0f B n B == (33)式(32)中所有系数可以看成是底点纬度f B 的函数。

因此，用X 代替x ，则各阶导数值应冠以下标f ，以标明是用底点纬度f B 计算的导数值。

因此可得：0d d d d fB n x X= (34) 顾及d d f f X M B =，可得：d 1d f fB XM =(35) 因此：1d cos d 1cos 1cos f f f ff f f ff fM B n N B XM N B M N B =⋅=⋅=(36) 类似的可计算n2，n3，。

注意：()()d d d d d d fffff B f B BXB X=⋅ (37)关键是求f B P115。