双绝对值最值嵌套问题(每日一题)
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试题出处:2019学年第二学期浙江“七彩阳光”联盟阶段性评估(高三)
2020年5月20日每日一题 编辑:浙江杭州李矗 审校:安徽宣城李江鸿
双绝对值最值嵌套问题
已知,,a b R ∈设函数()tan sin cos ,0,4f x x a x x b x π⎡⎤=+++∈⎢⎥⎣⎦
上的最大值为(),,M a b 则(),M a b 的最小值为 . 答案:
34
解法一:数形结合
考虑()1tan ,0,4f x x a x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,其最大值的最小值为()1101422
f f π⎛⎫- ⎪⎝⎭= 考虑()2sin 2,0,24x f x b x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,其最大值的最小值为()2201424f f π⎛⎫- ⎪⎝⎭= 两者都在0x =或4
π时取到,所以()()()12f x f x f x =+的最大值的最小值为34.
解题教师:湖南长沙李昌达
解法二:绝对值不等式
因为()tan sin cos f x x a x x b =+++,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,
0πx 令tan ,t x =则()[]2t ,0,11t g t a b t t =++
+∈+ 因为2,1
t y t y t ==+在[]1,0∈t 上单调递增,
所以()(),0M a b g a b ≥=+且()1,142M a b g a b π⎛⎫≥=+++ ⎪⎝⎭
, 所以()()1132,011,4222M a b g g a b a b π⎛⎫≥+=+++++≥+= ⎪⎝⎭
即()3,.4M a b ≥当且仅当[]11,0,,02a b ⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎣⎦
时,取到等号. 解题教师:福建省漳州市吴献 上海静安邱敏 山东青岛仇鹏程
解法三 曼哈顿距离
将()tan sin cos f x x a x x b =+++转化为x a y b +++的形式利用曼哈顿距离解题
令tan ,t x =则()[]2t ,0,11t g t a b t t =++
+∈+, 寻找将[]2,t 0,11
t y t =∈+包裹住的最小正方形. 3:,CD :y .2AD y x x ==-+所以正方形中心为()3,,04a b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
,即()3,.4M a b ≥
解题教师:安徽阜阳梁浩 浙江宁波陈红冲
解法四:纵向距离
因为()tan sin cos f x x a x x b =+++,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈4,0πx , 所以(){}max max tan sin cos ,tan sin cos f x x x x a b x x x a b =+++-+-
令()tan sin cos g x x x x =+,设tan ,t x =则2sin cos 1
t x x t =+
即()21
t g t t t =++, 因为()()2
221101t g t t -'=+>+,所以()()()()103tan sin cos 24g g x x x a b g t a b -+++=---≥=,当0t =或1即0x =或4
π时,取到等号. 同理可得1tan sin cos 4x x x a b -+-≥
所以()3,.4
M a b ≥ 解题教师:浙江杭州李矗
评论与赏析:
本题是一道关于双绝对值的最值嵌套问题,考查学生处理函数图像,不等式,绝对值等的综合能力,对学生的要求较高,常以选填压轴题的形式出现。解法一为此题的特殊解法,利用本题中所含的两个函数取到最值的端点一致解得,解法二三四为此类问题的通法,解法二利用了绝对值的定义及性质,解法二,利用了x a y b L +++=表示正方形(L 为正方形对角线的一半),从而此题转化为能够包裹住函数的最小正方形的半径。解法四首先利用绝对值的性质将两个绝对值的和转化为两个式子和或差的绝对值,再利用纵向距离求最大值的最小值。
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