随机过程大作业
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程第二章作业及参考答案
第二章 平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。
随机过程作业和答案第三章
第三章 马尔科夫过程1、将一颗筛子扔多次。
记X n 为第n 次扔正面出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
又记Y n 为前n 次扔出正面出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。
解：1)由已知可得，每次扔筛子正面出现的点数与以前的状态无关。
故X(n)是马尔科夫链。
E={1,2,3,4,5,6} ,其一步转移概率为:P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为2)由已知可得，每前n 次扔正面出现点数的总和是相互独立的。
即每次n 次扔正面出现点数的总和与以前状态无关，故Y(n)为马尔科夫链。
其一步转移概率为其中2、一个质点在直线上做随机游动，一步向右的概率为p , (0<p<1)，一步向左的概率为 q , q =1-p 。
在x = 0 和x = a 出放置吸收壁。
记X(n)为第n 步质点的位置，它的可能值是0,1,2,···,a 。
试写出一步转移概率矩阵。
解：由已知可得, 其一步转移概率如下：故一步转移概率为3、做一系列独立的贝努里试验，其中每一次出现“成功”的概率为p ( 0<p<1 ) ,出现“失败”的概率为q , q = 1-p 。
如果第n 次试验出现“失败”认为 X(n) 取得数值为零；如果第n 次试验出现“成功”，且接连着前面k 次试验都出现“成功”，而第 n-k 次试验出现“失败”，认为X(n)取值k ，问{X(n) , n =1,2,···}是马尔科夫链吗？试写出其一步转移概率。
解：由已知得：故为马尔科夫链，其一步转移概率为616161616161616161616161616161616161P ={6,,2,1,6/1,,8,7,,0)1,(+++=<++==+i i i j i j i i i j ij n n P 或)1(6,,2,1;6,,2,1,+++=++=n n n j n n n n i {}α,,2,1,0 =E )(0,1;)0(0,1)1,1(0,,1,,2,1101,1,ααααα≠==≠==+-≠===-=-+j P P j P P i i j P q P P P x j j ij i i i i 而时，当 10000000000000001Pp q p q p q ={}{}m m m m m m i n X l n X i n X i n X i n X l n X P ==+=====+)(0)()(,,)(,)(0)(2211 {}{}mm m m m m in X k l n X i n X i n X i n X k l n X P ==+=====+)()()(,,)(,)()(22114、在一个罐子中放入50个红球和50个蓝球。
随机过程作业和答案第一二章
随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。
求X(t)的一维和二维分布。
解 先求一维分布。
当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。
这亦是随机过程X(t)的一维分布。
再求二维分布。
当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。
则其线性变换也服从正态分布。
且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。
P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。
X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
哈尔滨工程大学研究生课程：随机过程大作业答案
1．答：(1)前50个数为:0.9862 0.8479 0.0301 0.1746 0.91000.8853 0.5268 0.9537 0.8352 0.67650.4048 0.8074 0.7144 0.9701 0.62320.6271 0.3935 0.6465 0.1350 0.51220.3855 0.9617 0.4467 0.2510 0.00350.8479 0.0301 0.1746 0.9100 0.22690.5268 0.9537 0.8352 0.6765 0.97850.8074 0.7144 0.9701 0.6232 0.86130.3935 0.6465 0.1350 0.5122 0.01440.9617 0.4467 0.2510 0.0035 0.4858(2) 分布检验:(3)均值检验:0.5042(4) 方差检验：0.0832(5) 计算相关函数分布：p =199 178 207 193 211 193 206 216 191 206本题运用MATLAB进行编程,程序如下：for n=1:2000xt(n)=unifrnd(0,1); %产生2000个（0，1）均匀分布白序列endsubplot(2,1,1);plot(xt),title('2000个(0,1)均匀分布的白噪声');for i=1:5for j=1:10sc(j,i)=xt((i-1)*5+j);end;end;disp([sc]) %打印前50个数mx=mean(xt) %求平均数并输出dx=cov(xt) %求方差并输出subplot(2,1,2);p=hist(xt,10) %将产生的2000个随机数分为10组p=p/100; t=0.025:.1:.975; %求概率密度bar (t,p,1);title('0-1均匀分布的白噪声直方图');xlabel('x');ylabel('f(x)');[bx,i] = xcov(xt,10); %τ取-10到10Bx=bx/2000; %求自相关函数Bx(τ)figuresubplot(2,1,1);plot(i,Bx),title('自相关函数Bx分布图');xlabel('τ');ylabel('Bx(τ)');[tx,i] = xcorr(xt,10); %τ取-10到10Tx=tx/2000;subplot(2,1,2);plot(i, Tx),title('自相关函数Γx分布图');xlabel('τ');ylabel('Γx(τ)');2.答：(1)前50个数为:-0.4326 1.1909 -0.1867 0.1139 0.2944-1.6656 1.1892 0.7258 1.0668 -1.33620.1253 -0.0376 -0.5883 0.0593 0.71430.2877 0.3273 2.1832 -0.0956 1.6236-1.1465 0.1746 -0.1364 -0.8323 -0.69181.1909 -0.1867 0.1139 0.2944 0.85801.1892 0.7258 1.0668 -1.3362 1.2540-0.0376 -0.5883 0.0593 0.7143 -1.59370.3273 2.1832 -0.0956 1.6236 -1.44100.1746 -0.1364 -0.8323 -0.6918 0.5711(2) 分布检验: 如下图所示。
随机过程练习题[1]
![随机过程练习题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f990ed48c850ad02de804131.png)
S (t ) X (t ) Y (t )
是具有强度 的泊松过程． 6．设齐次马氏链的转移概率矩阵为
1 / 3 1 / 2 P 1/ 4 0
1/ 3 1/ 3 0 1/ 2 0 0 1/ 4 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2
(1) 此链有几个状态？ (2) 试画出转移概率图； （3）从第 2 个状态至少要几步才能转移到第 3 个状态？ 7．设齐次马氏链 { X n , n 1} 的状态空间为 S {0,1,2} ，一步转移概率矩阵为
1 / 2 1 / 2 0 P 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 3 / 4 1/ 4
初始分布 P ( X 0 i ) 1 / 3, i 0, 1, 2 ．试求： （1） P ( X 0 0, X 2 1) ； （2） P ( X 2 0) ． 8．设马氏链 { X n , n 1} 的状态空间为 S {1,2,3} ，一步转移概率矩阵为
试证此链不是遍历的． 10．设齐次马氏链 { X n , n 0} 的状态空间为 S {0,1,2} ，一步转移概率矩阵为
1 / 2 1 / 3 1 / 6 P 1 / 3 2 / 3 0 0 1/ 2 1/ 2
（画出转移概率图； （2）此链是否遍历？（3）若遍历，求其平稳分布．
随机过程练习题
1．设 Y (t ) Xt a, t T , X 为随机变量， a 为常数，且 E ( X ) 机过程 Y (t ), t T 的均值函数、协方差函数．
, D( X ) 2 ，试求随
2．设随机过程 X (t ) X 1 X 2 t , t R ， X 1 , X 2 为相互独立的随机变量，且都服从正态 分布 N (0, ) ．试求随机过程 X (t ) 的一维分布．
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程作业
0
1
0
平稳分布,且证明其唯一性.
第三章 平稳随机过程 第五次作业
9
学号
专业
姓名
作业号
3.2
设 U 是 随机变量 , 随机过程 X (t= ) U , −∞ < t < ∞ .(1) X (t ) 是严平稳过程吗 ? 为什么 ?(2) 如果
3.4
设 随 机 过 程 X (t )=U cos ωt + V sin ωt , −∞ < t < ∞ , 其 中 , U 与 V 相 互 独 立 , 且 都 服 从 正 态 分 布
1.20
设 { X n , n ≥ 1} 是参数为 p 的贝努利过程.试求协方差 Cov( X 2 − X 1 , X 3 − X 2 ) ,并由此证明 X n 不是独
立增量过程.
2 2 2 1.16 设复随机过程 Z = (t ) X (t ) + iY (t ) .试证 σ = σX (t ) + σ Y (t ) , RZ (t1 , t2 ) = [ RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 )] −i [ RXY (t1 , t2 ) − Z (t )
= EU µ = , DU σ 2 , 试证 X (t ) 的相关函数是常数.
N (0,1) .(1) X (t ) 是平稳过程吗?为什么?(2) X (t ) 是严平稳过程吗?为什么?
1.2
通过丢一颗骰子定义一个随机过程 { X (t ), −∞ < t < ∞} ,其中 X (t ) =
U Pr
1 2 3 1/3 1/3 1/3
t , 出现点数六 ; 试求随机过 2 否则 . t ,
随机过程作业题及参考答案(第一章)
随机过程作业题及参考答案(第一章)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2第一章 随机过程基本概念P391. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。
试求()X t 的一维概率分布。
解：1 当0cos 0t ω=，02t k πωπ=+，即0112t k πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02t k πωπ≠+，即0112t k πω⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦.()[]()22000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦.()()20~0cos X t N t ω∴，. 则()2202cos x tf x t ω-=；.2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为()cos 2t X t t π⎧=⎨⎩，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。
试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；和()1F x ；，以及二维分布函数12112F x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；，。
3解：001110122211<⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x()(){}0111112212<-⎧⎪⎪∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x随机矢量()112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X X 的可能取值为()01-，，()12，.而()1101122⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X ，()1111222⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X .()1212111122⎧⎫⎛⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，；，，F x x P X x X x1212121200110110122112<<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x3. 设随机过程(){}X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=，且()()()12313P P P ωωω===。
随机过程作业(2)
要求：前六个题每人选3个，第7题到第14题每人任选1个。
第三章Poisson 过程1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k k n k n s s P N s k N t n C k n t t-===-= 3、设有两个相互独立，强度分别为12,λλ的Poisson 过程12{(),0},{(),0}N t t N t t ≥≥，证明在过程1{(),0}N t t ≥中两个相邻事件间，过程2{(),0}N t t ≥出现k 个事件的概率为121212(),0,1,2,k p k λλλλλλ==++4、设{(),0}X t t ≥复合Poisson 过程，证明{(),0}X t t ≥也是平稳独立增量过程。
5、对于齐次泊松过程，计算123,t t t ，的联合分布。
6、产生一个泊松随机变量。
设随机变量列12,,U U L 服从（0，1）上的的均匀分 布，且相互独立：()a 若ln i i U X l-=,证明i X 服从参数为l 的指数分布； ()b 若N 定义为满足下式之n 值：111n n i i i i U e U l +-==吵照，其中011i i U =ºÕ 利用()a 证明N 服从均值为λ的泊松分布。
7、考虑一个从底层起动上升的电梯。
以i N 记在第i 层进入电梯的人数。
设i N 相互独立，且i N 是均值为i l 的泊松变量。
在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯。
ij j ip >å=1，令j O 为第j 层离开电梯的人数。
随机过程作业
第三章随机过程作业1.设A、B是独立同分布的随机变量，求随机过程的均值函数、自相关函数和协方差函数。
2.设是独立增量过程，且，方差函数为。
记随机过程，、为常数，。
（1）证明是独立增量随机过程；（2）求的方差函数和协方差函数。
3.设随机过程，其中是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1，求的协方差函数。
4.设U是随机变量，随机过程.(1) 是严平稳过程吗为什么(2) 如果，证明：的自相关函数是常数。
5.设随机过程,其中U与V独立同分布。
(1) 是平稳过程吗为什么(2) 是严平稳过程吗为什么6.设随机变量的分布密度为, 令,试求的一维概率分布密度及。
7.若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令试求：的一维分布函数8.设随机过程, 其中是相互独立的随机变量 , 且, 试求的均值与协方差函数 .9.设其中为常数 , 随机变量, 令 , 试求 :和。
10.设有随机过程，并设x是一实数，定义另一个随机过程试证的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。
11.设有随机过程,，其中为均匀分布于间的随机变量，即试证：（1）自相关函数（2）协相关函数12.质点在直线上作随机游动，即在时质点可以在轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。
若往右移动一个单位距离的概率为，往左移动一个单位距离的概率为，即，且各次游动是相互统计独立的。
经过n 次游动，质点所处的位置为。
（1）的均值；（2）求的相关函数和自协方差函数和。
13.设，其中服从上的均匀分布。
试证 :是宽平稳序列。
14.设其中服从上的均匀分布. 试证 :既不是宽平稳也不是严平稳过程 .15.设随机过程和都不是平稳的，且其中和是均值为零的相互独立的平稳过程，它们有相同的相关函数，求证是平稳过程。
16.设是均值为零的平稳随机过程。
试证 :仍是一平稳随机过程 , 其中为复常数，为整数。
17.若平稳过程满足条件，则称是周期为的平稳过程。
试证是周期为的平稳过程的充分必要条件是其自相关函数必为周期等于的周期函数。
《随机过程》 大作业
xi =
n i=1 2
yi ,
n
β0
i=1
xi + β1
i=1
xi =
i=1
xi yi
此方程组为正规方程，求解正规方程，得到β0 、β1 为方程组的解：
β1 =
n i=1(xi − x)(yi − n 2 i=1(x i − x)
y)
,
β0 = y − β1 x
其中： 1 x= n 且记：
n n n n
i=1
1 xi , y = n
n
yi
i=1
lxx =
i=1
(xi − x)2 ， lyy =
i=1
(yi − y)2 ，lxy =
i=1
(xi − x)(yi − y)
则： β1 = lxy , lxx β0 = y − β1 x
l xy l xx
于是，一元线性回归关系式可表示为：yi = y − 3.2. 一元非线性数学模型
4.1. 不同温度不同截面形状的钢柱的极限临界应力Yi 从散点图可以认为是线性相关关系， 从试验数据发现温度对极限临界应力的 影响很小，同时此处为了简化计算量，故近似认为温度没有影响。此时有两种方 法拟合试验数据，第一种方法是把每种温度下的极限临界应力作为一个样本点， 对 12 个二维样本值进行拟合回归。第二种方法是对不同温度下同一截面形状的 极限临界应力取用样本均值，利用不同温度下的样本均值，进行拟合回归。最后 可以对比两种方法的拟合结果。 根据前面建立的一元线性数学回归模型和相应的 实验数据得到相关的回归参数。 对于第一种方法：由 OriginPro 8.5.1 得到：
参考文献
[1] 陈冀.钢结构稳定理论与设计(第五版).科学出版社，2011 年 4 月 [2] 陈绍蕃.钢结构设计原理(第三版).科学出版社，2012 年 5 月 [3] 杨虎 刘琼荪 钟波. 数理统计. 北京：高等教育出版社，2004 [4]李国强.钢结构及钢-混凝土组合结构抗火设计. 中国建筑工业出版， 2006 年 05 月
随机过程作业(全部)
作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。
2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。
3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。
2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。
2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。
如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。
随机过程习题及部分解答(共享).docx
随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。
2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。
习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。
3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。
4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。
习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。
2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。
随机过程习题集
随机过程习题集
1. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，且满足转移概率 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = P{X(s) = j | X(0) = i}。
证明该随机过程是齐次马尔可夫过程。
2. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个连续时间马尔可夫链，其状态空间为非负整数集合。
设转移速率为λi>0，即
P{X(t+s) = i+1 | X(t) = i} = λi·s + o(s)，其中 o(s) 表示当
s 趋于 0 时，o(s)/s 无界。
证明该随机过程是无记忆的。
3. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为有限集合 S = {1, 2, ..., n}，转移概率矩阵为 P = [pij]，即 P{X(t+s) = j | X(t) = i} = pij。
证明当 t 趋于无穷大时，P(t) = [Pij(t)] 是一个稳态过程，即其转移概率与时间 t 无关。
4. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个马尔可夫过程，其状态空间为非负整数集合。
记τ0 = 0 且τ1 = inf{t > 0: X(t) = 0}。
证明条件P{τ1 < ∞ | X(0) = i} = 1 当且仅当 i > 0。
5. 设随机过程{X(t), t ≥ 0} 是一个服从泊松过程的随机过程，其到达速率为λ。
证明对于任意t ≥ 0，有P{X(t) ≥ 2} = 1 - e^(-λt) - λt e^(-λt)。
这是一些关于随机过程的习题，希望能对你有帮助！如果
你还有其他问题，可以继续提问。
随机过程大作业
一、背景例子顾客在超市排队付款，汽车排队过收费站，旅客在售票处排队购买火车票，病人排队候诊a. 增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲浪费；b. 减少收银台，顾客排队时间太长。
选择最优收银台数二、随机服务系统顾客→等待服务→接受服务→顾客离开三、常用排队论模型—M/M/s 模型s⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩顾客到达规律(到达人数)M 服务时间(时间长短)M 组成部分收银台数排队规则(怎么排队)(1) 顾客到达规律： Possion 过程定义1 时间段t 内到达的顾客数()~()X t P t λ，即()(()),1,2,...!kt t P X t k e k k λλ-=== 定义2 时刻t 顾客数()X t 满足：{}()()()1P X t t X t t o t λ+∆-==∆+∆{}()()()2P X t t X t o t +∆-≥=∆{}()()()01P X t t X t t o t λ+∆-==-∆+∆顾客到达的时间间隔123,,,...,,...n X X X X 独立同指数分布()Exp λ，即1,0;()()0,0.i t X i e t F t P X t t λ-⎧->=≤=⎨≤⎩(2) 服务时间：指数分布服务时间~()i Z E μ1,0;()()0,0.i t Z i e t F t P Z t t μ-⎧->=≤=⎨≤⎩ ()1t e t o t μμμ--=+(3) 排队规则：先到先服务四、一般排队论模型（1）爱尔朗(Erlang)分布若12,,,k X X X 独立同分布于指数分布()(1,),0Exp k k μμμ=Γ>，则1(,)ki i V X k k μ==Γ∑称其为k 阶爱尔朗分布。
密度函数1()(),0(1)!k k t k k t p t e t k μμμ--=≥-1k =时爱尔朗分布即为指数分布，1(1,)()V X Exp μμ=Γ=顾客来到规律：顾客来到的时间间隔独立同分布于爱尔朗分布；顾客接受服务时间：假如顾客接受连续串联的个服务台的服务，各服务台的服务时间独立同分布于指数布，则顾客接受服务总时间服从爱尔朗分布。
随机过程第一次大作业(THU)
基于主成分分析的人脸识别目录基于主成分分析的人脸识别 (1)1 引言 (2)1.1 PCA简介 (2)一、主成分的一般定义 (3)二、主成分的性质 (3)三、主成分的数目的选取 (4)1.2 人脸识别概述 (4)2 基本理论及方法 (5)3 人脸识别的具体实现 (6)3.1 读入图像数据库 (6)3.2 计算特征空间 (7)3.3 人脸识别 (9)4 对实验算法的综合评价 (11)5 结论 (11)6、参考文献 (11)7、附录 (12)1、代码说明： (12)2、实验感想 (12)摘要：本文利用基于主成分分析(Principal ComponentAnalysis，PCA)进行人脸识别。
该过程主要分为三个阶段，第一个阶段利用训练样本集构建特征脸空间；第二个阶段是训练阶段，主要是将训练图像投影到特征脸子空间上；第三个阶段是识别阶段，将测试样本集投影到特征脸子空间，然后与投影后的训练图像相比较，距离最小的为识别结果。
本方法具有简单、快速和易行等特点,能从整体上反映人脸图像的灰度相关性具有一定的实用价值。
关键词：人脸识别；PCA；识别方式1 引言PCA 是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。
正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。
它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合，根据矩阵的行数与列数的区别于差异，PCA 又可以划分为D —PCA （Distributed PCA [1]和C —PCA （Collective PCA ）[2]。
1.1 PCA 简介PCA 方法，也被叫做特征脸方法(eigenfaces)，是一种基于整幅人脸图像的识别算法，被广泛用于降维，在人脸识别领域也表现突出。
一个N ×N 的二维脸部图片可以看成是N 的一个一维向量，一张112×92的图片可以看成是一个10，304维的向量，同时也可以看成是一个10，304维空间中一点。
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随机过程课程设计之
马尔可夫过程在评估商品广告效果中的作用
学院
专业班级
姓名
学号
2014年6月
【设计背景】
马尔可夫链原理复杂，应用非常广泛。
通过对马尔可夫链理论和切普曼一柯尔莫哥洛夫方程（方程）的探讨，结合商家不易判断某一广告是否有效的特点，构想了用马尔可夫链对商品广告效果进行评估的模型，给出了马尔科夫链的初始概率和多重转移概率的计算方法，根据此算法可以帮助商家制作更能吸引顾客的广告。
【马尔可夫过程】
马尔可夫理论指出：“系统达到每一状态的概率仅与近期状态有关，在一定时期后马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态而与原始条件无关”的这一特性称为“无后效性”。
即：事物的第n次试验结果仅取决于第（n一1）次试验结果，第（n一1）次试验结果仅取决于第（n一2）次试验结果，依此类推。
这一系列转移过程的集合叫做“马尔可夫链”。
马尔可夫预测方法的特点是：不需要大量的统计资料，只需有限的近期资料即可实现定量预测，而且马尔科夫预测方法适用于短期预测的基础上，只要状态转移矩阵滚动次数足够的多，同时也适用于长期预测。
但要求市场比较稳定并在一定时期内没有大的变动。
马尔可夫过程实际上是一个将系统的“状态”和“状态转移”定量化了的系统状态转换的数学模型：
状态{X（n），n≥1}：指现象在某一时刻上的某种状态，是表示系统的最小一组变量。
当系统可完全由定义状态的变量取值来描述时，称系统处于一个状态。
状态转移：指当系统的描述变量从一个状态的特定值变化到另一个状态特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态，从而该系统实现了状态的转移。
【模型建立】
A种饮料近期的销售情况不容乐观，决定改变广告方式，广告设计师设计了两种广告方案，分别为方案一和方案二，现模拟两个购买力，购买需求完全相同的两地X，Y，在X地采用方案一推销饮料A，在Y地采用方案二推销饮料A。
（实际中需要在不同时间分别采用不同方案）一段时间后，经市场调查发现以下事实：
在X地买A饮料及另外三种饮料B、C、D（设市场只有4种饮料）的顾客每两个月的平均转移概率为：
在Y 地买A 饮料及另外三种饮料B 、C 、D （设市场只有4种饮料）的顾客每两个月的平均转移概率为：
设在X ，Y 地目前购买A 、B 、C 、D 这4种饮料的顾客分布均为（25%，30%，35%，10%），求半年后在X ，Y 地，A 种饮料占有的市场份额。
【计算讨论】
首先对方案一的效果，即A 饮料在X 地半年后的市场占有份额进行计算。
根据题意可知，转移概率矩阵为
令P(0)=[0.25,0.30,0.35,0.10]
半年后顾客的转移概率矩阵为P （3），且P （3）=P^3
由于只关心从A ，B ，C ，D 这四种饮料经3次转移后转到A 种饮料的概率，所以市场占有率M 等于P(3)的第一列乘以P （0）。
概率计算相对复杂，使用MATLAB 软件进行计算。
MATLAB 程序及实验结果：
50
.010.020.020.000.070.010.020.004.006.060.030.001.002.002.095.0P
因此我们可以知道，A种饮料在半年后占有的市场份额约为62.2%。
●同理，我们可以对A饮料在Y地半年后的市场占有份额进行计算
MATLAB程序及实验结果：
因此我们可以知道，A种饮料在半年后占有的市场份额约为60.1%。
●广告方式的改变带来的效果是非常大的，同时经过计算比较，我们可以判断出广告方案一比方案
二的效果更好，商家应该利用广告方案一对饮料A进行推广。
【思路扩展】
通过计算我们知道广告方式的改变带来的效果是非常大的，一直利用广告方案一对饮料A进行推广，那么饮料A占有市场份额的变化情况是什么呢。
通过使用MATALB计算和拟合，我们发现大约30个月之后，饮料A的市场份额，将保持稳定，稳定在82.9%。
这也恰恰与实际相符，即人们的爱好需求不同等因素，使某一产品不可能完全占有市场。
MATLAB计算的结果如下（M n为2n个月A种饮料的占有率）
MATLAB拟合曲线的结果如下（横轴为经过月份，纵轴为A饮料的市场占有率）
上图也恰恰论证了我们在课程中所学的马氏链的遍历性和平稳分布，加深了对知识理解。
【总结】
通过本次课程设计，巩固了所学的随机课程的知识，加深了对马尔可夫过程的理解和认识，通过计算和绘制图像对平稳分布有了更深的认识。
同时深刻体会到了随机过程这门课的应用价值，通过查阅资料，我还了解到这门课的知识不仅在广告效果评估，在其他很多实际问题的预测等很多方面与领域都有着极强大作用。
从死板的学习中终于看到了这门课的实际利用价值，也熟练了MATLAB的相关技能。
希望今后能将所学的随机过程知识运用到专业的学习中去。
最后，感谢老师在课程上给予的帮助与指导！。