高考数学一轮复习必备：第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线的应用(1)

（a＞b＞0）的顶点 B（0，﹣b）引弦 BP，求 BP 长的最大值．
15．过点 M（0，4）且斜率为﹣1 的直线 l 交抛物线 y2＝2px（p＞0）于 A，B 两点，若 AO ⊥BO，求抛物线方程．
16．已知椭圆的两个焦点分别是
，离心率
．
（1）求椭圆的方程； （2）一条不与坐标轴平行的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M，N，且线段 MN 中点的横 坐标为 ，求直线 l 的倾斜角的范围．
2．当点 P 逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于 180°∴所以直线 PF 的斜率 k
＜0
综合得 k＜0 或 k＞1
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故选：B． 3．（5 分）AB 为过椭圆
（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则
△ABF 面积的最大值是（ ）
A．bc
B．ac
C．ab
D．b2
D．b2
有四个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2
B．
C．﹣2＜m＜﹣1 D．
二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
5．（4 分）椭圆中 a，c 是关于 x 的方程 x2﹣2ax+3ac＝0 中的参数，已知该方程无解，则其
离心率的取值范围为
．
6．（4 分）已知 P（x，y）是椭圆
A．48
B．32
【解答】解：依题意可知 a2＝4，b2＝12
所以 c2＝16
C．16
D．24
F1F2＝2c＝8
令 PF1＝p，PF2＝q 由双曲线定义：|p﹣q|＝2a＝4 平方得：p2﹣2pq+q2＝16
∠F1PF2＝90°，由勾股定理得： p2+q2＝|F1F2|2＝64 所以 pq＝24
即|PF1|•|PF2|＝24 故选：D． 2．（5 分）双曲线 x2﹣y2＝1 的左焦点为 F，P 为双曲线在第三象限内的任一点，则直线 PF
（a＞b＞0）上的动点，F1，F2 是焦点，则|PF1|
•|PF2|的取值范围是
．
7．（4 分）抛物线 y2＝4x 上的点 P 到直线 l：y＝x+10 的距离最小，则点 P 坐标是
．
8．（4 分）椭圆
的短轴为 B1B2，点 M 是椭圆上除 B1，B2 外的任意一点，直线
MB1，MB2 在 x 轴上的截距分别为 x1，x2，则 x1•x2＝
高考数学一轮复习必备：第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线的应用 （1）
一、选择题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
1．（5 分）点 P 是双曲线
上的一点，F1、F2 分别是双曲线的左、右两焦点，∠
F1PF2＝90°，则|PF1|•|PF2|等于（ ）
A．48
B．32
C．16
D．24
2．（5 分）双曲线 x2﹣y2＝1 的左焦点为 F，P 为双曲线在第三象限内的任一点，则直线 PF
的最小值． 12．已知椭圆的焦点 F1（﹣3，0）、F2（3，0），且与直线 x﹣y+9＝0 有公共点，求其中长
轴最短的椭圆方程． 13．直线 y＝kx+1 与双曲线 x2﹣y2＝1 的左支交于 A，B 两点，直线 l 经过点（﹣2，0）及
AB 中点，求直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围．
14．由椭圆
【解答】解：△ABF 面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，
设 A 到 x 轴的距离为 h，由 AB 为过椭圆中心的弦，则 B 到 x 轴的距离也为 h，
∴△AOF 和△BOF 的面积相等，故：△ABF 面积等于 ×c×2h＝ch，又 h 的最大值为
b， ∴△ABF 面积的最大值是 bc， 故选：A． 4．（5 分）若抛物线 y＝x2+m 与椭圆
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∵a＞0，c＞0∴不等式两边同除以 4ac 得，
即
0，解得 e＞
又 e＜1 ∴e 的范围是（ ，1）
故答案为：（ ，1）
6．（4 分）已知 P（x，y）是椭圆
（a＞b＞0）上的动点，F1，F2 是焦点，则|PF1|
•|PF2|的取值范围是 [b2，a2] ． 【解答】解：由题意可知|PF1|+|PF2|＝2a ∴|PF2|＝2a﹣|PF1|（a﹣c≤|PF1|≤a+c） ∴|PF1|•|PF2|＝|PF1|（2a﹣|PF1|）＝﹣|PF1|2+2a|PF1|＝﹣（|PF1|﹣a）2+a2 ∵a﹣c≤|PF1|≤a+c ∴|PF1|•|PF2|＝﹣（|PF1|﹣a）2+a2∈[b2，a2] 故答案为：[b2，a2] 7．（4 分）抛物线 y2＝4x 上的点 P 到直线 l：y＝x+10 的距离最小，则点 P 坐标是 （1，2） ． 【解答】解：设直线 y＝x+t 是抛物线的切线，最小距离是两直线之间的距离， 代入化简得 x2+（2t﹣4）x+t2＝0 由△＝0 得 t＝1 代入方程得 x＝1，y＝1+1＝2 ∴P 为（1，2） 故答案为（1，2）
的斜率的取值范围是（ ）
A．k≤0 或 k＞1 B．k＜0 或 k＞1
C．k≤﹣1 或 k≥1 D．k＜﹣1 或 k＞1
【解答】解：依题意可知双曲线的渐近线倾斜角为 45°，
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1．当点 P 向双曲线右下方无限移动时，直线 PF 逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所
以倾斜角大于 45°，∴直线 PF 的斜率 k＞1
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高考数学一轮复习必备：第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线的应用 （1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
1．（5 分）点 P 是双曲线
上的一点，F1、F2 分别是双曲线的左、右两焦点，∠
F1PF2＝90°，则|PF1|•|PF2|等于（ ）
有四个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2
B．
C．﹣2＜m＜﹣1 D．
【解答】解：联立
，得
，
∵抛物线 y＝x2+m 与椭圆
有四个不同的交点，
∴
，
解得﹣ ＜m＜﹣1． 故选：D． 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 5．（4 分）椭圆中 a，c 是关于 x 的方程 x2﹣2ax+3ac＝0 中的参数，已知该方程无解，则其 离心率的取值范围为 （ ，1） ． 【解答】解：△＝4a2﹣12ac＜0，
的斜率的取值范围是（ ）
A．k≤0 或 k＞1 B．k＜0 或 k＞1
C．k≤﹣1 或 k≥1 D．k＜﹣1 或 k＞1
3．（5 分）AB 为过椭圆
（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则
△ABF 面积的最大值是（ ）
A．bc
B．ac
4．（5 分）若抛物线 y＝x2+m 与椭圆
C．ab
．
9．（4 分）已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为 8，则长半轴长的最小值是
．
10．（4 分）已知 a，b，c 分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程 ax2+bx+c＝0
无实数根，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是
．
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三、解答题（共 6 小题，满分 0 分） 11．过抛物线 y2＝4ax（a＞0）的焦点 F，作相互垂直的两条焦点弦 AB 和 CD，求|AB|+|CD|