分解因式及在实数范围内分解因式

因式分解的常用方法

一、提公因式法.

二、运用公式法.

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式 （二）分组后能直接运用公式

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

（三）二次项系数为1的齐次多项式

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

五、换元法。

六、添项、拆项、配方法。

七、待定系数法。

八、在实数范围内分解因式

因式分解巩固提高

一．填空题

1．如果二次三项式x 2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为（只填写一个你认为正确的答案即可） _________ ．

2．把x 2+kx+16分解成两个一次二项式的积的形式，k 可以取的整数是 _________ ．（写出符合要求的三个整数）．

3．分解因式：（x+2）（x+4）+x 2﹣4= _________ ．

4．因式分解（x+1）4+（x+3）4﹣272= _________ ．

5．分解因式：（1﹣7t ﹣7t 2﹣3t 3）（1﹣2t ﹣2t 2﹣t 3）﹣（t+1）6= _________ ．

6．分解因式：18ax 2﹣21axy+5ay 2= _________ ．

7．若对于一切实数x ，等式x 2﹣px+q=（x+1）（x ﹣2）均成立，则p 2﹣4q 的值是 _________ ．

8．在实数范围内分解因式：2x 2﹣8x+5=2（x ﹣）（x ﹣）．此结论是： __ 的．

二．解答题

9．分解因式

（1）8a 3b 2﹣12ab 3c （2）﹣3ma 3+6ma 2﹣12ma

（3）2（x ﹣y ）2﹣x （x ﹣y ） （4）3ax 2﹣6axy+3ay 2 （5）p 2﹣5p ﹣36

（6）x 5﹣x 3 （7）（x ﹣1）（x ﹣2）﹣6 （8）a 2﹣2ab+b 2﹣c 2

10．已知x 2﹣7xy+12y 2=0（y≠0），求x ：y 的值．

11．（1）因式分解 （2x+y ）2﹣（x+2y ）2 （2）在实数范围内分解因式x 4﹣9．

12．把a 4﹣6a 2+9在实数范围内分解因式．

13．把多项式9mx 4﹣6mx 2+m 在实数范围内因式分解．

14．已知x 2﹣x ﹣1=0，求﹣x 3+2x 2+2007的值．

15．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a≠b，c≠d．若四个关系式：a 2+ac=4，b 2+bc=4，c 2+ac=8，

d 2+ad=8同时成立，试求a ，c 的值．

16．已知整数a ，b 满足6ab=9a ﹣10b+16，求a+b 的值．

17．试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除．

18．计算：．

19．计算：．

20．已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．

21．证明：58﹣1能被20至30之间的两个整数整除．

22．用因式分解进行计算

（1）（2）×+×25+×．

三．选择题

23．对二次三项式4x2﹣6xy﹣3y2分解因式正确的是（）

A． B． C．

D．

24．将4x2﹣4x﹣1在实数范围内分解因式，下列结果正确的是（）

A． B．

C． D．

25．把4x4﹣9在实数范围内分解因式，结果正确的是（）

A．（2x2+3）（2x2﹣3） B．

C．D．

26．已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值是（）

A．2 B．3 C．4 D．6

27．如果x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）

A．6 B．8 C．﹣6 D．﹣8

28．如果x2+3x﹣3=0，则代数式x3+3x2﹣3x+3的值为（）

A．0 B．﹣3 C．3 D．

29．△ABC的三边满足a2﹣2bc=c2﹣2ab，则△ABC是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形

30．已知，那么多项式x3﹣x2﹣7x+5的值是（）

A．11 B．9 C．7 D．5

因式分解答案

1．答案不唯一．

2．k的值是±17，±10，±8．

3．解：（x十2）（x+4）十x2﹣4=x2十6x+8十x2﹣4=2x2+6x+4=2（x2+3x+2）=2（x+2）（x+1）．4．解：令x+2=t，∴原式=（t﹣1）4+（t+1）4﹣272=2（t4+6t2﹣135）=2（t2+15）（t2﹣9）=2（t2+15）（t+3）（t﹣3）

将x+2=t代入：原式=2[（x+2）2+15]（x+2+3）（x+2﹣3）=2（x2+4x+19）（x+5）（x﹣1）．5．解：设（t+1）3=x，y=t2+t+2，则

原式=[（2t2+t+2）﹣3（1+3t+3t2+t3）]﹣[（t2+t+2）﹣（1+3t+3t2+t3）]﹣[（t+1）3]2=（2y ﹣3x）（y﹣x）﹣x2=2x2﹣5xy+2y2=（2x﹣y）（x﹣2y）=[2（t3+3t2+3t+1）﹣

（t2+t+2）][（t3+3t2+3t+1）﹣2（t2+t+2）]=（2t3+5t2+5t）（t3+t2+t﹣3）=t（2t2+5t+5）（t﹣1）（2t2+2t+3）．

6．解：18ax2﹣21axy+5ay2=a（18x2﹣21xy+5y2）=a（3x﹣y）（6x﹣5y）．

7．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q=（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是9 ．8．解：∵2x2﹣8x+5=0，∴x1=，x2=，∴2x2﹣8x+5=2（x﹣）（x﹣），