随机过程大作业

随机过程课程设计之

马尔可夫过程在评估商品广告效果中的作用

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2014年6月

【设计背景】

马尔可夫链原理复杂，应用非常广泛。通过对马尔可夫链理论和切普曼一柯尔莫哥洛夫方程（方程）的探讨，结合商家不易判断某一广告是否有效的特点，构想了用马尔可夫链对商品广告效果进行评估的模型，给出了马尔科夫链的初始概率和多重转移概率的计算方法，根据此算法可以帮助商家制作更能吸引顾客的广告。

【马尔可夫过程】

马尔可夫理论指出：“系统达到每一状态的概率仅与近期状态有关，在一定时期后马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态而与原始条件无关”的这一特性称为“无后效性”。即：事物的第n次试验结果仅取决于第（n一1）次试验结果，第（n一1）次试验结果仅取决于第（n一2）次试验结果，依此类推。这一系列转移过程的集合叫做“马尔可夫链”。

马尔可夫预测方法的特点是：不需要大量的统计资料，只需有限的近期资料即可实现定量预测，而且马尔科夫预测方法适用于短期预测的基础上，只要状态转移矩阵滚动次数足够的多，同时也适用于长期预测。但要求市场比较稳定并在一定时期内没有大的变动。

马尔可夫过程实际上是一个将系统的“状态”和“状态转移”定量化了的系统状态转换的数学模型：

状态{X（n），n≥1}：指现象在某一时刻上的某种状态，是表示系统的最小一组变量。当系统可完全由定义状态的变量取值来描述时，称系统处于一个状态。

状态转移：指当系统的描述变量从一个状态的特定值变化到另一个状态特定值时，就表示系统由一个状态转移到另一个状态，从而该系统实现了状态的转移。

【模型建立】

A种饮料近期的销售情况不容乐观，决定改变广告方式，广告设计师设计了两种广告方案，分别为方案一和方案二，现模拟两个购买力，购买需求完全相同的两地X，Y，在X地采用方案一推销饮料A，在Y地采用方案二推销饮料A。（实际中需要在不同时间分别采用不同方案）一段时间后，经市场调查发现以下事实：

在X地买A饮料及另外三种饮料B、C、D（设市场只有4种饮料）的顾客每两个月的平均转移概率为：

在Y 地买A 饮料及另外三种饮料B 、C 、D （设市场只有4种饮料）的顾客每两个月的平均转移概率为：

设在X ，Y 地目前购买A 、B 、C 、D 这4种饮料的顾客分布均为（25%，30%，35%，10%），求半年后在X ，Y 地，A 种饮料占有的市场份额。

【计算讨论】

首先对方案一的效果，即A 饮料在X 地半年后的市场占有份额进行计算。 根据题意可知，转移概率矩阵为

令P(0)=[0.25,0.30,0.35,0.10]

半年后顾客的转移概率矩阵为P （3），且P （3）=P^3

由于只关心从A ，B ，C ，D 这四种饮料经3次转移后转到A 种饮料的概率，所以市场占有率M 等于P(3)的第一列乘以P （0）。概率计算相对复杂，使用MATLAB 软件进行计算。 MATLAB 程序及实验结果：

50

.010.020.020.000.070.010.020.004.006.060.030.001.002.002.095.0P

因此我们可以知道，A种饮料在半年后占有的市场份额约为62.2%。

●同理，我们可以对A饮料在Y地半年后的市场占有份额进行计算

MATLAB程序及实验结果：

因此我们可以知道，A种饮料在半年后占有的市场份额约为60.1%。

●广告方式的改变带来的效果是非常大的，同时经过计算比较，我们可以判断出广告方案一比方案

二的效果更好，商家应该利用广告方案一对饮料A进行推广。

【思路扩展】

通过计算我们知道广告方式的改变带来的效果是非常大的，一直利用广告方案一对饮料A进行推广，那么饮料A占有市场份额的变化情况是什么呢。

通过使用MATALB计算和拟合，我们发现大约30个月之后，饮料A的市场份额，将保持稳定，稳定在82.9%。这也恰恰与实际相符，即人们的爱好需求不同等因素，使某一产品不可能完全占有市场。MATLAB计算的结果如下（M n为2n个月A种饮料的占有率）

MATLAB拟合曲线的结果如下（横轴为经过月份，纵轴为A饮料的市场占有率）

上图也恰恰论证了我们在课程中所学的马氏链的遍历性和平稳分布，加深了对知识理解。

【总结】

通过本次课程设计，巩固了所学的随机课程的知识，加深了对马尔可夫过程的理解和认识，通过计算和绘制图像对平稳分布有了更深的认识。同时深刻体会到了随机过程这门课的应用价值，通过查阅资料，我还了解到这门课的知识不仅在广告效果评估，在其他很多实际问题的预测等很多方面与领域都有着极强大作用。从死板的学习中终于看到了这门课的实际利用价值，也熟练了MATLAB的相关技能。希望今后能将所学的随机过程知识运用到专业的学习中去。

最后，感谢老师在课程上给予的帮助与指导！