第二节 数列的极限课件

n n(111n,,11qq)n,,qq122,,1 ,,qq,nnn,, 1
1,
n
xn
N
1.
1
,
则当
不等证式明|
xn–0>| <0
|x
(设必定<成1)立，. 所以，取
0 | | qn1 0 | | q |n1 ,
N
1
1
,
则当
第二节 数列的极限
注意 关键是对任意给定的 ，要求出一个 N()，
第二节 数列的极限
2、数列极限定义 设 { xn } 为一数列，如果存在
常数a，对于任意 给定的正数 (不论多么小)，总存在
正整数 N ，当 n > N 时，恒有
| xn – a | <
则称常数 a 是数列 { xn } 的极限，或称数列 { xn } 收敛于 a，
记为 lim xn a , 或 xn a (n ), n
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
第二节 数列的极限
二维表示
例如：
设
xn
f (n)
n (1)n1 n
,
数列为整标函数
lim xn 1 >0, 正整数N,当n>N时,有| xn – 1 | < , n
即
1 - < xn < 1 + ,
所以，当n>N时，点(n , xn)都在直线 y = 1 - 与y = 1 +
(1)n
<(n1)1，)2
,只证要明
lim xn n
0.
证明
| xn 第 0二| 1n节(n(数11)列)n2 的 0极n限(n11,1)2
1. n 1
不等例例 式33>|设设0xn(||设–qq1|||<<<<111，，)必，证证定明只明成等等 要立比比.数数所列列以，取
lim 的的n >极极N限限时是是就00有..
lim证xn明 a n
如果N这1数，当列收n >敛N，1 时由，定有理| x1n它 a有|唯b 2一a 的极xn 限 a,2 b .
lim 设lim极x限n 为b n
a，即N2，n当
xnn
>Na 2.
时按，数有列|极xn 限b 的| b定2 a义，x对n 于a 2
b
.
取xn Na12=,bma和正x|{整xNxn数1a,aN|，2b1},，当矛则n盾当>，nN故>时假N，a设时有不，1 成同x立时.有a 1
第二节 数列的极限
一、引例 二、数列极限的定义 三、收敛数列的性质
第二节 数列的极限
一、引例
引例1 割圆术 求圆面积的近似值.
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
单击任观意察点完开毕始观察
第二节 数列的极限
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
之间. 见下图：
第二节 数列的极限
lim n (1)n1
xn f (n)
n
xn 1
n
=0.6
=0.4
=0.2
=0.1
=0.05
第二节 数列的极限
lim 例1 设
n (1)n1
xn
n
,
证明
xn 1.
n
证明
|
xn第1二| 节n
数(列1)的n1 极1限
n
1 n
.
例 2>设0 (设xn
么数列 { xn } 一定有界.
证明
因为数列
{
xn
}
收敛，设
lim n
xn
a
.
由定义，
对于 = 1， 正整数 N，当 n > N 时，不等式
第第二二节节 数数列列的的极极限限
定理3((收收敛敛数数列列的的保保号号性性)) 如如果果 limm xxnn aa ,, 且且 aa >> 00 nn
或 (a < 0)， 那么存在正整数 N，当 n > N 时，都有
一个序列
x1 , x2 , , xn ,
就叫做数列，记为{ xn }.
数列中每一个数叫做数列的项，第 n 项 xn 叫做数 列的一般项.
简述：按自然数依次排列的一列数称为数列.
第二节 数列的极限
例如：
1 , 2 ,, n ,, 2 3 n1
2 , 4 ,, 2n ,,
1 2
,
1 4
,,
1 2n
求N()的 方法是解不等式
| xn a | ,
n N ( ) .
如果不等式 | xn a | 不易解出，可先把 | xn a | 放大
成 g(n)， 然后再解不等式 g(n) < 得到 N() . 即
| xn a | g(n) ,
n N ( ) .
第二节 数列的极限
三、收敛第数二列节的数性列质的极限
定理1(极限的唯一性) 如果数列 { xn } 收敛，那那么么它它
的极限唯一.
证明 用反第证二法节. 假数设列同的时极有限limxn a , limxn b ,
n
n
且 例a <4b*，证证明取明数数列列b 2xan x.n (由1()n1)1n(1n(n1,21,,2,) 是) 是发发散散的的．．
第二节 数列的极限 数列有界和无界的定义 数列有界： n， M > 0，有 | xn | M .
数列无界： M(不论它多么大), n0 > 0, 有| x n0 | M .
第二节 数列的极限
定定理理22((收收敛敛数数列列的的有有界界性性)) 如如果果数数列列 {{ xxnn }} 收收敛敛，，那那
否则称数列 { xn } 发散.
lim xn a >0, 正整数N,当n>N时,有| xn – a | < . n
第二节 数列的极限
lim xn a 的几何解释 n 一维表示 a 2 a x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,

xn > 0 (或 xn < 0) .
,,
一般项 一般项 一般项
xn
n n 1
,
xn 2n ,
xn
1 2n
,
1 , 1 , , (1)n1 , , 一般项 xn (1)n1 ,
2 , 1 , , n (1)n1 , , 一般项
2
n
xn
n
(1)n1 n
.
3, 3 3,, 3 3 3 ,
第二节 数列的极限
对于数列，要研究的问题是： 当 n 时，数列 { xn } 是否能无限接近于某个确 定的常数？ 如果能，如何求这个常数？
R
正6 2n1形的面积 An S
第二节 数列的极限
引例2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
Xn
1
1 2n
1
第二节 数列的极限
二、数列极限的定义
1、数列定义 按照某一法则，每个 n N+ ，对应
着一个实数 xn ，实数 xn 按照下标 n 从小到大排列得到