华师版九年级下册数学解题技巧专题：解决抛物线中与系数a,b,c有关的问题

解题技巧专题：解决抛物线中与系数a ，b ，c 有关的问题

◆类型一 由某一函数的图象确定其他函数图象的位置

1．(2017·茂县一模)如图所示为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y ＝ax ＋b 的图象不经过( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

第1题图 第2题图

2．已知一次函数y ＝－kx ＋k 的图象如图所示，则二次函数y ＝－kx 2－2x ＋k 的图象大致是(

)

3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则反比例函数y ＝－a x

与一次函数y ＝bx －c 在同一坐标系内的图象大致是( )

第3题图 第4题图

4．如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是(

)

◆类型二 由抛物线确定代数式的符号或未知数的值【方法6】

5．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )

A ．abc ＜0，b 2－4ac ＞0

B ．abc ＞0，b 2－4ac ＞0

C ．abc ＜0，b 2－4ac ＜0

D ．abc ＞0，b 2－4ac ＜0

第5题图 第6题图

6．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且∠OBC ＝45°，则下列各式成立的是( )

A ．b －c －1＝0

B ．b ＋c －1＝0

C ．b －c ＋1＝0

D ．b ＋c ＋1＝0

7．(2017·广安中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为B (－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b 2－4ac ＝0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a －b ＝0；④c －a ＝3.其中正确的结论有(

)

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

8．(2017·烟台中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1，下列结论：①ab ＜0；②b 2＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( )

A ．①④

B ．②④

C ．①②③

D ．①②③④

第8题图 第9题图

9．★(2016·内江中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |，则P ，Q 的大小关系是____________.

10．(2016·南充中考)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上且经过点(1，1)，双曲线y ＝12x

经过点(a ，bc )，给出下列结论：①bc ＞0；②b ＋c ＞0；③b ，c 是关于x 的一元二次方程x 2

＋(a －1)x ＋12a

＝0的两个实数根；④a －b －c ≥3.其中正确结论是________(填写序号)．

参考答案与解析

1．D 2.B 3.C

4．A 解析：∵一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，∴方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个不相等的根，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 与x 轴有两个交

点．∵－b 2a ＞0，a ＞0，∴－b －12a ＝－b 2a ＋12a

＞0，∴函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象的对称轴直线x ＝－b －12a

＞0.故选A. 5．B 6.D 7.B 8.C

9．P ＞Q

思路点拨：由函数图象可以得出a ＜0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＋c ＞0，a －b ＋c ＜0，2a ＋b ＝0，然后通过适当变形，确定绝对值中的代数式的符号，然后去绝对值．通过作差法，用含b 或a 的代数式表示出P －Q 的结果，最后判断结果的正负，即可知P 与Q 的大小关系．

解析：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0.∵－b 2a ＞0，∴b ＞0，∴2a －b ＜0.∵－b 2a

＝1，∴b ＋2a ＝0，a ＝－12b .当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴－12

b －b ＋

c ＜0，∴3b －2c ＞0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴3b ＋2c ＞0，∴P ＝3b －2c ，Q ＝b －2a －3b －2c ＝－2a －2b －2c ，∴Q －P ＝－2a －2b －2c －3b ＋2c ＝－2a －5b ＝－4b ＜0，∴P ＞Q .

10．①③④

思路点拨：根据题意可知a ＞0，a ＋b ＋c ＝1，bc ＝12a

，然后对各选项进行判断． 解析：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上且经过点(1，1)，双曲线y ＝12x

经过点(a ，bc )，∴a ＞0，a ＋b ＋c ＝1，bc ＝12a ，∴bc ＞0，∴①正确；∵x 2＋(a －1)x ＋12a

＝0可以转化为x 2－(b ＋c )x ＋bc ＝0，解得x ＝b 或x ＝c ，∴③正确；∵b ，c 是关于x 的一元二次方程x 2＋(a

－1)x ＋12a ＝0的两个实数根，∴Δ＝(a －1)2－4×1×12a

≥0，化简得(a －2)(a 2＋1)≥0.∵a 2＋1≥1，∴a －2≥0，∴a ≥2，即2a －1≥3，∴④正确；∵a ≥2且a ＋b ＋c ＝1，∴b ＋c ＜0，∴②错误．综上所述，正确的结论有①③④.